Метод ложного положения.
проект по алгебре (7 класс) на тему

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №8» г.о. Саранск

Метод ложных положений при решении задач уравнений

Исследовательская работа

Выполнила

ученица 7 «А» класса

Ефремова Анастасия.

Руководитель

Фёдорова А.Н.

Саранск

2014

                              Содержание                                                      стр.

Введение……………………………………………………………………….…3

Основная часть

Глава 1. Из истории метода двух ложных положений………………………..5

Глава 2. Применение метода двух ложных положений при решении задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого……………………………………………….9

2.1 Л.Ф. Магницкий – автор  первого печатного учебника математики в России………………………………………………………………………….….9

2.2 Решение задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого методом двух ложных положений……………………………………………………………….……….10

2.3 Сравнительный анализ старинного и современного способов решения некоторых задач…………………………………………………………...….….17

Заключение……………………………………..……………………………….21

Список литературы………………………………………….............................22

Введение

Данная работа посвящена «правилу двух ложных положений» и его применению к решению задач в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

«Правило двух ошибок» или правильнее «правило двух ложных положений» было известно и сформулировано задолго до Леонтия Филипповича Магницкого. Некоторые книги «Математики в девяти книгах» (древнекитайского математического сочинения, которое представляет собой сборник трудов китайских математиков X – II вв. до н. э.) сводятся к решению линейных уравнений. Седьмая книга под названием «Избыток – Недостаток» как раз таки посвящена задачам, решаемым по этому правилу. Это правило попало впоследствии в арабские и западноевропейские руководства. Интересно знать, что европейцы считали это правило индийским, хотя до сих пор его не удалось обнаружить в подлинниках. Скорее всего, математики мусульманских стран заимствовали это правило из китайских рукописей.

В Российской империи этим правилом активно занимался и развивал его Л. Ф. Магницкий, русский математик, педагог, преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739 годы). Л. Ф. Магницкий в 1703 году составил первую в России учебную энциклопедию по математике под заглавием «Арифметика, сиречь наука числителная с разных диалектов на славенский язык переведеная и во едино собрана, и на две книги разделена» тиражом 2400 экземпляров. Как учебник эта книга более полувека употреблялась в школах благодаря научно-методическим и литературным достоинствам. Основные положения этого правила и задачи на него Л. Ф. Магницкий изложил как раз там.

Цель работы:

 познакомиться с методом ложного положения и правилом двух ложных положений и выяснить их применение при решении задач.                                                                                  

   Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучить литературу по данному вопросу;
2. Выяснить историю метода;
3. Применить данное правило к решению задач из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого и решить эти же задачи современным способом;
4. Сравнить старинные и современные способы решения задач.

Работа состоит из введения, основной части, которая в свою очередь состоит из двух глав, и заключения.

В работе были использованы восемь источников. Наиболее ценными оказались «Старинные занимательные задачи»    С. Н. Олехника и «История математики в школе»                 Г. И. Глейзера.                                                                        

Глава 1. Из истории метода двух ложных положений

 История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные  с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

 Существуют две разновидности правила ложных положений: правило одного ложного положения и правило двух ложных положений.

  Правило одного ложного положения -  это простейший метод решения линейных уравнений. Он был известен с древних времен. У индусов он назывался как ishta karman, у западноевропейцев он назывался regula falsi simplicis positionis. Способ состоял в замене неизвестного произвольно взятым числом и в следующем за тем определении истинной величины неизвестного на основании пропорциональности, существующей между ним, его произвольным значением и соответствующими результатами указываемых условиями задачи вычислений. Употребление этого правила встречается уже в Папирусе Ринда (древнеегипетском учебном руководстве по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанном примерно в 1650 году до н. э. писцом по имени Ахмес).

 Ахмéс (ок. 2000 до н.э.) - египетский жрец и писец, составитель первого дошедшего до нас руководства по арифметике и геометрии (папируса Ринда).

Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса  длиной 5,25 м. и                  шириной 33 см.

Математический папирус Ахмеса (также известен как Rhind Mathematical Papyrus (RMP) — папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода XII династии Среднего царства (1985—1795 гг. до н. э.), переписанное в 33 год правления царя Апопи (ок. 1650 до н. э.) писцом по имени Ахмес на свиток папируса высотой 32 см и шириной 199,5 см. Отдельные исследователи предполагают, что папирус времен XII династии мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э. Язык: среднеегипетский, письменность: иератическое письмо.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах и часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца. В 1887 году папирус был расшифрован, переведён и издан Г. Робинсоном и К. Шьютом (London, The British Museum Press, 1987). Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее (EA 10057, комната 90) в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке.

