Открытый урок по теме:«Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля»
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Открытый урок по теме: «Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля»

Голоднова Галина Алексеевна, учитель математики

МАОУ Гимназии №17

Республика Башкортостан, г. Белорецк.

Тема урока: Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

 Цель урока: Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «решение уравнений, содержащих знак модуля» (в частности, тригонометрических) и познакомить их с основными алгоритмами решения неравенств с модулем.

Ход урока:

1. Повторяем основные алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля.

   а) | f(x) | =  | g(x) | <=>   f(x) = ± g(x)  

Пример 1.

                      | sin x + cos x | = 2 | sin x -  cos x |.

Решение.

          sin x + cos x = 2 sin x - cos x         x = arctg 2 + πn                      

          sin x + cos x = - 2sin x + cos x       x = πk,         n,k  Z

б) | f(x) | = g(x) <=>       f(x) = ± g(x)

                                            g(x) ≥ 0

     Пример 2.

                          | sin x -  | = cos x - .

     Решение.

                      sin x ≥                       sin x ≥  

                          sin x - cos x = 0              sin x + cos x -  = 0    

          Ответ: x =  + 2πn,    n  Z.

          в) | f1(x) | + | f2(x) | + …+| f n(x) | = g(x)

              Для каждой из этих функций находят область определения, её нули и    точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область определения функции f(x) (i = 1,2,… n) на промежутки, в каждом из которых каждая из функций f i(x) сохраняет постоянный знак. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, подлежащее решению.

         Пример 3.

                               | sin x -  | - | cos x -  | = 1.

        Решение.

                             Сначала будем искать решение уравнения на промежутке длины 2π. На окружности единичного радиуса, как легко видеть, необходимо отметить числа  - ;  ; . Решение данного уравнения сводится к решению четырёх систем:

1. -  ≤ x ≤

- sin x +   -  cos x +   = 1;           откуда x = -

2.  < x ≤ ,                                        < x ≤ ,

         sin x -   -  cos x +   = 1;               x = π,  x = ;   система не имеет

                                                                                             решения

3.  < x ≤ ,

                  sin x -   +  cos x -   = 1; система не имеет решения;

        4)       < x < ,                                          < x < ,

                 - sin x +   +  cos x -   = 1;                x = .

Ответ: x = -  + 2π n,   x = -  + 2πk,    n,k  Z.

2. Объяснение нового материала: решение неравенств, содержащих модуль.

а) Неравенство вида: | f(x) | < g(x) <=> - g(x) < f(x) < g(x) <=>    f(x) < g(x),

                                                                                                             f(x) > - g(x).

Пример.

                        Решите неравенство | x – а | + | x – 2 | + а – 4 ≤ 0 при всех а.

Решение.

                 | x – а | + | x – 2 | + а – 4 ≤ 0 <=> | x – а | ≤ 4 – а - | x – 2 |  <=>

         x – а  ≤ 4 – а - | x – 2 |,                | x – 2| ≤ 4 – x,

         x – а  ≥ а – 4 + | x – 2 |;  <=>      | x – 2| ≤ x – 2а + 4;   <=>

             x – 2 ≤ 4 - x ,

             x – 2 ≥ x – 4,                           x ≤ 3,

   <=>        x – 2 ≤ x – 2а + 4,      <=>      а ≤ 3,

             x – 2 ≥ 2а – x – 4;                   x ≥ а – 1.

                                      а – 1               3                 x

Из рисунка видно, что решением будет промежуток  [а – 1; 3]. Итак, решений при а > 3 нет, а при а  ( - ∞; 3] имеем а – 1 ≤ x ≤ 3.

Ответ: x  [а – 1; 3] при а  ( - ∞; 3]; нет решений при а  (3; + ∞).

б) Неравенство вида: | f(x) | > g(x).

Если g(x) < 0, то неравенство выполнено, т.к. модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа.

Если g(x) ≥0, то выполнена совокупность неравенств

f(x) > g(x),

f(x) <- g(x).

И на числовой оси ситуация выглядит так:

                                                            - g(x)           g(x)                   x

Пример.

                             Решите неравенство | | x2 + 5 x – 18 | - x2 | ≥ 18 – x.

Решение.

                | | x2 + 5 x – 18 | - x2 | ≥ 18 – x <=>

           |x2 + 5 x – 18 | - x2  ≥ 18 – x,                   | x2 + 5 x – 18 | ≥ x 2 – x +18,

<=>    |x2 + 5 x – 18 | - x2  ≤ -18 + x т   <=>      | x2 + 5 x – 18 | ≤ x 2 + x -18;    <=>

    x2 + 5 x – 18  ≥ x 2 – x +18,                   x ≥ 6,

    x2 + 5 x – 18  ≤ - x 2 + x -18;                 x(x + 2) ≤ 0,                        x ≥ 6,

       x2 + 5 x – 18  ≤  x 2 + x -18,   <=>        x ≤ 0,                      <=>    x [- 2; 0];

       x2 + 5 x – 18  ≥ - x 2 - x +18                 (x + 6)( x – 3) ≥ 0              x ≤ - 6.

Ответ: ( - ∞; - 6 ][ - 2; 0 ] [ 6; +∞ ).

в) Неравенство вида: | f(x) | < | g(x) | <=> ( f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) < 0.

Так как знак разности модулей совпадает со знаком этого произведения.

Пример

                    Решите неравенство | 4 x3 – x + 7 | ≤ | 2 x3 + 5 x + 3 |.

Решение.

            | 4 x3 – x + 7 | ≤ | 2 x3 + 5 x + 3| <=> (6 x3 + 4 x + 10)(2 x3 - 6 x + 4) ≤ 0 <=>

<=> (3 x3 + 2 x + 5)( x3 - 3 x + 2) ≡ (x + 1)(3 x2 - 3 x + 5)( x – 1)( x2 + x – 2)≤0 <=>

<=> (x – 1)2 (x + 1)( x + 2)≤0  <=>  x [-2; -1] {1}.

Ответ:   [-2; -1] {1}.

Пример

                    Решите неравенство | x2 + 3 x – 4 | + | x2 – 16 | > | 2 x2 + 3 x – 20 |.

Решение.

                 Этот пример можно решить стандартным способом, но долго. А если заметить, что наше неравенство имеет вид:

      | u | +| v | > | u + v | <=> u2 + 2| u v | + v2 > u2 + 2 u v + v2  <=>

                                         u v ≥ 0,

                                         u v > u v;

<=>  | u v | >  u v <=>      u v < 0,          <=>  u v <0,

• u v > u v

то неравенство решается в одну-две строчки:

| x2 + 3 x – 4 | + | x2 – 16 | > | 2 x2 + 3 x – 20|  <=>  

<=>   (x2 + 3 x – 4)( x2 – 16) < 0   <=>   (x – 1)( x + 4)2(x – 4) < 0.

Решаем методом интервалов и получаем, что x (1; 4).

Ответ:   (1; 4).

3. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

            | | x2 - 9 x + 1| - 2 x2 | ≥ 2 - x .