Аналитические методы решения задач с параметрами Составитель: Е.М .Чернова МКОУ КГ№ 1
методическая разработка по алгебре на тему

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

 «Кизлярская гимназия №1 имени М.В.Ломоносова»

Методическое пособие

Аналитические методы решения задач с параметрами

г.Кизляр, 2013 г.

Составитель: Е.М .Чернова

Методы решения уравнений и неравенств первой и второй степени с параметрами.. Методическое пособие.- г. Кизляр., 2013 г.

        Одними из наиболее сложных задач для учащихся в курсе математики - это задачи с параметрами, так как требуют от них умения рассуждать логически и анализировать полученные решения. С одной стороны, для выполнения этих задач не требуется знаний сверх школьной программы, но, с другой стороны, необходимо глубокое понимание всех разделов элементарной математики.
      В данном пособии описаны методы решения задач с параметрами и обозначены классы задач, решаемых по единой методике.
    В пособии рассматриваются аналитические методы решения задач, сводящихся и исследованию линейных, квадратных уравнений и неравенств, и квадратного трехчлена.
      Задачи данной тематики включаются в варианты заданий ГИА, ЕГЭ второй части.
        Методическое пособие адресовано учителям математики и учащимся, проявляющим повышенный интерес к предмету, желающим самостоятельно научиться решать задачи с параметрами.

Рецензент:  Т.Э. Саркаров, д.т.н., декан факультета информационных систем      ДГТУ.

СОДЕРЖАНИЕ

Линейные уравнения

 Системы линейных уравнений        

Линейные неравенства        

Система линейных   неравенств

Квадратные уравнения        

Знаки корней квадратного уравнения        

Парабола        

Расположение корней квадратного уравнения

Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции

Рациональные неравенства        

Использование симметрии аналитических выражений        

1. Линейные уравнения

Определение. Уравнение вида ах= b, где а , b действительные числа, называется  линейным  уравнением стандартного вида.

Рассмотрим все  случаи, возможные  при решении линейных уравнений:  

Схема I

Количество корней линейного уравнения:

Схема II

Замечание. Во всех примерах переменную и параметр будем рассматривать на множестве действительных чисел.

Пример 1. Для всех действительных значений параметра а решите

уравнение а 2х -2=4х + а.

Решение. Приведем заданное линейное уравнение к стандартному виду: а 2х -2=4х + а, а 2х - 4х = а + 2,

( а 2 — 4)х = а + 2.        (1)

Используя  схему  II, рассмотрим два случая для коэффициента при х:

1) если  а 2-4≠0, а ≠±2,то х = (а +2)/( а 2-4), х=1/( а -2);

2) если а2-4=0, а=±2, то:

а) при а=-2 уравнение (1) примет вид 0х=0, где х - действительное число.

б) при а =2 уравнение (1) примет вид 0х=4 , которое не имеет решений;

Ответ. Если а<  -2, -2 <а < 2,  а> 2, то х = 1/(а-2); если а=-2, то х — любое действительное число; если а = 2, то нет решений.

Пример 2. При каких значениях параметра т уравнение

 2(т - 2х)=mх+3 не имеет корней?

Решение. Имеем 2(m - 2х) = mх + 3, 2m— 4х = mх + 3, mх + 4х = =2m-3,

(m + 4)х = 2 m - 3.

Согласно схемы II линейное уравнение не имеет корней, если        

 m+4=0,  и 2m-3≠о. отсюда m=- 4  и m≠1,5. Значит,

=> m: = - 4.

 Ответ: m = - 4.

1.2. Системы линейных уравнений

Определение 1. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Определение 2. Система уравнений называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Количество решений системы линейных уравнений отразим в следующей блок-схеме:

Схема III

Замечание 1. Если нужно найти, при каких значениях параметра система совместна, то легче сначала найти значения параметра, при которых она не совместна, а затем эти значения исключить из множества допустимых значений параметр

Замечание 2. Так как уравнение прямой можно записать в виде ax+by+c-Q, то взаимное расположение двух прямых отразим в следующей блок-схеме: Схема IV

единственное решение ?

Решение. Запишем заданную систему в виде решений неравенства (1) может быть только ограниченный промежуток. Поэтому случай т + 2 < 0 не подходит.

[4т-5>0, ff>5/4,

Объединяя найденные ответы, получим от > 1,5.

Ответ, от > 1,5.

Пример 3. При каких значениях параметрар уравнение 5 - 4жпЛс - 8cos2 (х/2) = Зр имеет корни?