     В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения (“фальшивое правило”)

     Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь =с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b,

Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали “хау” и переводили словом “куча” (“куча” или “неизвестное количество” единиц). Теперь читают немного менее неточно: “ага”.

Задача № 24 сборника Ахмеса:

“Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: “дают в сумме”) 19. Найти кучу”.

Запись задачи нашими знаками:

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: “Делай как делается”, другими словами: “Делай, как люди делают”.

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда  ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

     Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее   часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит  от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на  предположение умножить нельзя. Но  от 8 есть 2,  от восьми 1. Ахмес видит, что  и  первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив  и  значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на

Умножение числа 7 на смешанное число  Ахмес заменяет умножением смешанного числа  на 7. В третьем столбце выписаны:   часть искомой кучи есть , удвоенное это число:  и учетверенное: . Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на .

Итак, куча равна .

В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для кучи  и его  части . В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: “Будет хорошо”.

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в “Арифметику” Магницкого. Магницкий называет способ решения “фальшивым правилом” и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить. — И. Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба.

     Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы “высшие”, которые встают перед “мудрыми”.

Магницкий пользуется “фальшивым правилом” в форме, какую ему придали арабы, называя его “арифметикой двух ошибок” или “методой весов”.

 Правило двух ложных положений было изобретено индусами, однако, скорее всего, было позаимствовано у китайских ученых. От индусов оно перешло к арабам, которые доставили ему очень распространенное применение как в собственной математической литературе под именем «правила чашек весов», так и в литературе Европы. Вот так звучало правило: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» - над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны».

  Пример оформления решения для «правила чашек весов»

Из западноевропейских арифметических положений оно перешло в русские арифметические рукописи XVIII в., в «Арифметику» Леонтия Филипповича Магницкого и в учебники XVIII и даже начала XIX вв. Как и арабы, русские ввели в обращение только правило двух ложных положений, о величестве и могуществе которого имели очень большое представление.

  В настоящее время это правило практически не используется и представляет интерес только для историков математики.

  Вывод: правило распространялось и использовалось в мире на протяжении тридцати веков. Многие ученые из разных стран приняли в этом участие: древнекитайские, египетские, индийские, арабские, европейские, русские.

Глава 2. Применение метода двух ложных положений при решении задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого

2.1 Л.Ф. Магницкий – автор  первого печатного учебника математики в России

  14-го января 1701 года последовал указ Петра Великого об открытии Математико-Навигацкой школы. Учителями Школы были назначены приглашенные ещё в 1698 году англичане: для «науки математической» - Андрей Фарварсон, для «науки навигацкой» - Стефан Гвин и Ричард Грейс. В помощь названным учителям вскоре был приглашен и Л.Ф. Магницкий. В этом учебном заведении преподавались такие науки, как арифметика, геометрия, тригонометрия, с практическими приложениями их к геодезии и мореплаванию, навигация и часть астрономии. Из этих предметов на долю Магницкого приходилась, вероятно, главным образом арифметика. Для обучения нужны были новые учебники. По распоряжению Петра Великого  в это  время Л. Ф. Магницкий напечатал свою знаменитую книгу – первый печатный учебник по математике в истории России. Высокую оценку деятельности Магницкого давали его современники и потомки. В. К. Тредиаковский – русский поэт, ученый-филолог, писал: «Магницкий Леонтий муж, сведущий славянского языка… добросовестный и нельстивый человек, первый Российский арифметик и геометр; первый издатель и учитель в России арифметики и геометрии.

Что же представляет собой "Арифметика" Л. Ф. Магницкого? Профессор П.Н. Берков называет "Арифметику" "одним из важнейших явлений книгопечатной деятельности Петровского времени". И действительно, этот учебник явился определенной вехой, толчком для последующего развития математики в России.                    

   Один из экземпляров «Арифметики…» в 1725 году попал к юному М. В. Ломоносову, который хранил эту книгу до конца своей жизни.  

Исследователи до сих пор не имеют общего мнения о том, по каким руководствам Магницкий составил свою "Арифметику". Некоторые считают, что был использован рукописный и печатный материал более раннего времени, который Леонтий Филиппович тщательно отобрал, существенно обработал, составив новый, оригинальный труд с учетом знаний и запросов русского читателя. Магницкий впервые ввел термины:

• "множитель",
• "делитель",
• "произведение",
• "извлечение корня".

