Конспект урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (алгебра, 9 класс)
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему
Обобщение и систематизация знаний по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессия", развитие математического мышления учащихся и вычислительных навыков, воспитание интереса к математике
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 591.13 КБ |
Предварительный просмотр:
ТЕМА УРОКА: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
Урок подготовила:
Темникова Ирина Николаевна, учитель математики
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Ютановская средняя общеобразовательная школа» Волоконовского района Белгородской области.
ЦЕЛЬ УРОКА:
Образовательные: обобщение и систематизация теоретических знаний учащихся по изученной теме; подготовка к ГИА;
Развивающие: развитие математического мышления учащихся и вычислительных навыков.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике
Тип урока: урок повторения.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, карточки, презентации обучающихся, и презентация к уроку по данной теме.
ХОД УРОКА
- Организационный момент.
На столах учащихся заранее приготовлен раздаточный материал с заданиями к уроку, которые находятся в приложении конспекта занятия. По ходу урока школьниками будет заполняться таблица. Кроме того, предлагаем и лист самооценки, куда ребята будут вносить отметки за правильные свои ответы по указанной в разработке оценочной шкале.
- Сегодня пред последний урок по главе “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Перед вами задача - показать, как вы знаете формулы прогрессии и умеете их применять при решении различных задач. На столах лежат задания к уроку, ваша цель внимательно работать на уроке и по ходу урока заполнить таблицу:
- Лист самооценки. За каждый правильный ответ при опросе и за участие на различных этапах урока ставьте один плюс. «5» - более 9 плюсов, «4» - от 5 до 8 плюсов менее 5 плюсов – оценку не заработал (шкала может варьироваться).
- Эпиграф урока
«Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».
(Герберт Спенсер, английский философ)
- Актуализация опорных знаний
- Вспомните формулы по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия» и в тесте соотнесите формулу с её описанием.
Нажать на прямоугольник для запуска теста. После завершения тестирования закройте окно теста.
За каждый верный ответ в Лист самооценки ставится «+».
- Тест.
Если тест не запустится, то на левой области экрана нажмите правую кнопку мыши и в меню Adobe Flash Player выберите пункт «Воспроизвести»
Кнопка завершения работы с тестом появится через 20 секунд
- Устная работа
- Определите, какая последовательность является арифметической или геометрической прогрессией, найдите, соответственно, разность и знаменатель, при проверке повторить определение прогрессий.
- Дайте определение арифметической прогрессии.
- Какой буквой обозначают разность арифметической прогрессии?
- Что означает разность арифметической прогрессии?
- Дайте определение геометрической прогрессии.
- Какой буквой обозначают знаменатель геометрической прогрессии?
- Что означает разность геометрической прогрессии?
- Какая прогрессия называется возрастающей?
- Какая прогрессия называется убывающей?
Проверка ответа происходит при нажатии на прямоугольник со стрелкой. Нажатие на пустое место экрана выводит «вопросительный знак» подсказка в соответствии с заданием со страниц учебника.
За каждый верный ответ в Лист самооценки ставится «+».
- Назад в историю.
На доске основные формулы (плакат):
Прогрессии | ||
Арифметическая | Геометрическая | |
Определение | ||
Формула n первых членов прогрессии | ||
Сумма n первых членов прогрессии | ||
Свойства |
- Сообщения детей (презентации учащихся)
- Бесконечная геометрическая прогрессия
Софизм – головоломка, хитроумное высказывание, хорошо замаскировавшее ошибку. Нахождение ошибок в математических софизмах помогло развитию математики.
Вот известный софизм Зенона из города Элеи:
«Чтобы пройти путь в один километр, нужно непременно миновать его середину», - утверждал Зенон. Само по себе утверждение верно. Но далее Зенон рассуждает так: «Если мы дошли до середины пути, перед нами остаётся ещё полпути, у которого есть своя середина. И так без конца. Сколько бы мы не шли, впереди всегда есть какая-то не пройденная часть пути, у которой есть своя середина».
Докажем, что Зенон заблуждался.
Рассмотрим последовательность чисел:
1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64 и т. д.
Получается бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Найдём её сумму:
Чем больше членов прогрессии возьмём, тем ближе их сумма будет стоять к числу 1 на оси последовательности чисел. Но эта сумма никогда не превзойдёт число 1.
2. Назад в историю
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Например, в древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”. В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S=10, d=1/8, а1, а2, …, а10.Решение этой задачи приводит к сумме пяти членов геометрической прогрессии
3. Задачи Древности
В Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Об этом свидетельствует приведенная ниже задача из папируса Райнда. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена.
- Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.
- В Древней Греции была известна похожая задача. В одном древнегреческом папирусе приводится задача: “Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.”
- И на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали:
“Шли 7 старцев.
У каждого старца по 7 костылей.
На каждом костыле по 7 сучков.
На каждом сучке по 7 кошелей.
В каждом кошеле по 7 пирогов.
В каждом кошеле по 7 воробьев.
Сколько всего?
4. Задача Древнего Египта
У семи лиц по семь кошек; каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
Решение задачи
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.
5. Задача о шахматах
В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат.
Решение задачи
К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого.
Нетрудно сосчитать, используя формулу
,
что количество зерна, нужное для расплаты, составляет:
18 446 744 073 709 551 615
Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.
Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого.
Приведем часть его расчета:
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 2 |
3 | 4 | |
4 | 8 | |
27 | 67108864 | |
28 | 134217728 | |
29 | 268435456 | |
33 | 4 294 967 296 | |
34 | 8 589 934 592 | |
62 | 2 305 843 009 213 693 952 | |
63 | 4 611 686 018 427 387 904 | |
64 | 9 223 372 036 854 775 808 |
6. Проторговался ли купец?
Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?
Решение задачи
За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить:
копеек. Эта сумма равна:
копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
7. Исторические факты
Архимед (3 век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 - 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.
- Работа у доски.
- В тетрадях запишите сегодняшнее число, тема урока «Арифметическая и геометрическая прогрессия», «Классная работа».
Четыре ученика выходят к доске и решают по одному заданию на свой выбор. Остальные решают на местах. Карточки с заданиями прилагаются.
- Молодцы! Теперь выполним проверку – внимание на экран…За каждое верное решение и комментарий решения в Лист самооценки ставится «+».
1) Дано: (аn) арифметическая прогрессия а1 = 5, d = 3
Найти: а6 ; а10 ?
2) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b1= 5, q = 3
Найти: b3 ; b5 ?
3) Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4 = 11, d = 2
Найти: а1 ?
4) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b4= 40, q = 2
Найти: b1 ?
- Физкультминутка
Цитата часа.
«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому, можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь».
(Дьёрдь Пойа, швейцарский математик)
- Только самостоятельно решая задачи, вы научитесь их решать
- Характерное свойство арифметической прогрессии.
- Вспомним правило из учебника и решим задачу. (Ученики должны рассказать его и записать решение себе в тетрадь)
Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4=12,5; а6=17,5
Найти: а5?
- Характерное свойство геометрической прогрессии.
- Вспомним правило из учебника и решим задачу. (Ученики должны рассказать его и записать решение себе в тетрадь)
Дано: (bn) геометрическая прогрессия, bn>0; b4=6; b6=24
Найти: b5?
- Самостоятельная работа. При решении самостоятельной работы следует ответы на задания перенести в бланк ответов №1 ГИА. Рекомендуется вначале объяснить и повторить правила заполнения бланка.
Задания на печатных карточках у учащихся.
1) Дано: (аn), а1 = – 3, а2= 4. Найти: а16 – ?
2) Дано: (bn), b12= – 32, b13 = - 16. Найти: q – ?
3) Дано: (аn), а21 = – 44, а22 = - 42. Найти: d – ?
4) Дано: (bn), bп > 0, b2 = 4, b4 = 9. Найти: b3 – ?
5) Дано: (аn), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d – ?
6) Дано: (bn), b1 = 1/2, q = 2. Найти: b5 – ?
7) Дано: (аn), а7 = 16, а9 = 30. Найти: а8 – ?
По истечении отведённого на работу времени учащиеся обмениваются бланками ответов и проводят поверку в соответствии с образцом на слайде. Каждое верное решение – «+» в лист самооценки.
- Домашнее задание. Из сборника ГИА 6.1, 6.2, 6.5, 6.8.
Используя оценочные листы, подводятся итоги работы на уроке. Объявляются оценки.
- Рефлексивный экран.
Обычно в конце урока подводятся его итоги, обсуждение того, что узнали, и того, как работали – т.е. каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность. Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске
сегодня я узнал…
было интересно…
было трудно…
я выполнял задания…
я понял, что…
теперь я могу…
я почувствовал, что…
я приобрёл…
я научился…
у меня получилось …
я смог…
я попробую…
меня удивило…
урок дал мне для жизни…
мне захотелось…
- Завершение урока.
Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
Урок окончен. Спасибо за урок!
Используемые источники и программное обеспечение
Алгебра. 9 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений / [Макарычев Ю.Н., Миндюк Г.Н., Нешков К.И., Суворова С.Б.] ; под ред. Теляковского С.А. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2011. – 271 с. : ил.
Канина Г. В., учитель математики. Урок-презентация «Арифметическая и геометрическая прогрессия» [Электронный ресурс] – URL: http://festival.1september.ru/articles/534291/
Мелом пишут по доске [Звук] – URL: http://zvukitut.narod.ru/melom_pishut_po_doske/Melom_pishut_po_doske.mp3
Пойа Д. [Картинка] – URL: http://www.apm.pt/pic/_polya_5252dffc9e0eb.jpg Спенсер Г. [Картинка] – URL: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Herbert_Spencer.jpg/389px-Herbert_Spencer.jpg
Шалкина С. В., учитель математики. Здоровьесберегающие технологии на уроках математики [Электронный ресурс] – URL: http://festival.1september.ru/articles/311946/
iSpring Presenter 7 - разработка тестов и преобразование во flash.