Решение. Преобразуем заданное уравнение:

5 - 4sin2x - 8cos2(x/2) = Зр , 5 - 4(1 - cos2x) - 4(1 + cosx) = Зр,

4cos2x - 4cosx - Ър - 3 = 0.

Сделаем замену со&х = t.

Тогда заданная задача равносильна следующей: при каких значениях р система }4t2-4/-3p-3 = 0,        (I)

2) h g[-l, 1] или t, € [-1,1], h е [-1, 1], где tu h~ корни уравнения (1)-

Введем функцию у (г) = 4г - 4г - Зр - 3; t0- вершина этой параболы. В силу схемы X случаи 1 и 2 описываются следующей совокупностью:

—4/З^Р^—1,        л/'У ^        ^ С/-3

г =>-4/3 <р<5/3. -1< р£ 5/3

Ответ. -4/3 <,р< 5/3.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение (а - 3)arccos2x + 2 (За - 4)arccosx + 7а - 6 = 0 не имеет корней?

Решение. Сделаем замену arccosx = t. Тогда данная задача равносильна следующей: при каких значениях а система

а- 3,

Зж2 + 8ж + 6        .        _        6 Ъкг + 8я + 6

        :        <а<\=>~2<а<—,а>        г        .

жг + 6ж+1        7 ж +6лч-7

0,5<а<6/7,а>3

__        .        6        Зя2 + 8л- + 6

Ответ. -2 <а<—,а> —;        .

7 ж + 6ж + 1

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение lg(x2 - 4х + 3) = lg(ax + 2) имеет хотя бы один корень?

Решение. Заданное уравнение равносильно системе

\х2 ~(4 + а)х + ] = 0, 1х<1, х>3.

Нужно найти значения параметра а, при которых эта система имеет хотя бы одно решение. Применим метод от противного.

Эта система не имеет решений в двух случаях: 1) если уравнение системы не имеет корней; 2) если все корни уравнения системы принадлежат отрезку [1; 3]. Введем функцию у(х) = х - (4 + а) х + 1.

В силу схем VI и X условия 1 и 2 описываются следующей совокупностью:

а2 +8а + 12<0,

а2 +8а + 12>0, —2—а>0,

-2-За >0,

2 <4+а <6;

Следовательно, система (1) имеет решения при а < - 6, а > -2. Ответ, а <-6, а > -2.

Пример 6. При каких значениях параметра а уравнение у/а-х(х2 - ах + а2 - 3) = 0 имеет два различных корня?

Решение. Найдем область определения уравнения: а -х > 0, х < а Так как х = а — корень заданного уравнения, то условие задачи выполняется, если только один корень уравнения хг- ах + аг~ 3 = 0 удовлетворяет условию х < а. Введем функцию у(х) = х2 - ах + а2 - 3; хо - абсцисса вершины этой параболы. Указанному условию удовлетворяют три варианта расположения графика функции у(х):

Опишем эти ситуации аналитически:

y(a) < 0, a2— 3 < 0, ->/3/3;

\D = °’ |12-3д2=°. |а=±2’=>а = 2;

1*0 <а; [а/2<а;        1«>0

3)Ы«)-о, и-ъЯ.^й_л

[*0 <а; [а > О

Объединяя все промежуточные ответы, получим ответ -\/з <а< л/з, а = 2. Ответ. —л/з < а < 7з, а = 2.

1.10. Рациональные неравенства

В основе решения рациональных неравенств лежит метод интервалов.

Пример 1. Для всех значений параметра а решите неравенство

х2-(а+ 1)х + а>0.

Решение. Найдем корни уравнения х2 — (а + 1 )х + а = 0: Xi = 1, х2=а. Запишем неравенство в виде (х - 1)(х - а) > 0. Решим его, используя метод интервалов. Рассмотрим три возможных варианта расположения чисел 1 и а.

->х

Множеством решений неравенства являются промежутки х < а или х > 1.

2. Пусть а = 1. Тогда неравенство примет вид (х - 1)2> 0. Оно верно при всех хеЛ.

->Х

Множеством решений неравенства являются промежутки х < 1 или х > а.

Ответ. Если а<1,тох<а,х>1; если а = 1, то xeR; если а> 1,тох< 1,х>а. Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых множество ах+3. .        _

решении неравенства         >4 содержит хотя бы одиннадцать двузначных

х

натуральных чисел, но не содержит ни одного трехзначного натурального числа.

Решение. Преобразуем заданное неравенство:

^±2>4, «±!_4*0> ^4)Л , 3>0

XX        X

Рассмотрим три варианта значений коэффициента а-4.

