Решение иррациональных уравнений
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Решение иррациональных уравнений

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала. Как правило, решение иррациональных уравнений связано с возведением в степень обеих его частей. При этом если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Если же обе части возвести в четную степень, то в общем случае получим уравнение, являющееся следствием исходного.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используют следующие правила преобразований уравнения в равносильное ему:

а) перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

б) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от 0 число;

в) уравнение  можно заменить равносильной системой       или решить f(x)=0, а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

1. Простейшие иррациональные уравнения

Правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений:

а) если a>0, то   f(x)=a2  (здесь проверять область допустимых значений f(x)  не надо, так как f(x)=a2  - проверяется автоматически).

б) если  xǾ.

в) если квадратный корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю:

  f(x)=0.

Уравнения вида  при n=2m  решаются по аналогичным правилам.

г) если n=2m+1, то  f(x)=an.

Пример 1.

Решить уравнение:  .

Решение:

Отметим, что равносильные переходы предпочтительнее, так как если при решении получаем иррациональные корни, то проверка может занять больше времени, чем было потрачено на собственно решение уравнения.

Так как 2>0, то возведение в квадрат приведет к равносильному уравнению:

    x2 – 5 = 4   x2=9  

Ответ: -3; 3.

Пример 2.

Решить уравнение: .

Решение:

  xǾ, не имеет решения, так как по определению арифметического квадратного корня:     - это неотрицательное число, квадрат которого равен a, a-2<0.

Ответ: решений нет

Пример 3.

Решить уравнение:   x+8= (-5)3   x+8= -125  x= -133.

Ответ: -133.

Пусть в результате преобразований уравнения  f1(x)=g1(x)  (1) получено уравнение f2(x)=g2(x)  (2).

Если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2),  то уравнение (2) называют следствием уравнения (1): (1)  (2).

Корни уравнения (2), которые не удовлетворяют уравнению (1) называются посторонними и не считаются решениями уравнения.

К появлению посторонних корней могут  привести (не обязательно всегда приводят) следующие преобразования:

-возведение в квадрат (или четную степень) обеих частей уравнения;

-умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную.

Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение. Но (как уже было сказано ранее) иногда проверка занимает больше времени, чем само решение уравнения. Поэтому можно поступить следующим образом: на каждом этапе решения уравнения определить промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены.

При изучении этой темы следует обратить особое внимание на использование ОДЗ (области допустимых значений) уравнения, ОДЗ уравнения определяется как общая часть областей определения функций f(x) и g(x). Однако, основываясь на определении, часто при решении уравнений допускаются неправильные рассуждения. Пусть найдена ОДЗ уравнения f(x)=g(x). Затем преобразуют его к уравнению f1(x)=g1(x) и находят корни последнего. После этого проверяют, какие из них принадлежат ОДЗ исходного уравнения, и все принадлежащие ОДЗ корни считают решениями первоначального уравнения. Самый простой пример показывает ошибочность данного рассуждения:

 ОДЗ уравнения есть промежуток . Оба числа , полученные при решении уравнения возведенного в квадрат, принадлежат ОДЗ, но –4 не является корнем первоначального уравнения. Причина в этом случае ясна: x- корень уравнения только при , поскольку левая часть при любом x , удовлетворяющем этому условию неотрицательна. Поэтому мы не рекомендуем уделять большое внимание исследованию ОДЗ уравнений. Главное – это выработать четкие представления у учащихся о том, какое уравнение получено после преобразования: равносильное или следствие.

 Если уравнение имеет вид f(x)*h(x)=g(x)*h(x), то деление обеих частей на h(x), (а это часто делают учащиеся) недопустимо, так как может привести к потери корней (h(x)=0,  если они существуют).

2. Уравнения с одним радикалом вида

Здесь в правой части выражение g(x) может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Возведение в квадрат  является равносильным преобразованием, если g(x) . Если g(x)<0, то уравнение решений не имеет.

 ; (условие f(x)  на область допустимых значений не включается в систему, оно проверяется автоматически, так как правая часть  уравнения системы неотрицательна).

На что обратить внимание: часто учащиеся начинают решение с определения области допустимых значений и записывают:  ОДЗ:  - это неправильная формулировка условий.

Правильнее сформулировать условие лучшее следующим образом:

ОДЗ: f(x) , условие, возникающее при возведении в квадрат: g(x) .

Пример 4.

Решить уравнение: .

Решение:

            x=3.

Ответ: 3

Пример 5.

Решить уравнения: .

Решение:

x=-2+,

Так как -2-<1.

Ответ: -2+

3. Уравнения с одним радикалом вида

Уравнение вида  равносильно уравнению без радикала f(x)=g3(x).

 f(x)=g3(x).

Пример 6.

Решить уравнение: .

Решение:

  x+8= (2-x)3  x+8=8-12x+6x2-x3 x3-6x2+13x=0 x(x2-6x+13)=0 x=0, (x2-6x+13>0 для всех x, так как дискриминант <0).

4. Уравнение вида

Часто встречаются иррациональные уравнения вида (или приводятся к такому виду разложением на множители) . Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

 , или системе:   .

Пример 7.

Решить уравнение:

Решение:

Произведение равно нулю тогда  и только тогда, когда хотя бы из сомножителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

Ответ: 

Пример 8.

Решить уравнение:

Решение:

    x=-2.

Ответ: -2

Пример 9.

Решить уравнение: .

