Различные способы решения квадратных уравнений
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

Сколько существует способов решения квадратного уравнения?

     Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи  до окончания вуза.

        В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним

определение:

        Квадратным уравнением называется уравнение вида                                                    аx² + bx + c = 0, где  х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,  а ≠ 0.  

       Если в квадратном уравнении  аx² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным  квадратным уравнением.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

1. Если c = 0, то уравнение примет вид

ax² + bx = 0.

x(ax + b) = 0 ,

x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a.

2. Если b = 0, то уравнение примет вид

ax² + c = 0,

x² = -c / a,

x₁ͅͅͅ͵₂ = ±

3. Если b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид

ax² = 0,

x = 0

Остановимся на рассмотрении способов решения полных квадратных уравнений.

Первый способ известен из курса алгебры 7 класса - решение квадратного уравнения по формуле:

ах²+ bх +  с = 0, а ≠ 0,

Х 1,2 = ,где х₁ и х₂-корни уравнения.

2 способ. Разложение левой части на множители.

х2 - 2х - 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 - 2х - 8 = х2 - 4х  +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).

(х + 2)(х -4)=0.

  Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.

 Это означает, что число - 2 и 4  являются корнями уравнения х2 - 2х - 8 = 0.

 3 способ.   Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

Вспомним формулировку теоремы Виета:

Сумма корней приведенного  квадратного уравнения  х2+ рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е.

Теорема, обратная  теореме Виета. Если р, q, x1, x2  таковы, что х1 + х₂ = - р,                         х1 · х2 = q,  то   х1  и   х2 – корни уравнения   х2+ рх + q = 0.

4 способ. Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примере.

      Решим уравнение  х2 + 6х – 40 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х  в следующем виде:  х2 + 6х  = х2 + 2· х ·3.

   В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа  х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как

                                  х2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3)2 .

 Преобразуем теперь левую часть уравнения  х2 + 6х – 40 = 0, прибавляя к ней и вычитая 9.

 Имеем: х2 + 6х – 40 =  х2 + 2х ·3 + 9  –  9 – 40 = (х + 3)2 – 49.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

    (х + 3)2 –49 = 0, т.е. (х + 3)2  = 49.

Следовательно, х + 3 = 7,  х1= 4,

                       или х +3 = -7 ,  х2   = -10.

5 Способ. Способ переброски коэффициентов.

Рассмотрим квадратное уравнение  ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на  а, получаем уравнение   а2 х2 + а bх +  ас = 0.

Пусть  ах = у, откуда  х =y/a; тогда приходим к уравнению   у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2   найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 =   и  х2 =  . При этом способе коэффициент  а  умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют  способом «переброски».

Например, решим уравнение  2х2-9x+9 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент  2  к свободному члену, в результате получим уравнение   у2 – 9y +18 = 0.

Согласно теореме Виета

 = >          =>                        

              Ответ: 1,5; 3.

6 способ: графический.

Если в уравнении  х2 +  px + q = 0  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим    х2 = - px - q. 

 Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

     График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

7 способ: геометрический.

   Опять же обратимся к примеру: решить уравнение   у2+ 6у – 16 = 0.

Преобразуем уравнение:

  у2 + 6у = 16  

 Уравнение   у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 равносильно исходному.

у²+ 6у + 9 = 16 + 9,у²+6у+9=25.На геометрическом языке площадь квадрата со стороной , равной 5, равна сумме площадей его частей, т.е. у²+3у+3у+9.Откуда после примения формулы сокращенного умножения  и получаем, что( у + 3)² = 25,

       у+3=±5

       у1 = 2, у2 =  – 8.                

      Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений , например, при решении задач нередко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

         Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то   они,  безусловно,  должно    заинтересовать     увлекающихся  математикой учеников.