Нестандартные методы решения задач на движение.
план-конспект урока по алгебре (8, 9, 10 класс) на тему

                         Нестандартные  методы  решения  задач на  движение.

1. Цели:

 - обобщить и систематизировать знания по следующим темам: квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения, текстовые задачи, подобные треугольники;

–  научить решать задачи на движение методом подобия;

–  развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность;

– развивать межпредметные связи (геометрия, физика).

2. Оборудование и материалы.

1) – Плакат с заданием к дидактической игре;

    –  ответы к заданиям;

    – таблица соответствия ответов буквам.

2) Плакат с подобными треугольниками к устному заданию.

3) Плакат с чертежом к задаче №1 (зависимость расстояния от времени движения).

4) Листы с планом урока, заданиями, которые выполняются на уроке и домашним заданием – на каждого ученика  (Приложение 1, Приложение 2).

5) Плакаты с высказываниями Д. Пойа о математике.

Необходимые материалы можно оформить в виде презентации.

3. Литература.

1. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Под ред. С.А.Теляковского. – М.:Просвещение, 2002.

2. Текстовые задачи: 7-11 классы: Учебное пособие по математике/ А.В. Шевкин. – М.: «ТИД «Русское слово – РС», 2003.

3. Журнал «Наука и жизнь», 12, 2000г.

4. Структура урока.

1. Мотивационная беседа, постановка цели.

2. Актуализация опорных знаний:

– дидактическая игра (решение квадратных уравнений), взаимопроверка в парах.

– устная работа: повторение подобных треугольников.

3. Краткий рассказ о математике В.И.Арнольде и его задаче («Задача о старушках»).

4. Решение задачи №1 стандартным методом.

5. Объяснение метода подобия на примере решения задачи №1.

6. Закрепление материала: решение задачи №2 («задача о старушках») методом подобия.

(Пояснение: стандартным методом эта задача решена на предыдущем уроке,  в домашнем задании ребятам предлагается решить её методом пропорциональных отрезков).

7. Объяснение домашнего задания (на листе). (Приложение 2)

8. Подведение итогов урока.

5. Ход урока.

1.  Сегодня на уроке вы познакомитесь с новым для вас способом решения задач на движение: методом подобия, научитесь применять этот способ при решении задач. Для этого вам  понадобятся умение решать квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения, а из геометрии – умение различать подобные треугольники и их свойства. Повторим эти понятия.
2. 1) Дидактическая игра.

 Решить по вариантам квадратные уравнения (на листе), напротив каждого уравнения записать ответ, вычисления  выполнять в тетрадях.

2)  Назовите все пары подобных треугольников.

3. Владимир Игоревич Арнольд – известный учёный-математик, академик, преподаватель МГУ.  В течении 40 лет он вёл семинары по математике для всех интересующихся математикой в Москве и Париже. На этих занятиях  он формулировал десятки задач из серии нерешённых проблем, которые хотелось бы решить. Иногда проходят годы, прежде чем какая-то задача будет решена. А у самого Владимира Игоревича интерес к математике появился рано, в пятом классе. Учитель задал на дом интересную задачу, которую смог решить один Володя. Какая же это задача?

 «…Прекрасная задача, замечательная! На меня она произвела сильнейшее впечатление. Позже я делал разные математические открытия, но удовольствие получал точно такое же, как тогда в пятом классе, когда я нашёл решение задачки со старушками…» («Наука и жизнь», №12, 2000г.)

Да, ребята, речь идёт о той самой задаче о старушках, которую вы решили на прошлом уроке стандартным методом. А сегодня вам предстоит решить её новым методом.

4. Задача №1.

Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?

Первоначально решим эту задачу стандартным способом с помощью таблицы (таблица  уже заготовлена на листе и на доске с заданиями для экономии времени).

Составим уравнение:

 +  =   ,  ОЗ:  6х(х + 5),   ОДЗ: х > 0 по смыслу задачи.

 = 0,  

х1 = 10,  х2 = -3 не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 10 часов и 15 часов.

5. Метод подобия.

