Методическая разработка для проведения занятия по теме «Решение систем линейных уравнений методом Крамера»
методическая разработка по алгебре на тему

Методическая разработка для проведения занятия

по теме «Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Преподаватель:  Гусенкова Елена Станиславовна

Дисциплина: Математика

Специальность: Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Группа: Д1ТО1

Тема урока: Способы решения линейных систем уравнений

Тип урока: урок первичного ознакомления с материалом

Длительность: 1 час 20 мин.

Технология - развитие критического мышления через чтение и письмо

Цели урока:

образовательные

- подвести учащихся к творческому переосмыслению уже известной информации о системах и критическому восприятию новой;

развивающие

- создать условия для развития умения переработки  полученной информации, разбивать её на смысловые блоки и оформлять в виде схем и таблиц;

- создавать условия для развития коммуникативных навыков в процессе работы в малой группы, умение связано и логично излагать свои мысли

воспитательные

-помочь учащимся осознать практическую значимость изучаемого материала;

-формирование умений принимать коллективные и самостоятельные решения

 Междисциплинарная связь: информатика

 Оборудование:

Дидактический материал: задание для выполнения самостоятельной работы, опорные конспекты.

Технические средства: компьютер, проектор, экран.

Ход учебного занятия

Текст для анализа

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Что обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнениях системы все переменные входят в первой степени.

В математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы, но довольно популярный вариант – переменные с индексами:  .,  либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:  a,b,…, A, B,… . Использование того или иного набора букв зависит от раздела математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений.  Так что же называется системой уравнений?

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны решаться одновременно.

Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений        .

1) Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»).

Алгоритм решения

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .

2) Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Алгоритм решения

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной

Записать ответ: х=…; у=… .

3) Решение системы линейных уравнений графическим методом

Алгоритм решения

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Метод Крамера.

Метод  Крамера  применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой лекции мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что 

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

Итак, х=1, у=2, z=3.

                                 Литература:

1.Мордкович А.Г.  Алгебра 7 класс 2 часть, Мнемозина, 2012.

2.Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М.:  2005.

3.ШИПАЧЕВ В.С.  Высшая математика. М. “Высшая школа”, 1985.  

4.Бустром Р. Развитие творческого и критического мышления. М. , Изд-во ИОО, 2000.

5.Волков Е.В. Развитие критического мышления. М., 2004.

6.Заир-Бек С.И., Муштавинская И.В. Развитие критического мышления на уроке. М.: Просвещение, 2004.