Конспект урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» (алгебра, 9 класс)
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

ТЕМА УРОКА:  «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Урок подготовила:

Темникова Ирина Николаевна, учитель математики 

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Ютановская средняя общеобразовательная школа» Волоконовского района Белгородской области.

ЦЕЛЬ УРОКА:

Образовательные: обобщение и систематизация теоретических знаний учащихся по изученной теме; подготовка к ГИА;

Развивающие: развитие математического мышления учащихся и вычислительных навыков.

Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике

Тип урока: урок повторения.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, карточки, презентации обучающихся,  и презентация к уроку по данной теме.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

 На столах учащихся заранее приготовлен раздаточный материал с заданиями к уроку, которые находятся в приложении конспекта занятия. По ходу урока школьниками будет заполняться таблица. Кроме того, предлагаем и лист самооценки, куда ребята будут вносить отметки за правильные свои ответы по указанной в разработке оценочной шкале. 

- Сегодня пред последний урок по главе “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Перед вами задача - показать, как вы знаете формулы прогрессии и умеете их применять при решении различных задач. На столах лежат задания к уроку, ваша цель внимательно работать на уроке и по ходу урока заполнить таблицу:                               

• Лист самооценки. За каждый правильный ответ при опросе и за участие на различных этапах урока ставьте один плюс. «5» - более 9 плюсов, «4» - от 5 до 8 плюсов менее 5 плюсов – оценку не заработал  (шкала может варьироваться).                   
• Эпиграф урока

«Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

(Герберт Спенсер, английский философ)          

2. Актуализация опорных знаний

- Вспомните формулы по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия» и в тесте соотнесите формулу с её описанием.

Нажать на прямоугольник для запуска теста. После завершения тестирования закройте окно теста.

За каждый верный ответ в Лист самооценки ставится «+».                                    

• Тест.                                                                                                                        

Если тест не запустится, то на левой области экрана нажмите правую кнопку мыши и в меню Adobe Flash Player выберите пункт «Воспроизвести»

Кнопка завершения работы с тестом появится через 20 секунд

• Устная работа                                                                                                      

- Определите, какая последовательность является арифметической или геометрической прогрессией, найдите, соответственно, разность и знаменатель, при проверке повторить определение прогрессий.

• Дайте определение арифметической прогрессии.
• Какой буквой обозначают разность арифметической прогрессии?
• Что означает разность арифметической прогрессии?
• Дайте определение геометрической прогрессии.
• Какой буквой обозначают знаменатель геометрической прогрессии?
• Что означает разность геометрической прогрессии?
• Какая прогрессия называется возрастающей?
• Какая прогрессия называется убывающей?

Проверка ответа происходит при нажатии на прямоугольник со стрелкой. Нажатие на пустое место экрана выводит «вопросительный знак» подсказка в соответствии с заданием со страниц учебника.

За каждый верный ответ в Лист самооценки ставится «+».

• Назад в историю.                                                                                                            

На доске основные формулы (плакат):

• Сообщения детей (презентации учащихся)

1. Бесконечная геометрическая прогрессия                 

Софизм – головоломка, хитроумное высказывание, хорошо замаскировавшее ошибку. Нахождение ошибок в математических софизмах помогло развитию математики.

Вот известный софизм Зенона из города Элеи:

«Чтобы пройти путь в один километр, нужно непременно миновать его середину», - утверждал Зенон. Само по себе утверждение верно. Но далее Зенон рассуждает так: «Если мы дошли до середины пути, перед нами остаётся ещё полпути, у которого есть своя середина. И так без конца. Сколько бы мы не шли, впереди всегда есть какая-то не пройденная часть пути, у которой есть своя середина».

Докажем, что Зенон заблуждался.

Рассмотрим последовательность чисел:

1/2; 1/4; 1/8; 1/16; 1/32; 1/64 и т. д.

Получается бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Найдём её сумму:

Чем больше членов прогрессии возьмём, тем ближе их сумма будет стоять к числу 1 на оси последовательности чисел. Но эта сумма никогда не превзойдёт число 1.

 2. Назад в историю

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Например, в древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”. В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S=10, d=1/8, а1, а2, …, а10.Решение этой задачи приводит к сумме пяти членов геометрической прогрессии

3. Задачи Древности

В Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Об этом свидетельствует приведенная ниже задача из папируса Райнда. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена.

- Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

- В Древней Греции была известна похожая задача. В одном древнегреческом папирусе приводится задача: “Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.”

- И на Руси решались похожие задачи. Еще в XIX веке в деревнях загадывали:

“Шли 7 старцев.

У каждого старца по 7 костылей.

На каждом костыле по 7 сучков.

На каждом сучке по 7 кошелей.

В каждом кошеле по 7 пирогов.

В каждом кошеле по 7 воробьев.

Сколько всего?

4. Задача Древнего Египта

У семи лиц по семь кошек; каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение задачи

Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

5. Задача о шахматах

В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат.

Решение задачи

К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого.

Нетрудно сосчитать, используя формулу

,

что количество зерна, нужное для расплаты, составляет:

18 446 744 073 709 551 615 

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.

Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого.

Приведем часть его расчета:

6. Проторговался ли купец?

Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

Решение задачи

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить:

копеек. Эта сумма равна:

копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

7.  Исторические факты

Архимед (3 век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 - 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

3. Работа у доски.

- В тетрадях запишите сегодняшнее число, тема урока «Арифметическая и геометрическая прогрессия», «Классная работа».

Четыре ученика выходят к доске и решают по одному заданию на свой выбор. Остальные решают на местах.  Карточки с заданиями прилагаются.

- Молодцы! Теперь выполним проверку – внимание на экран…За каждое верное решение и комментарий решения в Лист самооценки ставится «+».

1) Дано: (аn) арифметическая прогрессия а1 = 5, d = 3

Найти: а6 ; а10 ?

2) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b1= 5, q = 3

Найти: b3 ; b5 ?

3) Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4 = 11, d = 2

Найти: а1 ?

4) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b4= 40, q = 2

Найти: b1 ?

4. Физкультминутка

Цитата часа.

«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому, можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь».

(Дьёрдь Пойа, швейцарский математик)

- Только самостоятельно решая задачи, вы научитесь их решать

5. Характерное свойство арифметической прогрессии.

- Вспомним правило из учебника и решим задачу. (Ученики должны рассказать его и записать решение себе в тетрадь)

Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4=12,5;  а6=17,5

Найти: а5?

6. Характерное свойство геометрической прогрессии.

 - Вспомним правило из учебника и решим задачу. (Ученики должны рассказать его и записать решение себе в тетрадь)

Дано: (bn) геометрическая прогрессия, bn>0; b4=6;  b6=24

Найти: b5?

7. Самостоятельная работа. При решении самостоятельной работы следует ответы на задания перенести в бланк ответов №1 ГИА. Рекомендуется вначале объяснить и повторить правила заполнения бланка.

Задания на печатных карточках у учащихся.

1) Дано: (аn), а1 = – 3, а2= 4. Найти: а16 – ?      

2) Дано: (bn), b12= – 32, b13 = - 16.  Найти: q – ?

3) Дано: (аn), а21 = – 44, а22 = - 42.  Найти: d – ?      

4) Дано: (bn), bп > 0, b2 = 4, b4 = 9.  Найти: b3 – ?  

5) Дано: (аn), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d – ?    

6) Дано: (bn),  b1 = 1/2, q = 2. Найти: b5 – ?            

7) Дано: (аn), а7 = 16, а9 = 30. Найти: а8 – ?

По истечении отведённого на работу времени учащиеся обмениваются бланками ответов и проводят поверку в соответствии с образцом на слайде. Каждое верное решение – «+» в лист самооценки.

8. Домашнее задание. Из сборника ГИА 6.1, 6.2, 6.5, 6.8.

Используя оценочные листы, подводятся итоги работы на уроке. Объявляются оценки.

9. Рефлексивный экран.

Обычно в конце урока подводятся его итоги,  обсуждение того, что узнали, и того, как работали – т.е. каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность. Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске

сегодня я узнал…

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

теперь я могу…

я почувствовал, что…

я приобрёл…

я научился…

у меня получилось …

я смог…

я попробую…

меня удивило…

урок дал мне для жизни…

мне захотелось…

10. Завершение урока.

Урок сегодня завершён,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

Урок окончен. Спасибо за урок!

Используемые источники и программное обеспечение

Алгебра. 9 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений / [Макарычев Ю.Н., Миндюк Г.Н., Нешков К.И., Суворова С.Б.] ; под ред. Теляковского С.А. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2011. – 271 с. : ил.

