Галерея числовых диковинок
занимательные факты по алгебре (5 класс) на тему

Галерея числовых диковинок.

(Арифметическая кунсткамера)

Цели посещения галереи:

-ознакомление учащихся с различными числами и свойствами чисел;

-развитие познавательных способностей учащихся.

Введение.

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В ее витринах  нашли себе место не только числовые исполины, но и числа скромных размеров, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.

Приглашаем вас совершить экскурсию по галерее числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

2

Число «2».  Оно – основание самой либимой системы счисления – двоичной, где используются цифры 1 и 0.

5  

 Число «5» - одно из наших любимейших чисел, играющее важную роль при всяких «округлениях», в том числе и при округлении цен. Число пальцев на руках и ногах, и самая любимая школьная оценка.

7

 Исключительное значение в древности признавалось числу 7, с ним связано очень много суеверий. Число 7 считали священным. Самые прославленные в древности сооружения и статуи называют «семью чудесами света». Вспомним пословицы и поговорки:

«Семеро с ложкой, один с сошкой»

«Семеро одного не ждут»

«Семь раз отмерь – один раз отрежь»

«У семи нянек дитя без глаза»

«За семь верст киселя хлебать»

«Семь верст не крюк»

Словосочетания из сказок «За семью морями», «За семью печатями», «Семимильными шагами», «семь мудрецов». И, наконец, семь дней в неделе.

10

 Не оставим без внимания и число 10 – оно основатель нашей десятичной системы счисления. Его роль в математике огромна.

12

 Чем оно замечательно? Это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Немногие знают, что число 12 старинный соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ Древнего Востока – вавилоняне и их предшественники вели счет в  двеннадцатиричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему счисления, мы, весьма вероятно, унаследовали бы от Вавилона двенадцатиричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу десятичной. Это наше деление суток на две дюжины часов, деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на 5 дюжин секунд, деление круга на 30 дюжин градусов – все это свидетельствует о том, как велико в наши дни влияние древней системы.

13

Соседка числа 12 – 13 –«чертова дюжина» фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательно, а скорее именно потому, что ничем не замечательно, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь «страшным» для суеверных людей? История называет примеры: при устройстве трамвая в Петербурге пропустили маршрут №13, власти думали, что публика не будет ездить в вагонах с «роковым» номером. Не было домов под номером 13, квартир, гостиничных номеров.

365

 В следующей витрине арифметической кунсткамеры перед вами число 365. Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1, эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имела большое значение для старого семидневного календаря. Другая особенность числа 365 не связана с календарем: 365=10*10+11*11+12*12, то есть 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10: 10²+11²+12²=100+121+144=365.

Но и это еще не все, тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14: 13²+14²=365.

На этом свойстве числа 365 основана задача Рачинского, изображенная на известной картине «Трудная задача» Богдана-Бельского:

                                                                        10²+11²+12²+13²+14²

                                                                                       365

Таких чисел не много наберется в нашей галерее арифметических диковинок.

999

 В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999. Оно без сомнения гораздо удивительнее, чем его перевернутое изображение – 666 –знаменитое «звериное число» Апокалипсиса, вселявшее нелепый страх во многих суеверных людей, но по арифметическим свойствам ничем не выделяющееся среди прочих чисел.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение, первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.

Например, 573*999=572 427

                                                572

                                                999                    

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять присхождение этой особенности:

573*999=573*(1000-1)=573000-573=572 427.

Зная эту особенность, мы можем «мгновенно» умножать любое трехзначное число на 999.

947*999=946 053; 509*999=508 491; 981*999=980 019.

А так как 999=9*111=3*3*3*37, то мы можем, опять -таки быстро, писать целые колонки шестизначных чисел, кратных 37.

1001

 Число Шахерезады. Вы наверное не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.

Чем же замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых «простых» чисел. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 – на три последовательных простых числа, произведеним которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1001=7*11*13, - эдесь нет еще ничего волшебного. Замечательно то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только записанного дважды, например: 873*1001=873 873; 207*1001=207 207.

Фокус.

 Выходят три человека. Пусть один из них напишет трехзначное число и потом припишет к нему такое же число, получится шестизначное число. Далее следующий делит полученное на 7 (остатка не будет), полученный результат следующий человек делит на 11 (остатка нет), полученный результат делится на 13 (остатка нет). Листок передается первому и на нем будет задуманное число.

Например. 736 736:7=105 248; 105 248:11=9568; 9568:13=736.

Любимая цифра.

 Например, кто-то задумал – 6. Умножьте ее на число значащих цифр,т.е. на 9 и полученное число (54) подпишите множителем под числом                                    12345679

•     54

                                                                                                         666666666

(12345679*63=777777777; 12345679*72=888888888)

И так с любой цифрой.

Числовые великаны и карлики.

Угадывание даты рождения.

Быстрый счет.

Литература.

 Перельман «Занимательная математика»