Урок по алгебре и началам математического анализа

 в 10 классе (физ-мат.)

Тема: «Уравнение касательной. Условие касания».

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков при  решении проблемы.

Цель урока: Закрепить ранее полученные знания,  научиться самостоятельно решать более сложные задачи и на основе их  анализа делать выводы.

Задачи:

 Образовательные:
                  -закрепить знания и   навыки по теме «Уравнение касательной»;

-сформировать умения учащихся решать более сложные задачи;

-подготовить учащихся к самостоятельной деятельности.

Развивающие:

- способствовать развитию мыслительных операций: анализ, аналогия, сравнение, обобщение, внимание, монологической и диалогической речи;

- способствовать развитию у учащихся поиска и распознавания полезной информации ( на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей).

Воспитательные:

             - содействовать воспитанию активной личности,

              способной  самостоятельно  делать обобщения и вывод.

Методы обучения: репродуктивный, частично – поисковый.

Форма организации учебной деятельности:

Фронтальная;

Индивидуальная;

Самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование: проектор, презентация к уроку

Учебник. Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.

Задачник. Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.

Используемые современные образовательные технологии: ИКТ,  технология проблемного обучения, технология системно-деятельностного подхода, технология дифференцированного обучения, технология  обучения в сотрудничестве.

Структура урока:

1. Организационно-мотивационный момент.
2. Актуализация ЗУН.
3. Углубление ЗУН на примерах более сложных задач.

4. Обобщение, вывод, рефлексия.

5. Домашнее задание, подведение итогов.

Ход урока:

На прошлом уроке мы с вами вывели уравнение касательной и научились решать некоторые виды задач на составление уравнения касательной.

Давайте ещё раз повторим:

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку?»  (слайд 3,4)

• Что же такое касательная? (слайд 5,6)
• Какова связь между производной в точке касания и уравнением касательной? ( слайд 7,8,9,10)
• Назовите уравнение касательной  (слайд 11)
• Как мы его получили?

Решение  задач на повторение :

Цель: повторить алгоритм решения задач на составление уравнения касательной, выявить пробелы у учащихся и их  ликвидировать.

Слайд 12 – устно проговорить алгоритм решения, проговорить сходства и различия в решении задач разных видов.

 Решение по вариантам:

Задача №1.

Написать уравнения всех касательных к графику функции f(x)=x2+4x+6, проходящих через точку М(-3;-1).

Ответ:  y=-6x–19,     y=2x+5.

Ответ:  y=-6x–19,     y=

Задача №2.

Правильно ли составлено уравнение касательной к графику функции         f(x)=x3-3x2+1, если угловой коэффициент касательной k = -3. y= -3x+7.

Правильный ответ: y= -3x+2

Как расположены графики таких прямых y= -3x+7, y= -3x+2.

Делаем вывод, что у параллельных прямых коэффициенты равны, а если прямые перпендикулярны?

Слайд 15

Углубление материала:

Цель: вспомнить условия параллельности и перпендикулярности прямых и применить их при  составлении уравнений касательных; в задачах с параметром выяснить необходимые и достаточные условия для существования касательной к графику функции.

Задача №3.

Составьте уравнение касательной к графику функции y = x3-x2-x+1, которая параллельна прямой y=2x-1.

Задача №4.

Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x+1, перпендикулярной прямой y= -1/4x+8.

Ответ: y = 4x+1

Задача №5.

При каких значениях а прямая y=3x-2 является касательной к графику функции y = x2+ax+2?

Ответ: a=-1, a=7.

Задача №6.

При каких значениях b прямая y =3x +b является  касательной к графику функции y = ?

Ответ: b = .

Вывод, рефлексия:

Цель: решить поставленную проблему ,  сформулировать условие касания прямой к графику функции и сделать вывод.

Условие касания.

Для того, чтобы прямая y = kx+b была касательной к графику функции y = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа x0(одной точки касания), для которой выполняется система

Способы написания уравнения касательной:

1. Находим общие точки графиков, т.е. решение уравнения f(x) = kx+b, а затем для каждого из его решений вычислить f’(x0). Там где f’(x0) = k  , имеет место касание, а в других пересечение.
2. Находим корни уравнения f’(x0) = k и для каждого из них проверим, выполняется ли равенство f(x0) = kx0 + b. При его выполнении получаются абсциссы точек касания.

Вывод:

 Если в точке x0 существует производная, то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции y = f(x)   и наоборот,  если в точке x0  нет производной функции y =f(x), то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции y =f(x) с  угловым коэффициентом k=f’(x0).

