РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
статья по алгебре (8 класс) по теме

Различные способы решения квадратных уравнений.

Содержание:

1. Введение.
2. Из истории квадратных уравнений.
3. Способы решения квадратных уравнений.

1.  Решение квадратных уравнений по формуле.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.
4. Метод выделения полного квадрата.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
7. Графическое решение.
8. Решение с помощью линейки и циркуля.
9. Номограммы в решении квадратных уравнений.
10. Геометрический способ решения.
11. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

4. Решение одного уравнения всеми способами.
5. Литература.
6. Приложение.

Введение

Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним

определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида 

                                                   аx2 + bx + c = 0,

 где  х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,  а ≠ 0.  

   Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным  квадратным уравнением.

Цель работы:

Расширение и углубление знаний в области решений квадратных уравнений.

Задачи:

1. Рассмотреть всевозможные способы решений квадратных уравнений.
2. Научиться применять эти способы решений.
3. Выявить наиболее удобные способы решений.
4. Составить дидактический материал для использования разных способов решений квадратных уравнений.

Актуальность этой темы заключается в том, что при сдаче ГИА и ЕГЭ квадратные уравнения необходимо решать не только на алгебре, геометрии, но и на физике. А так как время экзамена ограничено, значит надо уметь быстро найти рациональный способ решения. Работа способствует выработке навыка решения квадратных уравнений и умению быстро  находить рациональный способ решения.  

Из истории квадратных уравнений.

Развитие земледелия и астрономии ставили перед учеными древности задачи, для решения которых требовалось умение решать квадратные уравнения.

Решение некоторых квадратных уравнений известно было вавилонянам около 2000 лет до н.э.. Затем решение уравнений стало под силу грекам, а за ними индейцам, которые графически научились решать некоторые виды квадратных уравнений. Но общих способов решения пока не вывели.

В III в.  н.э. квадратное уравнение х2 - 20х + 96 = 0 решил древнегреческий математик Диофант без обращения к геометрии, но решение х= -2 для Диофанта не существовало, т.к. отрицательные числа древняя математика не знала.

Способы решений квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Вывод формулы:

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0,

на 4а   и следовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2*2ах  * b + b2) – b2 + 4ас = 0,

(2ах + b) 2 = b2 – 4ас,

2ах + b =  ±  √ b2 – 4ас 

2ах = – b ±  √ b2 – 4ас 

   Х 1,2 =    

●  Примеры

Решим уравнения:

а) 2x2-5x+2= 0.

  а = 2, b = -5, с = 2, D =  b2 –  4ас =(-5)2-4*2*2=25-16=9, D >два разных корня;

х = ,   х = ;  х = ,  х1=2  , х2 = ,  х2  = 1/2

 Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

        т. е. при b2 –  4ас≥0  уравнение ах2 + bх +  с = 0 имеет два различных корня.

б) 4x2-12x+9 = 0,

а =4, b= - 12, с = 9. D =  b2 –  4ас=144-4*4*9=0, D = 0, один корень;

х=1,5

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. D =  b2 –  4ас= 0, то уравнение ах2 + bх +  с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х2 -3х + 2 = 0, а =2, b= -3, с = 2, D =  b2 –  4ас= 9 – 4∙2∙2 =9 – 16 = - 7, D < 0.  

Уравнение  не  имеет  корней.

2. Разложение левой части на множители.

х2 - 2х - 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 - 2х - 8 = х2 - 4х  +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).

(х + 2)(х -4)=0.

  Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.

 Это означает, что число - 2 и 4  являются корнями уравнения х2 - 2х - 8 = 0.

3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603)

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного  квадратного уравнения  х2+ рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е.  х1 + х2 = - р,

                                        х1 · х2 = q.

Теорема, обратная  теореме Виета. Если р, q, x1, x2  таковы, что х1 + х2 = - р,

                        х1 · х2 = q,  то   х1  и   х2 – корни уравнения        х2+ рх + q = 0

4. Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примере.

      Решим уравнение  х2 + 6х – 40 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х2 + 6х  в следующем виде:  х2 + 6х  = х2 + 2· х ·3.

   В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа  х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как

                                  х2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3)2 .

 Преобразуем теперь левую часть уравнения  х2 + 6х – 40 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 9.  Имеем: х2 + 6х – 40 =  х2 + 2х ·3 + 9  –  9 – 40 = (х + 3)2 – 49.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:            (х + 3)2 –49 = 0, т.е. (х + 3)2  = 49.

Следовательно, х + 3 = 7,  х1= 4, или х +3 = -7 ,  х2   = -10.

5. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.

Рассмотрим квадратное уравнение  ах2 + bх +  с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на  а, получаем уравнение   а2 х2 + а bх +  ас = 0.

Пусть  ах = у, откуда  х =y/a; тогда приходим к уравнению   у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2   найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 =   и  х2 =  . При этом способе коэффициент  а  умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют  способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

● Примеры

 Решим уравнение  2х2-9x+9 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент  2  к свободному члену, в результате получим уравнение   у2 – 9y +18 = 0.

Согласно теореме Виета

y1=6       x1=6/2        x1=3
y2=3       x2=3/2       x2=1,5

Ответ: 1,5;3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0. 

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,  х2 = с/а.

Пример.

Решим уравнение 2013х2 –2014х + 1 = 0.

Решение. Так как  а + b + с = 0 (2013 – 2014 + 1 = 0), то  х1 = 1,    х2 = c/a = 1/2013.

Ответ: 1; 1/2013.

2) Если a + c=b , то х1 =-1, х2 = -с/а

Решим уравнение 11x2+27x+16= 0

 х1= - 1, х2 = -16/11

Ответ:  х1=-1, х2 =-16/11

7. Графическое решение.

Если в уравнении  х2 +  px + q = 0  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим                х2 = - px - q. 

 Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

     График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

                                                                                                             Рис. 3

8. Решение с помощью линейки и циркуля.

9. Номограммы в решении квадратных уравнений.

z2 + pz + q = 0 

номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. 

 Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

10. Геометрический способ решения.

               у2+ 6у – 16 = 0.

Решение  представлено на рис.8 , где

                       у2 + 6у = 16, или  у2+ 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения  у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 =  – 8.                

                          Рис.8             

11. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

х²-4х+3=0

Р2(х)= х²-4х+3

α; ±1,±3.

α =1,         1-4+3=0

Разделим р(х) на (х-1)

(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3)

(х-1)(х-3)=0

x-1=0     или              х-3=0

 х=1                              х=3        

Ответ: x1=1, x2=3

Решение одного уравнения всеми способами.

 «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу  различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».                                                                         У. У. Сойер.

1)Решение квадратного уравнения по формуле:

x2+8x-9=0

a=1 b=8 c=-9

D=b2-4ac

D=82-4*1*(-9)=64+36=100>0-действуют 2 корня

             =1

= -9

Ответ:-9;1

2)Разложение левой части на множители:

а)x2+8x-9=0                                                                             б)x2+8x-9=0

x2+9x-x-9=0                                                                                x2+8x-8-1=0

x2-x+9x-9=0                                                                                x2-1+8x-8=0

x(x-1)+9(x-1)=0                                                                          (x-1)(x+1)+8(x-1)=0

(x-1)(x+9)=0                                                                                (x-1)(x+1+8)=0

x-1=0 или x+9=0                                                                        x-1=0 или x+9=0

x1=1             x2=-9                                                                        x1=1             x2=-9

Ответ:-9;1                                                                                   Ответ:-9;1

3)Решение по теореме Виета.

x2+8x-9=0

x1 *x2=-9      

x1+x2=-8

Методом подбора находим:

x1=-9; x2=1

Ответ:-9;1

4)Метод выделения полного квадрата:

x2+8x-9=0                                                                      x+4=±√25

x2+2*x* 4 + 42-42-9=0                                                     x+4=±5

x2+2 x 4+16-25=0                                                         x+4=5 или x+4=-5

(x+4)2=25                                                                       x1=1            x2=-9

Ответ: -9;1

5)Решение способом переброски коэффициентов.

Квадратное уравнение решается данным способом если a ≠1.

Поэтому х2+8х-9=0 данным способом не решается.

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

х2+8х-9=0

а=1   b=8   c=-9

a+b+c=0, тогда х1=1      х2  = -9

Ответ:-9;1                                                                                  

7) Графическое решение: 

х2+8х-9=0

х2=-8х+9

у=х2 ; у=-8х+9

Построим графики данных функций:

у=х2- парабола с центром в точки О(0:0)

у=-8х+9- линейная функция, графиков является прямая.

Ответ: -9; 1.                                                             Рис.9

8)Решение уравнения с помощью циркуля и линейки.

х2+8х-9=0

Строим центр окружности:

О(; )

== -4                                           === -4

O(-4;-4) – центр окружности

Проводим окружность с радиусом OA

A(0;1)

Абсциссы точек пересечения окружности с осью OX                                Рис.10

являются корнями квадратного уравнения.

Ответ: -9; 1.

9)Геометрический способ решения.                                        

а) х2+8х-9=0                                                                         x                4                                                                                                                      

х2+8х=9                                          

х2+2*4x=9                                                                                                                                                            

(x+4)2=x2+8x+16

х2+8x+16=9+16

(x+4)2=25

x+4=±        Рис.11

x+4=±5

x+4=5 или х+4=-5

х1=1            х2=9

Ответ:-9;1

б)х2+8х-9=0                 

   х2+4*2х=9        

х2+4*2х+4*4=(х+4)2 х2+8x+16=9+16
(x+4)2=25

x+4=±5

x=-9

x=1

Ответ:-9;1

10)Решение с помощью номограммы.

x2+8x-9=0

по т. Виета x1*x2=-9

Значит, уравнение имеет корни разных знаков. Найдём сначала положительный корень.

p=8      g=-9

x1=1     x2=-p-x1

             x2=-8-1=-9

Ответ:-9;1.

11)Решение по теореме Безу.

x2+8x-9=0

Делители -9: ±1; ±3; ±9.

Найдём подбором x который является корнем  x2+8x-9=0

x=1 – является корнем.

Произведём деление трёхчлена.

  x2+8x-9   x-1
x2-x          x+9
    9x-9
   9x-9

       0

(х-1)*(х+9)=0

x=1            x=-9

Ответ:-9;1.

Литература:

1. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, М. : просвещение, 2011
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990
5. Алгебра. 8 класс. Учебник (профильный) / А. Г. Мордкович, М. : мнемозина, 2011
6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
7. Дидактические материалы по алгебре.
8.   Математика. ГИА – 30 вариантов / А. Л. Семенов, И. В. Ященко, М: национальное образование, 2013        

Дидактический материал к работе

1.  Решите квадратное уравнение, разлагая его левую часть на множители:

а) х2 – х = 0;                                     е) х2 – 4х + 4 = 0;

б) х2 + 2х = 0;                                  ж) х2 + 6х + 9 = 0;

в) 3 х2 – 3х = 0;                                з) х2 + 4х +3 = 0;

г) х2 – 81 = 0;                                   и) х2  + 2х – 3 = 0.  

д) 4 х2 –  = 0;

2. Решите уравнения по формуле:

а) 2х2 – 5х + 2= 0                        г) 4х2 – 12х +9 = 0

б) 6х2 + 5х + 1=0                        д) 10х2 – 6х + 0,9 = 0

в) 3х2 – 7х – 1 = 0                       е) 2х2 – 3х + 2 = 0                  

3. Не  решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:

1) х2  –  2х –  15 = 0                        7) х2  –  2х + 1 = 0

2)  х2  + 2х – 8 = 0                          8) х2  + 4х  + 4  = 0                          

3) х2  + 10х  + 9  = 0                       9) х2  –  6х + 9  = 0                                              

4) х2  –  12х +  35  = 0                    10) 4х2  + 7х – 2 = 0                                                                

5)3 х2  +1 4х  + 16  = 0                   11) 5х2  –  9х  –  2 = 0                                              

6) х2  –  5х +  6  = 0                        12) х2  –  11х +  15  = 0    

4. Решите уравнения, используя метод «переброски»:

2х2 – 9х +9 = 0                  5) 3х2 + х – 4 = 0

10х2 – 11х + 3 = 0              6) 5х2 – 11х + 6 = 0

3х2 +11х +6 = 0                  7) 2х2 + х – 10 = 0

4х2 +12х + 5 = 0                 8) 6х2 +5х – 6 = 0

5. Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

5х2 – 7х + 2 = 0                            5) 839х2 – 448х – 391 = 0

3х2 + 5х – 8 = 0                            6) 939х2 + 978х +39 = 0

11х2 + 25х – 36 = 0                      7) 313х2 + 326х + 13 = 0

11х2 + 27х +16 = 0                       8) 2013х2 – 2014х + 1 = 0

6. Решите уравнения по формуле четного коэффициента:

4х2 – 36х + 77 = 0                     3) 4х2 + 20х + 25 = 0

15х2 – 22х – 37 = 0                   4) 9х2 – 12х + 4 = 0

7. Решите приведенные квадратные уравнения с помощью выделения квадрата двучлена:

х2 – 8х – 9 = 0                                 3) х2 + 18х + 81 = 0

х2 + 6х – 40 = 0                               4) х2  - 56х + 64 = 0

8.  Решите графически уравнения:

 1) х2  – х – 6 = 0;             4)  х2  – 2х – 3 = 0;

 2) х2  – 4х + 4 = 0;          5) х2  + 2х – 3 = 0;  

 3) х2 + 4х +6 = 0;           6) 4х2  – 4х – 1 = 0.  

9. Решите с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:

1) х2  – 3х + 2 = 0;               4) 2х2  – 7х + 5 = 0;

2) х2  – 3х – 10 = 0;             5) х2  – 6х + 9 = 0;              

 3)  х2  +4х + 3 = 0;               6) х2  +4х + 5 = 0.  

10.   Решите с помощью номограммы уравнения:

 1) z2 – 7z + 6 = 0;                   4) z2 – z – 6 = 0 ;

 2)  z2 + 5z + 4 = 0;                  5) z2 – 11z + 18 = 0;    

 3)   z2 – 4z + 4 = 0;                  6)  z2 – 2z + 3 = 0.