Разработка урока по теме «Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль» в 10-м классе (профил.уровень)
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Разработка урока по теме

«Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль»

в 10-м классе (профильная группа)

Урок систематизации и обобщения изученного материала.

По учебнику Алгебра 10-11 класс. Мордкович А.Г.

Цель урока: систематизировать учебный материал, повторить понятие модуля и общие методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Оборудование: наглядные материалы с геометрической интерпретацией модуля, таблица «Решение неравенств с модулем |х| ≤ 3; |х| > 6», карточки с заданиями, записи на доске.

План урока

1. Оргмомент.
2. Устная работа.
3. Решение упражнений на доске по карточкам
4. Решение упражнений. Самостоятельная работа.
5. Итог урока.
6. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Оргмомент.
2. Устная работа.

1)Что называется модулем числа?

2)Геометрическая интерпретация модуля числа. Таблица.

3)Раскрытие модуля:  |х-8|. Использование  таблицы 1.

4)Решить уравнение: |х-2|=5 (отв.:7; -3); |х-10|=0 (отв.: 0); |х+3|=-4 (отв.: ∅);

5)Решить неравенство: а) |х| ≤ 3; б) |х| > 6. Использование  таблицы 2.

6)Решить уравнение . Решение:  ⇒ |х| = 5 ⇒ х=5; -5. Ответ: 5; -5.

3. Решение упражнений на доске по карточкам с последующим кратким анализом и обсуждением решения.

1)|х+3|=2х

Решение. ОДЗ: х ≥ 0.

х+3=2х        ⇒        х=3∈ОДЗ

х+3=-2х                х=-1∉        ОДЗ                Ответ: 3

2) |5х-3|<7

Решение. -7<5х-3<7;  -4<5х<10;  . -4/5<х<2;  -0,8<х<2. Ответ:  (-0,8;2)

3) |х2-1|>1

Решение.  х2-1 > 1        ⇒        х2 > 2        ⇒        х>                 ⇒        х∈ (-∞;-) ∪ (; +∞)

              х2-1< -1                х2 < 0                х< -

                                                ∅

Ответ: (-∞;-) ∪ (; +∞)

4)Решить систему неравенств:        |х+1| < 6

                                        |х-1| ≥ 2

Решение.

|х+1| < 6        ⇒        -6<х+1<6        ⇒         -7<х<5        ⇒

|х-1| ≥ 2                 х-1 ≥ 2                х ≥ 3

                         х-1 ≤ -2                х ≤ -1                                -7          -1     3         5             х

⇒ х∈ (-7;-1] ∪ [3;5)

                Ответ: (-7;-1] ∪ [3;5)

4. Решение упражнений (на доске и в тетрадях).

1)Решить уравнение х2+6|х|-7=0

Решение. Обозначим |х|=t, где t ≥ 0. Тогда |х|2= х2=t2. Уравнение принимает вид:

t2+6t-7=0. Корни находим по теореме Виета: t=1, t=-7, из которых t=-7<0 – не подходит.

Возвращаемся к замене: |х|=1, отсюда х=1, х=-1.

Ответ: 1; -1

Обратим внимание учащихся на то, что решать такие уравнения с модулем способом подстановки выгоднее и продуктивнее, чем рассматривать два случая раскрытия модуля.

2)Найдите наибольшее значение выражения   При каких значениях х и у оно достигается?

Решение. Дана дробь вида . Её числитель не изменяется, а знаменатель изменяется. Следовательно, чем меньше знаменатель, тем больше дробь.

Слагаемые: (х-у-3)2 х ≥ 0; |х+у-5| ≥ 0; 3 > 0.

Дробь примет наибольшее значение при равенстве нулю двух первых слагаемых. Получим дробь , где 4 - наибольшее значение выражения.

Рассмотрим, при каких значениях х и у оно достигается. Решим систему уравнений (можно устно, например, способом сложения)

х-у-3=0         ⇒         х=4, у=1

х+у-5=0

Ответ: наибольшее значение выражения равно 4 при х=4, у=1.

3)Решите уравнение:

а) |х-5|+|6+х|=13;  б) |х-5|+|6+х|=11.

Решение.                                        I                II                III

а) Раскроем модули

-6                5                          х

I интервал (-∞;-6); уравнение принимает вид: 5-х-6-х=13

Получаем: -2х=12, х=-7∈ интервалу.

II интервал [-6; 5]; уравнение принимает вид: 5-х+6+х=13

Получаем равенство 11=13, которое является неверным, следовательно, корней нет.

III интервал (5; +∞); уравнение принимает вид: х-5+6+х=13

Получаем: 2х=12, х=6∈ интервалу.

Ответ: -7; 6.

б)Уравнение представляет интерес с точки зрения того, как изменится его решение с изменением значения в правой части уравнения.

На I интервале (-∞;-6) уравнение имеет решение х=-6, которое не принадлежит интервалу.

На II интервале [-6; 5] получаем равенство 11=11, которое является верным при любом х из этого интервала. Итак, решением являются х∈[-6; 5].

На III интервале (5; +∞) уравнение имеет решение х=5, которое также не принадлежит интервалу.

Ответ: [-6; 5]. (Здесь мы видим нечастый на данном этапе обучения случай, когда решением уравнения является не частное числовое значение, а числовой отрезок)

4)Решить уравнение с параметром |х2-2х-3|=а.

Решение. Решим уравнение графически.

Строим график функции у= х2-2х-3, а затем – у=|х2-2х-3|.

Ответ: при а <0 нет корней; при а=0 и а>4 два корня; при а =4 три корня; при 0<а<4 четыре корня.

6)Самостоятельная работа.

Решить графически уравнение |||х-4|-2|-1|=1. Соревновательный элемент. Допускается схематическое решение.

По окончании работы обсудить план построения графика. Точное построение выполнить дома.

Ответ: 0; 2; 4; 6; 8.

5. Дополнительные задания. а)Решить уравнение ; б) Решить аналитически и графически уравнение ||х+1|-2|=3.
6. Итог урока. Как решаются неравенства вида |х|  < а; б) |х| > а? Раскрыть модуль |х+1|. Перечислить способы решения уравнений с модулем. Как схематически выглядит график функции у= х2+6|х|-7 (задание №4\1)?

7. Домашнее задание. Выполнить по задачнику № 5.21а, 5.24, а также уравнения №6 из текста конспекта урока, дополнительные задания.