ПРОЕКТ УРОКА ( урок геометрии в 10 классе (физ-мат))

Технологическая карта урока

Ход урока:

1. Организационно-мотивационный момент
2. Актуализация знаний

Мы с вами изучили тему «Расстояния в пространстве», давайте немого повторим:

Задание 1.  Определите, в каком из вариантов формулировка определения верна:

А) Расстоянием  от данной точки М до данной прямой а называется  длина перпендикуляра из точки М на прямую а;

Б) Расстоянием  от данной точки М до данной прямой а, не проходящей через точку М,  называется  длина отрезка, опущенного из точки М на прямую а;

В) Расстоянием  от данной точки М до данной прямой а, не проходящей через точку М,  называется  длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую а.

Задание 2: Выяснить по чертежу, является ли отрезок МК расстоянием от точки М до прямой АК (а).

3. Постановка учебной задачи

Обратите внимание на задачи, которые мы сегодня будем решать:

- что за урок будет сегодня, цель и задачи урока?

- каким вы видите результат урока?

- для чего нужен такой урок?

Задача 1. Точка Н – середина ребра PB         правильного тетраэдра PABC. Опустите перпендикуляры из точки Н на прямые: а) AP; б) АВ; в) CР. Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно .        

Ответ: а)1,5; б)1,5; в)1,5.

Задача 2. Точка Н – середина ребра PB правильного тетраэдра PABC. Опустите перпендикуляры из точки Н: а) на прямую AC; б) на высоту РО тетраэдра, О. Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро        тетраэдра равно .                        Ответ: а) 2; б) .        

                                                                   Задача 3.  В кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние до прямой ВD от вершин: а) В1; б) А; в) С1, если ребро куба равно 6.

Ответ: а) 6; б) 3; в) 3.                  

Задача 4.  В кубе АВСDА1В1С1D1  найдите расстояние до прямой    А1С от вершин: а) А; б) В 1; в) D1,  если ребро куба равно 6.            

Ответ: а) 2; б) 2; в) 2.                          

Задача 5.  В кубе АВСDА1В1С1D1  найдите расстояние до плоскости АВ1С от вершин: а) В; б) D1, если ребро куба  равно 6.                      

Ответ: а); б) 4.  

Задача 6. В кубе АВСDА1В1С1D1   на ребре ВС выбрана такая точка М, что ВМ:МС = 4:3. Найдите   расстояние от точки М до плоскости:

а) В1ВD; б) С1АС; в) АВ1С, если  ребро  куба  равно .

Ответ: а) 4; б) 3; в) . 

  Задача 7. Точка Н – середина ребра PB правильного тетраэдра PABC (рис.12). Опустите перпендикуляр из точки Р на плоскость AСН и найдите длину этого перпендикуляра, если ребро   равно .                                                                      Ответ:                                                                                                                                                                                                        

Задача 8. Точка Н–середина ребра PB правильного тетраэдра PABC. Опустите перпендикуляр из точки Н на плоскость AВС и найдите длину этого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно .                                    

                                                                 Ответ: .                                                

        Задача 9. Точка О–центр грани АBС правильного тетраэдра PABC. Опустите перпендикуляры: а) из точки С на грань РАВ ; б) из точки О  на грань РАВ и найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно .                                                

                                                                       Ответ: а) 6; б) 2.                        

Задача 10.  В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 18 требуется найти расстояние между прямыми: а) ВС и D1C1 (рис.1); б) ВС и А1К (рис.2); в) C1B и B1D1 (рис.3);  г) АC и D1B (рис.4);   д) СD1 и ВD (рис.5);  е) АС и C1К, где К - середина ВС (рис.6).

      Рис.5 Рис.6

        Ответ: а) 18; б) 18; в) 6 ; г) 3;  д) 6;  е) 6.   

4. Обобщение и систематизация материала

Назовите самые важные знания по теме, которые вам помогли справиться с задачами.  Какой можно сделать вывод?

5. Вывод и рефлексия
6. Домашнее задание

Задача 1.        ABCDEFA1B1C1D1E1F1- правильная шестиугольная призма, все   ребра которой равны 1. Найдите расстояние:          

1) от вершины A до прямой CD;                2) от вершины A до прямой C1D1;                                       

                Рис.1                                                        Рис.2

                Ответ:.                                         Ответ: 2.

Задача 2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние:

 а) от точки В до плоскости А1EF;                  б) от точки В до плоскости АВ1С;

                        Ответ:  .                                Ответ: .