Аналитические методы решения линейных уравнений с параметрами.
консультация по алгебре (11 класс) на тему

 Аналитические методы решения линейных  уравнений с параметрами.

 В  работе рассмотрены различные подходы к решению линейных уравнений с параметрами. Данная тема необходима учащимся для первичного ознакомления с методами решения уравнений с параметрами, которая является опорным пунктом  подготовки к ЕГЭ (решение заданий части «С5»).

              Содержание

1. Понятие уравнений с параметрами.
2. Различные виды и методы решений  линейных уравнений с параметрами.
3. Задания для самостоятельной  работы.

  Рассмотрим уравнения, в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а обозначены буквами. Такие уравнения называются уравнениями с параметрами, а буквы – параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения.

  Решить уравнение с параметрами – значит, найти множество всех корней данного уравнения в зависимости от допустимого значения параметра. (Т.е. указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они, затем исследовать его относительно параметра)

          Алгоритм решения уравнений с параметрами  примерно таков:

• Разбить область изменения параметра на промежутки, где при изменении параметра в каждом из них полученные уравнения решаются одним и тем же методом.(Границами промежутков служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными).
• Отдельно на каждом промежутке  находятся корни уравнения, выраженные через значения параметра.
• Ответ уравнения состоит из списков изменения параметра с указанием всех корней для каждого промежутка (или конкретных значений параметра).

        Основные методы решения уравнений с параметрами.

1. Решение простейших линейных уравнений с параметрами.

Исследуем линейное уравнение вида:  ax =b (1)

1. а0, bR, то уравнение (1) имеет единственный корень х=  .
2. а=0, b=0, уравнение (1) имеет корнем любое действительное число, т.е. хR.
3. а0,  0, уравнение (1) не имеет корней.

Пример №1:        ax = 5; при a=0 имеем 0х=5, чего не может быть,      

                                                            тогда  х , при а0 х=  .

Пример №2:        0х=а; при а=0 получим 0х=0  хR, при а0 х .

Пример №3:        Iхl=а, при а=0 х=0; при а>0  х=а, при  а х .

Пример №4:       ах-5=х+1

                        Решение

Приведем уравнение к виду:  х(а-1)=6;

если  а=1, то 0х=6, нет решений;

если  а1, то  х=  .

   Ответ: при а1   х = ; при а=1 нет решений.

2. Более сложные линейные  уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на  ОДЗ.

Алгоритм решения таких уравнений:

1. Найти ОДЗ.
2. Решить уравнение относительно х.
3. Определить контрольные значения параметра (к.з.п.)
4. Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, не входящему в ОДЗ.

Пример №1        =3

                       Решение

1. ОДЗ: х2
2. К.з.п. а=0.
3. Решим уравнение относительно х:

• При а=0 уравнение имеет вид      =3. Уравнение корней не имеет.
• При а0 уравнение имеет вид    а=3(х-2), отсюда х=

4. Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых  х=2, т.е. решим уравнение: =2, а=0 ( т.е. приа=0 нет решений)

Ответ: при  а0  х=; при а=0 нет решений.

Пример №2        =(х-1) +

                      Решение

               1.ОДЗ:  хR, а0.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на   а0:    2(а-1)х=(х-1)а +5;

2ах -2х – ах = 5 – а;

(а-2)х = 5 – а.

3. К.з.п. а = 2, т.к. коэффициент при х обращается в 0 при а=2

• Если а=2, то  0х=3, нет решений;
• Если а2, то х = .

Ответ: при а=2 нет решений; при а2 и при а0   х = ; при а=0 уравнение не имеет смысла.

Примечание. Если при каком-нибудь значении параметра а=а0 данное уравнение не имеет смысла, то нет и решений при а=а0. Обратное утверждение не верно. Бывает, что при контрольном значении параметра уравнение имеет корни, но они не входят в ОДЗ.

3.Уравнения, сводящиеся к линейным

Пример №1  Решить уравнение:  m =  +

                      Решение

1.  ОДЗ: т0, х1.
2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на т(х-1)0, получим т2(х-1) = х – 1 + т – 1;

                Х( т2 – 1) = т2+ т – 2;

               Х(т-1)(т+1) = (т-1)(т+2).

3. К.з.п. т= 1

• Если т=1, то 0х=0, следовательно, х-любое действительное число, где х 1.
• Если  т=-1, то 0х=-2, нет решений.
• Если т1 и т  то х= .
• Если т = 0, то нет решений.

4. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 1:

  = 1, т+2=т+1, 0т=1, нет решений.

Ответ: при т=0 и т=-1 нет решений; при т=1  х(-∞;1) (1;+∞); при т1 и

 т   х= .

Пример №2   Решить уравнение:   = .

                                     Решение

1.  ОДЗ: 𝑏0, х1.

      2)Решим уравнение относительно х: (a+b)х = a – b.

     3) К.з.п.:  a+b = 0, a = -b.

• Если a = -b, то нет решений.
• Если a-b, то х =  .

5. Найдем значения параметров а и b, при которых полученное значение х=1:

1 = , 2b = 0, b = 0. Следовательно, при  b = 0 нет решений.

Ответ: при a-b и b0  х = ; при a = -b и b=0 нет решений.

 Пример №3 (МГУ, 2002) При каких значениях параметра b уравнение

9х+ b2 – (2 -  )b - 2 = b4х – b2(b + ) не имеет корней?

                                                         Решение

1. ОДЗ: х .
2. Решим уравнение относительно х:

(b4 – 9)х = b3 + (1+ ) b2 – (2 - )b -2,

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда

 Первое уравнение системы имеет два корня: b1=   , b2= -  .

3. Подставим во второе уравнение системы b1=  , получим: 2+6 ;

b2= -  , получим 0=0. Т.е.  второму условию удовлетворяет b1=  .

Ответ: при b=  уравнение корней не имеет.

       Решить самостоятельно уравнения

1)  (а+5)(а-3)х=а2- 25                     ( при аи а  х= ; при а=3  ; при а=-5 х∊R)

2)  а2х = а(х+2) – 2                                          ( при аи а  х= ; при а=0 ∅; при а=1   х∊R)

3)  =  -                                   ( при а=-3, а=-2, а=1/2  ∅; при а и а х= )

4)1+   =    -                                     (  при а и а      х=   ; при а=-3, а=0, а=1∅ )

5) Для  каких значений  а  решение уравнения 10х-15а = 13- 5ах = 2а больше 2? (МГУ, 1982)

                                                            ( х∊ ( -∞; -2) ( 1; +∞)

Используемая литература:

• Г.А. Ястребинецкий. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М. Просвещение.1972.
• А.Г. Корянов. Задачи с параметрами. Брянск.2010.
• М.А. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Углубленное изучение математики. М. Просвещение. 1992.