MS PowerPoint 2010 - разработка презентации.
Приложение
Работа у доски.
Задание 1
1)Дано: (аn) арифметическая прогрессия. а1 = 5, d = 3. Найти: а6; а10 ?
Решение: используя формулу
а n = а1 + d . (n -1)
а6 = а1 + d . (6-1) = а1 + 5d = 5 + 5 . 3 = 20
а10 = а1 + d . (10-1) = а1 + 9d = 5 + 9 . 3 = 32
Ответ: 20; 32.
Задание 2
2) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b1 = 5,q = 3. Найти: b3; b5?
Решение: используя формулу
bn= b1 qn-1
b3 = b1 . q2 = 5 . 32 = 5 . 9 = 4 5
b5 = b1 . q4 = 5 . 34 = 5 . 81 = 405
Ответ: 45; 405.
Задание 3
3) Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4 = 11, d = 2. Найти: а1?
Решение: используя формулу
аn = а1 + d . (n - 1)
а4 = а1 + d . (4 - 1); а4 = а1 + 3d;
а1= а4 - 3d = 11 - 3 . 2 = 5
Ответ: 5.
Задание 4
4) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b4= 40, q = 2. Найти: b1?
Решение: используя формулу
bn = b1 qn-1
b4 =b1 q4-1 ; b4 =b1 q3
b1 = b4 : q3 = 40 : 23 = 40 : 8 = 5
Ответ: 5.
Гимнастика для глаз, вверх-вниз.
Голову держите прямо, не запрокидывайте.
Мягко переводите глаза вверх и вниз 4 раза. Глаза должны двигаться медленно и с равными интервалами. Не прилагайте никаких усилий, используйте минимум силы.
Гимнастика для глаз, влево - вправо.
Двигайте глазами из стороны в сторону с максимальной амплитудой, не прилагая усилий 4 раза.
Гимнастика для глаз, диагональ.
Взгляните в левый верхний угол, а затем переведите взгляд в правый нижний. Повторите 4 раза. Затем сделайте 4 раза движение глазами из правого верхнего угла в левый нижний
Гимнастика для глаз, овал.
Двигайте глазами медленно и мягко по овалу в одну сторону, затем в другую, по 4 круга в каждом направлении.
Гимнастика для глаз, восьмёрка.
А сейчас глазами плавно опишите горизонтальную восьмёрку, или же символ бесконечности, максимального размера в пределах лица. В одну сторону 4 раза, а после чего в другую 4 раза.
Гимнастика для глаз, моргание.
Поморгайте часто-часто, легко-легко 4 секунды.
Кликнуть на слайде «белок», чтобы поморгало
Гимнастика для тела.
Нажмите на смайлик для возвращения к уроку
Вверх рука и вниз рука.
Потянули их слегка.
Быстро поменяли руки! Нам сегодня не до скуки.
(Одна прямая рука вверх, другая вниз, рывком менять руки).
Крутим-вертим головой,
Разминаем шею. Стой!
(Вращение головой вправо и влево).
И на месте мы шагаем,
Ноги выше поднимаем.
(Ходьба на месте, высоко поднимая колени).
Потянулись, растянулись
Вверх и в стороны, вперёд.
(Потягивания – руки вверх, в стороны, вперёд).
И за парты все вернулись –
Вновь урок у нас идёт.
(Садимся за парты).
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/01/picture-293725-1383316999.gif)
Формулы N-ого члена арифметической и геометрической прогрессии _алгебра_9 кл
Урок разработан для 9 кл. (учебник А.Г.Мордковича) и состоит из поэтапного плана и презентации, используемой как наглядное и дидактическое пособие. Особенность подхода состоит в параллельном изучении ...
![](/sites/default/files/pictures/2012/10/13/picture-86989-1350121791.jpg)
9 класс Урок "Арифметическая и геометрическая прогрессии"
Урок "Арифметическая и геометрическая прогрессии" - это конспект урока обобщения. На уроке повторяются вопросы теоретического материала и формулы, сравнение арифметической и геометрич...
1. Интегрированный урок математики и истории для 5 класса. 2. Арифметическая и геометрическая прогрессии 9 класс.
1. Открытый интегрированный урок математики и истории "Как люди научились считать?" для 5 класса.Форма проведения: урок - соревнование двух команд. 2. Комбинированный урок обобщения, систематизац...
Определение арифметической и геометрической прогрессии. Формула n-ого члена арифметической и геометрической прогрессии. 9 класс.
Конспект урока алгебры в 9 классе.Изучения нового материала....
![](/sites/default/files/pictures/2015/10/23/picture-694567-1445603512.png)
Конспект урока "Определение арифметической и геометрической прогрессии" 9 класс
Урок с применением дидактических игр....
![](/sites/default/files/pictures/2022/10/28/picture-76350-1666979710.jpg)
Конспект урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии"
Цель урока: сформировать представление об арифметической и геометрической прогрессии; вывести формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии, закрепить при решении...
Презентация к уроку по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"(9 класс)
Презентация сопровождает урок по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"...