Правила одного и двух ложных положений
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Задача 3.
Найти число, которое взято пять раз и сложенное с числом 3, дает 63.
При решении нормы записывались в строчку, под ними соответствующие им ошибки :

, затем числа перемножались
накрест:
.Если ошибки были разных значений
(недостаток-избыток или избыток-недостаток)
, то составлялись суммы
+

и
, а неизвестное находилось как значение частного :
. В случае, когда ошибки принимали одинаковые значения
(избыток –избыток или недостаток-недостаток),
разности записывали так , что из большего вычитали меньшее (

,
или
,

), а искомое число
или
.
 
Задача 4.
Сообща покупают барана. Если каждый человек внесет по 5, то
недостаток равен 45. Если по 7,то недостаток равен 3.Спрашивается, каково количество людей и стоимость барана?
Если же один из результатов окажется меньше данного, а другой – больше, то искомое число можно найти, разделив сумму
произведений на сумму ошибок:
Задача 9.
«Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя учеников, так как хочу отдать к тебе своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, то у меня 100 учеников». Спрашивается, сколько было у учителя учеников»
 
Правило одного ложного положения.
Метод пришел из Египта, получил название свое название средневековой Западной Европе как
« правило ложного положения».
Сформулировать его можно так :
если «ложное положение» есть

и при подстановке в условие задачи получается

вместо
то искомое число
можно найти из пропорции
, то есть
=

.
В Египетских папирусах неизвестное обозначалось
«аха»
или
«
хуа
» ,
то есть
куча
.
 
Задача 7.
Пять буйволов и два барана стоят 10 ланов золота.
Два буйвола и пять баранов стоят 8 ланов золота. Сколько стоят буйвол и баран в отдельности?
Правило получило большое распространение для решения простейших арифметических задач в Египте, Индии, Китае,
странах арабского халифата и средневековой Западной Европе .
В
Башхалийской
рукописи ( 6-8 вв.)правило применялось к уравнениям вида
(1) .Подставляя

вместо
:
(2) , (1)-(2).

Получали равенство
)=


Откуда

если

и


при
. Индийские математики называли это прием
«правилом предположения».
 
Правило двух положений имело три разновидности в зависимости от результатов
Если
и

одного знака, в числителе получается разность, а если разных знаков, то сумма .
Рассматривались три случая :
«избыток-недостаток
или
недостаток-избыток»
, «
оба избытка или оба недостатка»
,
«избыток-равновесие или недостаток-равновесие».
В книге 6 об
«Избытке и недостатке»
трактата рассматривались два варианта этого правила для решения систем двух линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Первый применялся к кругу задач, в которых речь шла об избытке или недостатке конкретной денежной суммы, а коэффициенты при одном из неизвестных
равны единице.
 
В России правило получило широкое применение, оно имелось во всех руководствах по арифметике 18 века, а также в
значительной части учебников 19 столетия . Л.Ф. Магницкий посвятил ему целый отдел «Арифметика»(1703), который называл
«О правилах фальшивых или гадальных» ,
где сформулировал алгоритм его применения:

первое допущение

дает ошибку(разность)
;
второе допущение

дает ошибку(разность)
;
р
исуй таблицу
, перемножь числа накрест, если оба результат окажутся больше или меньше данного, то разность произведений раздели на разность ошибок, т.е.

или

 
П
равила одного и двух ложных положений
.
Выполнила:
Буркеня Н.А.
Учитель математики МБОУ «Школа №17»

, тогда «фа» –соответствует определитель
;
«ши» -

«разности» -

.
Неизвестные находятся по формулам :

.
 
Г
енрих
Крамер
 (нем. 
Heinrich

Kramer
, также известный как 
Генрикус

Инститор
 (лат. 
Henricus

Institor
)
Задача 6.
Сообща покупают собаку . Если каждый человек внесет по 5, то
недостаток равен 90. Если каждый внесет по 50, то, как раз хватит. Спрашивается кол-во человек и стоимость собаки.
Задача 2.
Куча. Ее половина, четвертая часть и ее целое составляют 10. Что есть куча
?
 