3

1. Пусть а- 4 = 0, т.е. а - 4. Тогда неравенство примет вид — > 0. Множеством

х

решений является промежуток х > 0, содержащий трехзначные числа.

j(a~ 3)t2 + 2(3o - 4)f + 7a - 6 = 0,        ^        (1)

не имеет решений?

Пусть а - 3 = 0, а = 3. Тогда уравнение (1) примет вид Юг + 15 = 0, t = -1,5. Так как -1,5 g [0, я], то а «* 3 удовлетворяет условию задачи.

Пусть а 5* 3. Тогда система не имеет решений в двух случаях.

Уравнение (1) не имеет корней. В силу схемы VI получим

D < 0, DI4 < 0, (За - 4)2 - (а - 3)(7а - 6) < 0, 2а2 + За - 2 < 0, 2(а + 2)(а - 1/2) < 0, - 2 < а < 1/2.

Корни уравнения (1) не принадлежат отрезку [0, яг]. Указанному условию удовлетворяют три варианта расположения параболы

y(i) -(а- Ъ)г2 + 2(3 а - 4)г + 1а - 6: а)        б)        в)

„О * я

В силу схемы X имеем:

(а - 3)у(0) < 0, j(a-3)(7a-6)<0,

(а - З)у(я) <0; [(а - 3)((я2 + 6я + 7)а - Зя2 - 8я - 6) < 0;

> решений нет.

Объединим все промежуточные ответы:

Пусть а - 4 * 0, т.е. а* 4. Тогда неравенство запишем в виде

Решим его, используя метод интервалов.

2. Пусть (а - 4) > 0, т.е. а >4. Тогда —— < о и имеем

4-е

содержащее трехзначные числа.

3. Пусть а - 4 < 0, т.е. а <4. Тогда —> о и имеем

4-я

промежуток содержит хотя бы 11 двузначных чисел, но не содержит ни одного

3

трехзначного числа, если 20 <        < 100.

4-а

Так как 4 - а > 0, то 20(4 - а) < 3 < 100(4 - а),

а <4,

а £3,85, => 3,85<а<3,97. а <3,97

Условие задачи выполняется только в случае 3.

Ответ. 3,85 < а < 3,97.

Пример 3. Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству

8,5л2-16х-2        г ,

        1        <1, при любых «e[0;7J.

4,5х        2 а

Решение. Преобразуем заданное неравенство:

, _ 4х2-16х + а а -(\6x~4x2)

1 < 0,          < 0,        т                        f > 0.

4,5х -2-а а -(4,5х -2J

8,5т2 -16х- 2 . 8,5х2 —:        < 1^—                        

4,5х2-2-ог        ’4,5х2-2-а

16лг — 2

Данная задача равносильна следующей: найдите все значения х, при которых неравенство (1) верно на отрезке 0<сг <7, т.е. отрезок 0<а<7 является, вообще говоря, подмножеством множества решений неравенства (1). В данном случае х - параметр, а а - неизвестное.

Решим неравенство (1) методом интервалов. Для этого рассмотрим все возможные положения чисел а, = 16х - 4хг и а2 = 4,5х2 - 2 на оси О а.

Пустьч*! < а2.

        Пусть а, =я2.

Тогда неравенство (1) примет вид 1 > 0 при a*av Множество его решений состоит из промежутков а < ах или а > as.

Равенство а, - а2 или 16*~4*2 =4,5*2-2 выполняется при * = -2/17 или* =2.

а)        Если * = -2/17, то а, = 4,5(-2/17)2-2 = -560/289.

б)        Если * = 2, то а, =4,5-22 - 2 = 16.

Так как оба значения о, не принадлежат отрезку [0;7], то значения * = -2/17 и * = 2 удовлетворяют условию задачи.

Объединим все промежуточные ответы:

2        2

— <*<—, 3        17

(ГЧ                гСтт^йф/. ?

^        Яр-        Z        -''«2 0        7

Опишем ситуации а) и б) аналитически:

0,5 <^[1]<3,5,

2        2

— <*<—,

3        3 -

2

*<        ,*>2

17

4*2 -16*+7 <0, 4,5*2 - 2<0, 8,5*2 — 16* — 2 > 0;

7<16*-4*2,

2 <*<3,5,

2        2

— <*<        .

. 3        17

1 6* - 4*2 < 4,5*2 - 2;

4,5*2-2<0,

16* - 4*2 < 4,5*2 - 2;

Пусть а, > а2.                

Ч        22^        ч,я

2 <*<3,5,

~—<х<0,

17

ч/2 < * < 2,

:<*< 0, -Jl 3,5.