Заменил устаревшие слова «тьма» и «легион» словами:

• миллион,
• биллион,
• триллион,
• квадриллион.

Вывод: являясь связующим звеном между русской математической литературой XVII и XVIII веков, «Арифметика» Магницкого послужила проводником новых математических сведений в широкое русское грамотное общество, совершенно не имевшихся в существовавших до нее рукописях. Для своего времени эта книга представляла собой серьезный и ценный труд.

2.2 Решение задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого методом двух ложных положений.

Теперь попробуем решить задачи методом двух ложных положений из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.

В задачах подобного типа возможны три варианта решения в соответствии с правилом двух ложных положений:

• результат двух вычислений оказывается больше данного числа,
• результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного,
• результат двух вычислений оказывается меньше данного числа.

Если оба результата вычислений больше или меньше данного числа, нужно делить разность произведений на разность ошибок.

Если же один из результатов окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей.

           Задача 1. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

Решение:

I возможность (результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

1. Предположим, что неизвестное число есть 144.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

 • 144 = 48,                                 144 + 48 = 192

 • 192 = 32,                              192 – 32 = 160

160 ≠ 100

Вывод: не угадали, результат вычисленный больше 100.

2. Предположим, что неизвестное число есть 108.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

 • 108 = 36,                                   108 + 36 = 144

 • 144 = 24,                                    144 – 24 = 120

120 ≠ 100

Вывод: не угадали, результат вычислений больше 100.

3. По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

1 случай:                                                        2 случай:

160 – 100 = 60                                               120 – 100 =  20

Нарисуем схему:

                            144                                              60

                     108                                              20

Перемножим числа:

108 • 60 = 6480

144 • 20 = 2880

Разделим разность произведений на разность ошибок:

6480 – 2880 = 3600

60 – 20 = 40

3600 : 40 = 90

Значит, искомое число равно 90.

II возможность (результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного)

1. Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

 • 72 = 24                                                        72 + 24 = 96

 • 96 = 16                                                        96 – 16 = 80

80 ≠ 100

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

2. Предположим, что это число есть 99.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

 • 99 = 33                                                        99 + 33 = 132

 • 132 = 22                                                     132 – 22 = 110

Не угадали, результат вычислений больше 100.

Вычисляем, насколько мы ошиблись:

100 – 80 = 20                                                110 – 100 = 10

Нарисуем схему:

                       72                                               20

                       99                                               10

Перемножим числа:

72 • 10 = 720                                                 99 • 20 = 1980

 +  =  = 90

Получили  90

III возможность (результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

Предположим, что это число есть 81.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

 • 81 = 27                                                 81 + 27 = 108

 • 108 = 18                                               108 – 18 = 90

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

 Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

 • 72 = 24                                                  72 + 24 = 96

 • 96 = 16                                                  96 – 16 = 80

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Вычислим, насколько мы ошиблись:

90 – 100 = -10                                                  80 – 100 = -20

Нарисуем схему:

                               81                                           -10

                        72                                              -20

81 • (-20) = -1620                                           72 • (-10) = -720

Разность произведений разделим на разность ошибок:

 = 90

Получили 90.

Ответ: искомое число равно 90

Задача №2 «Ответ учителя»

Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет ещё столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько учеников было у учителя?

Решение:

Предположим, что учеников было 24.

Проделаем описанные в задаче операции:

24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 учеников

Не угадали, результат вычислений меньше 100

Предположим, что учеников было 32.

Проделаем описанные в задаче операции:

32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89 учеников

Не угадали, результат вычислений меньше 100

Вычислим, насколько мы ошиблись:

100 – 67 = 33                                                        100 – 89 = 11

Нарисуем схему:

                    24                                               33

32                                             11

24 • 11 = 264                                                32• 33 = 1056

Разделим разность результатов на разность ошибок:

1056 – 264 = 792                                         33 – 11 = 22

 = 36

Ответ: 36 учеников

Задача 3. «Сколько куплено сукна?»

Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем третьего. Сколько сукна каждого сорта было куплено?

Решение:

Предположим, что сукна первого сорта куплено 32 аршина. Тогда второго – 20 аршина, а третьего – 9. Всего куплено
32 +20 + 11 = 63 аршина.