Правило давало удобный алгоритм для решения любых сколь угодно сложных задач, условия которых аналитически могли
быть записаны уравнениями первой степени с одним неизвестным, причем не требовалось ни анализа задачи, ни ее представления в форме алгебраического уравнения.
По этому правилу в китайском трактате
« Математика в девяти книгах»(2 в до н.э.)
решались многие задачи. Погрешность называлась
«избытком»
если
«ложное положение»
давало больший, чем в условии, результат. В случае меньшего –
«недостатком»
Задача 8.
Найдите число, которое будучи взято десять раз и
сложенное с ушестеренным числом, дает 50.
Замечание !
Это же значение неизвестного получается для
любого другого числа
, взятого в качестве «ложного положения».
В случае когда коэффициент при неизвестном составлял сумму нескольких дробей , то в качестве ложного положения египтяне брали число,
кратное их знаменателям
, что облегчало задачу.
Системы линейных уравнений с несколькими неизвестными
.
x
придавали значения
, из первого уравнения системы находили соответствующие им значения
и
, а затем подставляли
,

,

,

во второе. В результате получали линейное уравнение с одним неизвестным.
О достижении китайских математиков ученые Европы узнали сравнительно недавно, поэтому этот способ был переоткрыт Г.
Крамером
.
 
Его формулировка такова:

«Рисуй весы. Над точкой опоры пиши число, которое по условию задачи получается после
действий над искомым числом. На чашке весов пиши оба предположения . Отклонения «больше»
пиши под
весами, отклонения «меньше»-
над
весами. Произведи умножение накрест предположений и отклонений. Если отклонения записаны оба по сторону от весов, то надо брать разности произведений и отклонений; если же отклонения записаны по разные стороны, то надо брать суммы произведений и отклонений»
Задачи для самостоятельного решения .
Имеется стена толщиной в 5
чи
. Две крысы, находясь по разные стороны стены, прогрызают отверстие навстречу друг другу. Большая крыса за первый день прогрызает 1
чи
, маленькая тоже. Большая крыса каждый следующий день прогрызает в два раза больше, чем накануне, маленькая –в два раза меньше. Через сколько дней они встретятся?
Богатство первого и второго, взятые вместе составляют 13, второго и третьего , взятые вместе -14, богатство первого и третьего -15. Назови богатство каждого.

 
 
откуда находят значение
 
Задача 5.
Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесет по 9, то
избыток равен 11. Если каждый человек внесет по 6, то недостаток равен 16. Спрашивается кол-во людей и стоимость курицы.
Задача 1.
Куча и ее четверть дают 15. Что есть куча?( Папирус
Ахмеса
, 19 в. до н. э.)
В современных обозначениях решение сводится к уравнению
, где
x-
куча.

Искомое
число -

 
Правило двух ложных положений.
Суть его в применении к решению задач приводимых к линейному уравнению вида
или
. Метод заключается в том, что неизвестному
придают два отличных от истинного, значения
и
, порождающие при подстановке их в левую часть уравнения ошибки(отклонения)
 
Задача 1.
Первая норма 4.
П
ри подстановке в условие дает результат 4+1=5, что меньше 15 на 10, значит, первая ошибка является
«недостатком».
Второй нормой возьмем 8, получим результат 10ивторую ошибку
15-10=5-
«недостаток»
Запишем
получили ошибки одинакового значения 20 и 80,
 
Коста
ибн Лука ал –
Балабаки

(
Ⅹ в.) написал специальное сочинение, посвященное этому способу решения задач в
трактате
«О доказательстве действий при исчислении двух ошибок»
он дал два вывода правила:
чисто арифметический и опирающийся на средства геометрической алгебры древних греков.
Ибн ал –
Банна
(
13-14 в.) дал подробное описание метода под названием «правило чаш весов» в «Кратком изложении арифметических действий»
Задачи для самостоятельного решения .
Куча. Две трети ее, ее вторая часть, ее седьмая часть и ее целое составляют 33.Что есть куча?
Некто взял из сокровищницы 13-ю часть богатства. Другой взял из нее семнадцатую часть остатка , оставив 150. Сколько было в сокровищнице первоначально?
Найти число, которое, будучи взято семь раз и сложено с ушестеренным числом, дает 25.
Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток будет 3. Если каждый внесет по
7
, то недостаток равен 4. Спрашивается кол-во людей и стоимость вещи.