Канина Г. В., учитель математики. Урок-презентация «Арифметическая и геометрическая прогрессия» [Электронный ресурс] – URL: http://festival.1september.ru/articles/534291/

 Мелом пишут по доске [Звук] – URL: http://zvukitut.narod.ru/melom_pishut_po_doske/Melom_pishut_po_doske.mp3 

Пойа Д. [Картинка] – URL: http://www.apm.pt/pic/_polya_5252dffc9e0eb.jpg Спенсер Г.  [Картинка] – URL: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/96/Herbert_Spencer.jpg/389px-Herbert_Spencer.jpg 

Шалкина С. В., учитель математики. Здоровьесберегающие технологии на уроках математики [Электронный ресурс] – URL: http://festival.1september.ru/articles/311946/ 

iSpring Presenter 7 - разработка тестов и преобразование во flash.

MS PowerPoint 2010 - разработка презентации.

Приложение

Работа у доски.

Задание 1

1)Дано: (аn) арифметическая прогрессия. а1 = 5, d = 3. Найти: а6; а10 ?

Решение: используя формулу
а n = а1 + d . (n -1)

а6  = а1  + d . (6-1) = а1  + 5d = 5 + 5 . 3 = 20

а10  = а1  + d . (10-1) = а1  + 9d = 5 + 9 . 3 = 32

Ответ: 20; 32.

Задание 2

2) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b1 = 5,q = 3. Найти: b3; b5?

Решение: используя формулу
bn= b1 qn-1

b3 = b1  . q2 = 5 . 32 = 5 . 9 = 4 5

b5 = b1  . q4 = 5 . 34 = 5 . 81 = 405

Ответ: 45;  405.

Задание 3

3) Дано: (аn) арифметическая прогрессия а4 = 11, d = 2.   Найти: а1?

Решение: используя формулу
аn = а1 + d . (n - 1)

а4 = а1 + d . (4 - 1); а4 = а1 + 3d;

а1= а4 - 3d = 11 - 3 . 2 = 5

Ответ: 5.

Задание 4

4) Дано: (bn) геометрическая прогрессия b4= 40, q = 2. Найти: b1?

Решение: используя формулу
bn = b1 qn-1

b4 =b1 q4-1 ;                 b4 =b1 q3

b1 = b4 : q3 = 40 : 23  = 40 : 8 = 5

Ответ: 5.

Гимнастика для глаз, вверх-вниз.

Голову держите прямо, не запрокидывайте.

Мягко переводите глаза вверх и вниз 4 раза. Глаза должны двигаться медленно и с равными интервалами. Не прилагайте никаких усилий, используйте минимум силы.

Гимнастика для глаз, влево - вправо.

 Двигайте глазами из стороны в сторону с максимальной амплитудой, не прилагая усилий 4 раза.

Гимнастика для глаз, диагональ.

Взгляните в левый верхний угол, а затем переведите взгляд в правый нижний. Повторите 4 раза. Затем сделайте 4 раза движение глазами из правого верхнего угла в левый нижний

Гимнастика для глаз, овал.

Двигайте глазами медленно и мягко по овалу в одну сторону, затем в другую, по 4 круга в каждом направлении.

Гимнастика для глаз, восьмёрка.

А сейчас глазами плавно опишите горизонтальную восьмёрку, или же символ бесконечности, максимального размера в пределах лица. В одну сторону 4 раза, а после чего в другую 4 раза.

Гимнастика для глаз, моргание.

Поморгайте часто-часто, легко-легко 4 секунды.

Кликнуть на слайде «белок», чтобы поморгало

Гимнастика для тела.

Нажмите на смайлик для возвращения к уроку

Вверх рука и вниз рука.
Потянули их слегка.
Быстро поменяли руки! Нам сегодня не до скуки.
(Одна прямая рука вверх, другая вниз, рывком менять руки).
Крутим-вертим головой,
Разминаем шею. Стой! 
(Вращение головой вправо и влево).
И на месте мы шагаем,
Ноги выше поднимаем. 
(Ходьба на месте, высоко поднимая колени).
Потянулись, растянулись
Вверх и в стороны, вперёд. 
(Потягивания – руки вверх, в стороны, вперёд).

И за парты все вернулись –
Вновь урок у нас идёт. 
(Садимся за парты).