Не угадали, результат вычислений меньше 106.

Предположим, что сукна первого сорта куплено 50 аршин. Тогда  второго – 38, а третьего – 29. Всего куплено 50 + 38 + 29 = 117 аршин.

Не угадали, результат вычислений больше 106

Вычислим, насколько мы ошиблись:

106 – 63 = 43                                               117 – 106 = 11

Нарисуем схему:

                           32                                              43

50                                     11

32 • 11 = 352                                                     50 • 43 = 2150

Сумму произведений разделим на сумму разностей:

2150 + 352 = 2502                                           43 + 11 = 54

   = 46

Значит, сукна второго сорта 46 - 12 =  34, а сукна третьего сорта 34 - 9 = 25.

Ответ: первого сорта 46 аршина, второго сорта 34, третьего сорта 25.

Задача 4. «Покупка коровы»

Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне  твоих денег, то я один смогу заплатить цену». А второй отвечает первому: «Дай мне  твоих денег, тогда и я заплачу за нее цену». Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля?

Решение:

Предположим, что у первого было 12 рублей. Тогда второй должен дать ему 24 – 12 = 12 рублей, что составляет  от его денег. Значит у второго человека было 18 рублей. После того как первый даст ему своих денег, у него будет 27 рублей, что на три рубля больше.

Не угадали, результат вычислений больше 24

Предположим, что у первого человека 20 рублей. Тогда у второго человека 6 рублей. После того как первый даст ему  своих денег, у него будет 21 рубль.

Не угадали, результат вычислений меньше 24.

Вычислим, насколько мы ошиблись:

27 – 24 = 3                                                               24 – 21 = 3

Нарисуем схему:

                               20                                             3

12                                                 3

Разделим сумму произведений на сумму разностей:

20 • 3 = 60                                                               12 • 3 = 36

60 + 36 = 96                                                           3 + 3 = 6

 = 16 рублей.

Значит, у первого было 16 рублей, а у второго  • (24 – 16) = 12 рублей.

Ответ: у первого было 16 рублей, а у второго – 12 рублей.

Задача 5. «Беседа»

Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если  бы они дали ему по одной трети своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они дали ему одну четвертую своих денег, то у него стало бы 17 рублей. Сколько денег имеет каждый?

Решение:

Предположим, что у первого из беседующих было 8 рублей. Тогда половина суммы денег второго и третьего  равна 17 – 8 = 9, то есть у второго и третьего человека вместе в 18 рублей, а всего вместе денег у них 18 + 8 = 26 рублей. После того как первый и третий собеседники дадут второму  имеющихся у них денег, у второго станет  от 26 и ещё  своих денег. Таким образом, у второго человека          • (17 -  ) =  рублей. Тогда  у третьего 26 – 8 - = . Если теперь первый и второй дадут третьему человеку по  имеющихся у них денег, то у того станет  +  • (8 + ) =  , что на  рублей меньше, чем должно быть.

Не угадали, результат вычислений меньше 17.

Предположим, что у первого из беседующих было 6 рублей. Значит, у второго должно быть  рублей, а у третьего  рублей. После того как первый и второй дадут деньги третьему человеку, у него станет

 +  • ( 6 + ) = , что на  меньше, чем должно быть.

Не угадали, результат вычислений меньше 17.

Нарисуем схему:

                          8                                            

                       6                                            

Разделим разность произведений на разность ошибок:

 -  =

6 • - 8 •  =

: = 5

Значит, у первого из беседующих было 5 рублей. Тогда у второго было 11, а у третьего 13 рублей.

Ответ: у первого беседующего было 5 рублей, у второго – 11 рублей, у третьего – 13 рублей.

3. Сравнительный анализ старинного и современного способов решения некоторых задач.

 Проведем сравнительный анализ решений задач из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого методом двух ложных положений и современным способом.

Сначала решим задачи из пункта 2.2 современными способами.

Задача 1. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

Решение:

Пусть x – искомое число. Тогда его треть равна . Сумма числа с его третей частью равна x + = . После вычитания из полученной суммы шестой части получим  –  •  =  -  = , что по условию задачи равно 100. Решаем уравнение, получаем x = 90. Значит, искомое число равно 90.

Ответ: искомое число равно 90

Вывод: для решения данной задачи потребовалось умение решать линейные уравнения с дробными коэффициентами. Это уровень пятого и шестого классов современной школы.

Задача 2. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет ещё столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько учеников было у учителя?

Решение:

Пусть x – число учеников.                                                     Тогда x + x + x + x + 1 = 100.

  = 99

11x = 396

x = 36

Ответ: 36 учеников.

Вывод: для решения данной задачи потребовалось умение решать линейные уравнения с дробными коэффициентами. Это уровень пятого и шестого классов современной школы.

Задача 3. Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем третьего. Сколько сукна каждого сорта было куплено?

Решение:

Пусть x -  количество аршин первого сорта. Тогда                  

x + x – 12 + x – 21 = 106

3x = 139

x = 46

  Следовательно, второго сорта было 46 - 12 = 34аршин, а третьего было 34 - 9 = 25 аршин.

Ответ: первого сорта 46 аршина, второго сорта 34, третьего сорта 25.

Вывод: для решения данной задачи потребовалось умение решать линейные уравнения и действия со смешанными числами. Это уровень пятого и шестого классов современной школы.

Задача 4.  Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне  твоих денег, то я один смогу заплатить цену». А второй отвечает первому: «Дай мне  твоих денег, тогда и я заплачу за нее цену». Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля?

Решение:

Пусть x –  количество денег у первого человека, а y – количество денег у второго человека. Составим систему уравнений:

18 - y +y = 24

y = 6

y = 12

Следовательно, у второго человека было 12 рублей, а у первого человека было 24 – 8 = 16 рублей.

Ответ: у первого было 16 рублей, а у второго – 12 рублей.

Вывод: для решения данной задачи потребовались умения: составить и решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными с дробными коэффициентами. Это уровень восьмого и девятого классов современный школы.

Задача 5. Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если  бы они дали ему по одной трети своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они дали ему одну четвертую своих денег, то у него стало бы 17 рублей. Сколько денег имеет каждый?

Решение:

Пусть x – количество денег у первого человека, y – количество денег у второго человека, z – количество денег у третьего человека. Составим систему уравнений:

17z = 221

z = 13

Значит, у третьего человека было 13 рублей, у первого человека было 5 рублей, у второго человека было 34 – 10 – 13 = 11 рублей.

Ответ: у первого беседующего было 5 рублей, у второго – 11 рублей, у третьего – 13 рублей.

Вывод: для решения данной задачи потребовались умения: составить и решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными с дробными коэффициентами. Это уровень девятого класса современной школы.

Вывод к главе: при использовании метода двух ложных положений для решения текстовых задач возможны три случая. При этом нужно пользоваться четким алгоритмом. Решая задачи данным методом, получали длинные и громоздкие вычисления. На мой взгляд, современный способ гораздо проще и удобнее метода двух ложных положений. Решения задач получаются короткими и однозначными, хотя при этом необходимы знания математики с пятого по девятый классы включительно современной школы.

Заключение

Подводя итог всей моей работе, надо сказать, что «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого дала толчок к развитию книгопечатной научной мысли в России. Также она закончила распространение по миру правила двух ложных положений, которое продолжалось на протяжении тридцати веков. Сам Л. Ф. Магницкий является одним из выдающихся деятелей петровской эпохи. Он сделал огромный вклад в развитие арифметики как науки в России и в распространение правила двух ложных положений. 

Правило двух ложных положений стало важной вехой в развитии арифметики как науки. В принципе, оно могло бы использоваться и сейчас, но слишком громоздко и неудобно.

Современными методам решения уравнений мы обязаны поискам древних ученых. Теория уравнений продолжает развиваться и в настоящее время.

Выполняя данную исследовательскую работу, я обогатила свои знания в области истории математики, узнала много нового из биографии великого русского ученого – человека, впервые напечатавшего в России печатный учебник по математике, изучила новый для меня способ решения задач.

Список литературы

1. П. Баранов Арифметика Магницкого – Изд. П. Баранова – Москва - 1914
2. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981. – 239 с.
3. Новожилова М. М. и др. Как корректно провести учебное исследование: от замысла к открытию. – М.: 5 за знания, 2008. – 160 с.
4. Олехник С. Н. и др. Старинные занимательные задачи – 3-е изд. – М.: Дрофа, 2006. – 173 с.
5. История математики в древности” Э. Кольман.
6. Решение уравнений в целых числах Гельфонд.
7.  В мире уравнений В.А.Никифоровский.
8. http://be.sci-lib.com/article082452.html