Решение:

Можно найти ОДЗ, и отбросить корни, которые не удовлетворяют ОДЗ, а можно подставить корни в неравенство и отбросить посторонние, что займет меньше времени:

x=3: 9-15+5<0 – не подходит

x=4: 16-20+5=1>0 - подходит              x=1;4.    

x=1: 1-5+5=1>0 – подходит

Ответ: 1; 4

5. Методы замены переменных

Еще одним часто встречающимся методом преобразования уравнения является метод замены переменных. Для уравнений этот метод состоит в следующем: данное уравнение приводят к виду g(f(x))=0, где z=g(f(x)) – сложная функция, являющаяся композицией двух функций y=f(x) и z=g(y). Если y=y1; y=y2;…y=yn;

все корни уравнения  g(x)=0,

                                      f(x)=y1

                                      f(x)=y2

          то g(f(x))=0  …….

                                      f(x)=yn

Пример 11.

Решить уравнение: .

Решение:

       . Замена   приводит

к уравнению y2-4y=0

.

Таким образом, данное в примере уравнение равносильно совокупности уравнений

Так как были использованы только равносильные переходы, отдельная проверка корней, а также нахождение ОДЗ не требуется.

Ответ:2;7;

Пример 12.

Решить уравнение: .

Решение:

        , применяя замену , уравнение можно переписать в виде равносильной системы:

Обратная замена:

Ответ: -7;2

6. Линейные комбинации двух и более радикалов.

Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил:

1. указать область допустимых значений уравнения
2. распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными
3. только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.

Пример 13.

Решить уравнение: .

Решение:

Здесь были использованы только равносильные переходы, поэтому проверка корней и нахождение непосредственно ОДЗ необязательно.

Ответ: 28

Пример 14.

Решить уравнение: .

Решение:

 Еще одно правило равносильного перехода:

Вернемся к решению нашего уравнения с учетом рассмотренного перехода:

Ответ: 1,5

Пример 15.

Решить уравнение: .

Решение:

Проверим, удовлетворяют ли полученные решения условию . Подставляя их в неравенство, мы гораздо быстрее осуществим отбор, чем, решая это неравенство.

, следовательно, x=0 не удовлетворяет нашему условию.

, следовательно, x=2  удовлетворяет нашему условию.

, следовательно, x=-2 не удовлетворяет нашему условию.

Ответ: 2

Пример 16.

Решить уравнение: .

Решение:

Заметим, что x=4/15 принадлежит ОДЗ уравнения, но не удовлетворяет условию ,  возникшему при втором возведении в квадрат. Таким образом, делая равносильные переходы на каждом этапе решения уравнения, мы внимательно отслеживаем промежутки, в которых должны находиться корни уравнения. Корни, которые не попадают в указанные промежутки, мы отбрасываем, как посторонние.

Ответ: 1

7. Метод сведения иррационального уравнения с помощью замены к системе рациональных уравнений.

Пример 17.

Решить уравнение: .

Решение:

Пусть

Тогда .

Наше исходное уравнение примет вид:

Решим второе уравнение системы:

Итак, имеем: .

Ответ: 3

8. Метод мажорант и экстремальных оценок.

Пример 18.

Решить уравнение: .

Решение:

Заметим, что

Аналогично, . Следовательно, левая часть уравнения .

Рассмотрим правую часть уравнения: .

Таким образом, равенство двух частей возможно тогда и только тогда, когда они одновременно равны 2, т.е.

.

Ответ: 0

9. Умножение на сопряженное выражение.

Умножением на сопряженное выражение часто пользуются, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для решения иррациональных уравнений также можно использовать умножение на сопряженное выражение, но обязательно нужно помнить о том, что мы получаем уравнение-следствие, поэтому необходима проверка корней.

Пример 19.

Решить уравнение: .

Решение:

Помножим исходное уравнение на сопряженное выражение

Проверка:

   .

 x=9        .

   .

Проверка показала, что все решения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 6; 7,5; 9

10. Метод решения уравнений путем нахождения и исследования ОДЗ.

Следует объяснить учащимся, что если уравнение кажется на первый взгляд достаточно сложным, то следует начать его решения с нахождения ОДЗ.

Пример 20.

Решить уравнение: .

Решение:

ОДЗ:

Область допустимых значений состоит из единственного значения. Проверим, является ли это значение корнем уравнения.

. Следовательно, x=1 корень нашего уравнения.

Ответ: 1

11.  Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала.

Пример 21.

Решить уравнение: .

Решение:

Заметим, что подкоренные выражения представляют собой полные квадраты. Действительно:

Напомним, что , пользуясь этим равенством, получим:

. Пусть . Тогда уравнение примет вид:

Вернемся к замене:

Ответ:

12. Метод решения уравнений путем нетривиальной замены.

Пример 22.

Решить уравнение: .

Решение:

Будем преобразовывать уравнение, выделяя полные квадраты:

Введем новую переменную , тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

Найдем ОДЗ данного уравнения: .

Заметим, что область значений cosa на  сщвпадает с областью значений нашей переменной t. Воспользуемся этим и введем замену . Тогда уравнение примет вид:

Воспользуемся известными тригонометрическими соотношениями:

Заметим, что при   и  , тогда уравнение принимает следующий вид:

Выберем те значения , которые удовлетворяют условию :

целых нет.

Таким образом, удовлетворяет условиям .

Обратная замена: .

Ответ: