Формирование первоначальных стохастических представлений
консультация по алгебре (10 класс) на тему

Формирование   первоначальных стохастических     представлений

Выступление на МО

Изучению вероятностных понятий должен предшествовать процесс накопления необходимых интуитивных представлений о конкретных случайных явлениях окружающего мира.

        Процесс «интуитивных накоплений» надо организовать прежде всего путем широкого эксперимента, проводимого самими учащимися. Нельзя «давать ученику знания», а потом ждать, что он начнет применять их, в том числе и творчески. Как утверждает А.Плоцки, «из-за своей специфики стохастика может быть математикой, понимаемой каждым учеником как математика, открытая им самим»

        Одна из важнейших целей обучения школьников элементам стохастики состоит в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе наличествуют статистические закономерности. Выполнение этой задачи нельзя сводить к изучению соответствующего математического аппарата, к деятельности учащихся в мире абстрактных моделей. Более важно помочь им правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и активно действовать.

        Средства, с помощью которых можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений - это стохастические игры; Эксперименты со случайными исходами; статистические  исследования; мысленные статистические эксперименты и моделирование.

Для проведения экспериментов учащиеся должны располагать различными  генераторами случайных исходов. Пока это могут быть подручные средства, игровые наборы, самодельные вертушки и т.п.

Примеры использования стохастических игр, экспериментов, статистических исследований и моделирования

Пример 1. Учитель поручает ученикам разыскать среди своих игрушек игральный кубик и подбросить его несколько раз. В ходе этого простейшего опыта ребята должны ответить на следующие вопросы:

Какие из следующих событий являются возможными (случайными), а какие невозможными или  достоверными?

а) кубик, упав, останется на ребре;

б) выпадет только одно из чисел: 1,2,3,4,5,6;

в) выпадет число 6;

г) выпадет число 4;

д) выпадет четное число;

е) выпадет нечетное число;

ж) выпадет число, которое делится на 5;

з) выпадет число, которое делится на 7;

и) выпадет число, которое делится на 3.

Пример 2. Поставив вопрос: «Какие буквы встречаются в текстах чаще: гласные или согласные?», учитель предлагает детям исследовать 7 строк наугад выбранного отрывка из книги Ж.Верна «Дети капитана Гранта». Результаты подсчета нужно оформить в виде таблицы. Затем предлагается провести исследование для того, чтобы определить, как часто встречаются буквы а, н, п, ч в первых строфах стихотворения А.С. Пушкина «Зимняя дорога».

После подсчета числа букв каждого вида учащиеся заполняют таблицу частот и выясняют,  какая из букв встречается чаще и во сколько раз.

        Исследуя далее литературные тексты, школьники смогут заметить,     что,  например, буква «а» встречается в 5 раз чаще, чем буква «ч»; «н»  чаще, чем «ч»- более, чем в 4 раза; буква «о» встречается в 55 раз чаще, чем буква «ф».

В результате дальнейших исследований ребята приходят к выводу, что событие «встретить в русском тексте букву е» является более вероятным, чем событие «встретить в русском  тексте букву а» На данном этапе осуществляется качественная оценка вероятности по частоте.

Пример 3.  Учащимся поручается нарезать 20 бумажных кружков и написать на каждом из них одно из чисел: 1,2,3,4…20. Занумерованные таким образом кружки тщательно перемешивают и кладут в коробку. Предлагается сыграть с кем-нибудь из членов своей семьи в следующую игру: каждый вынимает наудачу один кружок, записывает его номер, затем возвращает кружок обратно в коробку и тщательно перемешивает ее содержимое. Каждый из участников игры проделывает подобные действия 10 раз. В ходе игры учащиеся должны ответить на два вопроса:

1. Будут ли у игроков одинаковые шансы на выигрыш, если выигрывает тот игрок, у которого больше кружков с четными номерами?
2. Один из игроков считает в свою пользу только числа, кратные 3, а другой - только числа, кратные 5. У какого игрока больше шансов на выигрыш?

На 1 вопрос ответ утвердительный, так как число кружков с четными номерами равно числу кружков с нечетными номерами.

        Отвечая на 2 вопрос, учащиеся должны заметить, что среди чисел 1,2…20 всего шесть кратны 3 и всего четыре кратны пяти. Следовательно, ребят можно будет подвести к мысли о том, что у первого игрока шансов на победу больше. Так, не говоря ни слова об определении вероятности, учитель фактически побуждает учащихся пользоваться интуитивными представлениями о ней.

Пример 4. Лена и Оксана вынимают, не глядя, два шарика из коробки, в которой лежит столько же красных шариков, сколько и зеленых. Если вынули шарики разных цветов, то выигрывает Лена. Если оба шарика красные - Оксана. А если оба шарика зеленые, то объявляется ничья. Как выяснить, справедлива ли игра? В качестве домашнего задания учащимся поручается сыграть с кем-либо из членов своей семьи. Пусть они попробуют предсказать результаты дальнейшей игры.

          Выполняя это задание, учащиеся сначала экспериментальным путем приходят к выводу, что чаще будет выигрывать Лена. Затем они убеждаются в этом «теоретически»: из четырех вариантов два варианта (КЗ и ЗК) в пользу Лены и только один вариант (КК) в пользу Оксаны. Значит, более вероятно, что выиграет Лена.

          Сущность многих явлений, имеющих замаскированную стохастическую основу, останется недостаточно раскрытой, если не сопоставлять их с явлениями, имеющими ярко выраженную вероятностную структуру. Поэтому необходимо проводить аналогии, параллели между явлениями указанных двух типов. Этого можно достичь с помощью моделирования.

          Моделирование позволяет связать воедино представления, получаемые учащимися при проведении статистических экспериментов, и представления, получаемые ими при проведении статистических исследований тех явлений, случайная природа которых неочевидна, затушевана многими осложняющими восприятие факторами.

Пример 5.  Учащиеся разбиваются по парам:

1-я пара - один подбрасывает монету, а другой вращает вертушку с двумя одинаковыми секторами (секторы пронумерованы)

2-я пара - один подбрасывает игральный кубик, а другой вращает вертушку с шестью одинаковыми секторами;

3-я пара - один вращает вертушку с тремя одинаковыми секторами, а другой из трех кружочков разного цвета, лежащих в коробке, наудачу вынимает по одному (с возращением)

                 Выигрывает пара, игроки которой получили наименьшее различие в результатах испытаний. Способ оценки такого различия может состоять в сравнении зарегистрированных сведений. И хотя этот способ во многих случаях не позволяет однозначно указать победителя в игре, тем не менее, он обладает дидактической ценностью, поскольку облегчает в дальнейшем введение количественной оценки возможности наступления события.