методы решения тригонометрических уравнений
план-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему

Учитель математики: Жихарева Е. Н.

Тема: Методы решения тригонометрических уравнений.

Цели урока:

Образовательные:

-углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

-сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.

Воспитательные:

-воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

-формирование умения анализировать поставленную задачу;

-способствовать улучшению психологического климата в классе.

Развивающие:

-способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;

-способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

I. Актуализация опорных знаний

Повторение определения тригонометрических уравнений и  формул простейших тригонометрических уравнений.(слайд 2,3)

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим способы их решения. Одни  из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

-При решении тригонометрических уравнений остаются в силе общие правила решения алгебраических уравнений. Если при этом использованы неравносильные преобразования уравнений, то на конечном этапе решения необходимо проверить: принадлежат ли найденные значения неизвестного к корням данного уравнения или нет.

Каждое конкретное уравнение может быть решено различными способами, что при безошибочности выполняемых действий приведет к одному и тому же окончательному результату. Однако следует иметь в виду, что из-за различия методов решения результат может быть получен в разных формах (приводимых друг к другу тождественными преобразованиями).

Тождественные преобразования с помощью тригонометрических формул в процессе решения позволяют, как правило, свести данное уравнение к одному из нескольких основных типов, решаемых стандартными  (наиболее часто встречающимися) методами.

Объяснение учителя. (Презентация)

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

   ( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                               sin x + cos x – 1 = 0 ,

                               преобразуем и разложим на множители выражение в

                               левой части уравнения:

    П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

    Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

                                            sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

                                            sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                               2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                               cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                               cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                              1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

    П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

    Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                         = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                             2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

                                           a sin x + b cos x = c ,

    где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

    П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

    Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                        cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                                 8x = / 2 + k ,

                                                 x = / 16 + k / 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

      П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

                             Таким образом, решение даёт только первый случай.

 Закрепление

Перед вами тригонометрические уравнения распределите их в таблице указав  их номер определив метод их решения.

1)5sin2х- 8 sinх cosх – сos2 х = -2

2) 2sin2х + cos х – 1= 0

3) 2sinx – 2cosx = 1 - 

4) sin2x = сosx

5) sin5x · cos3x = sin6x · cos2x

6) 2сos2x – 3cosx + 1= 0

7) sin x = 1- cos x,

Итог

Домашнее задание

Решить уравнения 1- 7

Литература:

1. «Практикум по элементарной математике» В.Б. Дыбин, Я.М.  Ерусалимский. М: Вузовская книга 2000г.
2. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» П. В. Чулков, М: Педагогический университет «Первое сентября» 2006 г.
3. «Тригонометрия» Л. Н. Самсонова, Бийск 2000г.

Сайт: www. bymath.net    «Вся элементарная математика»