Пусть первый пешеход может пройти всё расстояние за х часов, тогда второй – за (х + 5) часов. Построим графики движения этих пешеходов. (Так как движение равномерное, то графики являются отрезками).

P

Отрезки СD и АВ показывают промежутки времени движения от одного пункта до другого первого и второго пешеходов соответственно. Отрезок MN  изображает промежуток времени движения пешеходов до встречи. Поэтому:

CD = x; AB = x + 5; MN = 6; KD = x – 6; PB = x -1.

Так как Δ CKN    Δ BPN   и  ΔDKN    Δ APN  по двум углам, то   и, то есть  ,   .

Получим уравнение:

(х – 1)(х – 6) = 36

 = 0

Корни этого уравнения мы уже получили.

6. Решим теперь этим методом задачу о старушках.  

Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.

Вопрос: в каком часу расcвело в этот день?

7. Итог урока.

8. Домашнее задание.

1) Разобрать метод пропорциональных отрезков на примере решения задачи №2..

Пусть скорость первой старушки в х раз больше скорости второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в х раз меньше времени, чем вторая, а вторая – в х раз больше, чем первая. До встречи они шли одинаковое время, поэтому  

,  ,    х > 0, значит х = 1,5.

До встречи они шли 4 · 1,5 = 6 (ч), то есть вышли из городов в 6 часов утра.

2) Ответить на  вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь? (Посоветоваться с учителем географии).

3). Решить задачи методом подобия.

1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше, чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.

(Подсказка: найдите сначала, сколько в пути был первый велосипедист после встречи).

2. Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала всего ⅔ пути? (3), №261.

Приложение 1.

Тема урока:  «Нестандартные методы решения задач на движение».                                                                                                                                                         Вариант 1.                              

1. Решите уравнения.

3. Задача 1. Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.

Вопрос: в каком часу расцвело в этот день?

1)  Первый способ.

2) Второй способ.

3) Третий способ .    

Тема урока:  «Нестандартные методы решения задач на движение».

                                                                                                                                         Вариант 2.                              

1. Решите уравнения.

2. Задача 1 Из города А в город В и из города В в город А на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, другая – в 9 вечера.

Вопрос: в каком часу расcвело в этот день?

1)  Первый способ.

2) Второй способ.

3) Третий способ.

Дополнительные задания.

Задание 4

Задача 2. Первый пешеход может пройти расстояние между двумя пунктами на 5 часов быстрее, чем второй. Если пешеходы выйдут из этих пунктов навстречу друг другу одновременно, то встретятся через 6 часов. За сколько часов каждый из них может пройти это расстояние?

Задание 5.

1. Задача из экзамена  за 9 класс.

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше, чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.

(Подсказка: найдите сначала, сколько времени в пути был первый велосипедист после встречи).

2.Задача из вступительного экзамена в МИФИ (1994)г.

Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала всего ⅔ пути?

Задание 6. Ответьте на  вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь?

Приложение 2.

Домашнее задание.

1) Разобрать метод пропорциональных отрезков на примере решения задачи №2..

Пусть скорость первой старушки в х раз больше скорости второй старушки. Тогда на одном и том же участке пути первая тратит в х раз меньше времени, чем вторая, а вторая – в х раз больше, чем первая. До встречи они шли одинаковое время, поэтому  

,  ,    х > 0, значит х = 1,5.

До встречи они шли 4 · 1,5 = 6 (ч), то есть вышли из городов в 6 часов утра.

Решить этим способом задачу №1.

2) Ответить на  вопрос: в каком месяце старушки отправились в путь? (Посоветоваться с учителем географии).

3). Решить задачи методом подобия.

1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 45 км. Встретившись через 1,5 часа, они продолжили путь с той же скоростью, и первый прибыл в В на 2 ч 15 мин раньше, чем второй в А. Найдите скорости велосипедистов.

(Подсказка: найдите сначала, сколько в пути был первый велосипедист после встречи).

2. Грузовая машина выехала из пункта А в пункт В. Спустя 2 часа из В в А выехала легковая машина, которая прибыла в А на час позже, чем грузовая машина в В. Сколько часов была в пути грузовая машина, если к моменту встречи она уже проехала всего ⅔ пути? (3).