Ответ. —<*<0, -Jl <*<3,5.

2        0 7 «24-        Г        

[7<4,5*2-2,	4,5*2-9>0,	* < —72,* > -ч/г,
[4,5*2 -2 <16*-4*2;	4*2-16*>0,	* < 0,* >4,
fl6*-4*2 < 0,		2
6)1	8,5*[2]-16*-2<0;	-—<*<2
|4,5*2 -2<16*-4*2;		17

6Ч        ШУ////ШШЬ        

'        a2V        г                 0        7

Опишем ситуации а) и б) аналитически:

--<*<0,

<*<2.

Г2

1.11. Использование симметрии аналитических выражений

Отметим некоторые условия, при которых кривая /(х,у) = 0 является симметричной.

Если /(-х,у) = /(х,у) , то кривая /(х,у) = 0 является симметричной относительно оси Оу.

Если /(х,-у) = /(х,у) , то кривая /(х,у) = 0 является симметричной относительно оси Ох.

Если f(x,y) = f(y,x), то кривая /(х,у) = 0 является симметричной относительно прямой у - х.

Если /(х,у) = /(-у,-х), то кривая /(х,у) = 0 является симметричной относительно прямой у = - х.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение a(4cosx - 7 jxj) = 3 + 8* + 8~х имеет нечетное число корней?

Решение. Запишем уравнение в виде а(4cosx - 7|х|)-3-8' -8Л=0. Рассмотрим функцию g(x) = a(4cosx-7|xj)-3-8' -8-*.

Так как g(-x) = g(x), то функция является четной и ее график симметричен относительно оси Оу, Поскольку корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графика y = g(x) с осью Ох, то уравнение имеет нечетное число корней, если этих точек пересечения будет нечетное число. А это условие будег выполняться тогда и только тогда, когда график функции y = g(x) проходит через начало координат, т.е. х = 0 является корнем уравнения. Найдем искомые значения а, подставив х = 0 в заданное уравнение: a(4cos0-7-0)~3-8°-8°, 4а = 5, а = 1,25.

Ответ, а = 1,25.

Пример 2. При каких значениях параметра b система

единственное решение?

Решение. Легко заметить, что если пара (х,;у0) является решением системы, то пара (у0;х0) также является решением системы. Поэтому в силу свойства 3 множество решений системы симметрично относительно прямой у = х. Отсюда следует, что если система имеет единственное решение, то оно принадлежит прямой у = х.

Пусть х = у. Тогда система примет вид

Заметим, что равенство х=у является только необходимым условием единственности решения системы, но не является достаточным. Поэтому решим систему при Ь- 0,5:

---

Поскольку условие х = 0 является необходимым, но не является достаточным условием единственности решения системы, то сделаем проверку найденных значений а.

1. Пусть а = —. Тогда система примет вид

(З• 2W + 5)х) + 4 = Зу + 5х2 + 4, |з• 2Н + 5|х| = Зу + 5х2,

|х2 + у2 = 1;        [х2+у2=1.

Для пары (х;у), удовлетворяющей системе (1), имеем 2^>lSy откуда следует, что 3-2^ + 5|х|йЗу + 5х2        . Значит,        равенство

3 • 2^ + 5|х| = Зу + 5х2 будег иметь место только при х = 0 и у = 1.

4

Итак, при а = — система ймеет единственное решение (0;1).

„ „        10 т        [з ■ 2^ + 5|х| + 4 = Зу + 5х2 + 10,

2. Пусть а- —. Тогда система примет вид <        1 '

3        [х2 + у2=1.

В данном случае легко видеть, что пары (0; -1) и (1; 0) являются решениями

т 1° 10 системы. Так как при а =— система имеет более одного решения, то а-— не

3        3

удовлетворяет условию задачи.

Л        4

Ответ. а= —3 .

---

[1] =        , * = 2

17

[2]        Пусть а, =я2.

Тогда неравенство (1) примет вид 1 > 0 при a*av Множество его решений состоит из промежутков а < ах или а > as.

Равенство а, - а2 или 16*~4*2 =4,5*2-2 выполняется при * = -2/17 или* =2.

а)        Если * = -2/17, то а, = 4,5(-2/17)2-2 = -560/289.

б)        Если * = 2, то а, =4,5-22 - 2 = 16.

Так как оба значения о, не принадлежат отрезку [0;7], то значения * = -2/17 и * = 2 удовлетворяют условию задачи.

Объединим все промежуточные ответы:

2        2

— <*<—, 3        17