Исследовательская работа "Решение логических задач с помощью кругов Эйлера" Булгаковой Кристины , 7-б класс МАОУ «СОШ с УИОП № 14»
творческая работа учащихся по алгебре (7 класс) на тему

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение                                                         «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением                                  отдельных предметов № 14»

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

Реферат по математике

г. Магадан

2013

Введение

Слова «логика», «логичный», «логично» довольно часто употребляется в обычной жизни, с ними обычно связывают выводы, сделанные на основе каких-то рассуждений, хорошо продуманные действия или поступки; всё это часто совершенно не связано с математикой.

Математическая логика – это раздел математики, изучающий вопросы применения математических методов для решения логических задач. Развитие логики шло много веков (сначала она называлась формальной логикой, считается, что она возникла 2,5 тысячи лет назад в Древней Греции), но в XIX веке английский ученый Джордж Буль построил новый раздел математики – математическую логику. Именно математическая логика является одним из «китов», на которых основана работа компьютеров.

Когда мы пишем сочинения, разговариваем, отвечаем на вопросы, то выражаем свои мысли при помощи предложений. Изучая математику, мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть записаны словами или с использованием математических символов, например: «Три плюс два равно пяти», «3+2=5».

1. Основы теории множеств

Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д. Этот смысл поясняется многочисленными примерами. Так, можно говорить о множестве всех учащихся 5-го класса, о множестве всех жителей Волгограда, о множестве всех натуральных чисел, о множестве корней данного уравнения. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) так определил множество – «многое, мыслимое как единое, целое».

 Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С, …

Если два множества состоят из одинакового количества элементов (имеют равные мощности), то они называются равномощными. Например, множество времен года и множество арифметических знаков равномощны, так как каждое из них содержит по четыре элемента.

• Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент из В является элементом А. Записывается это так: B ⊂ A. Также говорят, что А содержит (или включает) В.
• Два множества А и В называются равными, если А содержится в В и В содержится в А, то есть элементы равных множеств совпадают.
• Иногда удобно рассматривать множество, в котором нет элементов вообще. Его называют пустым и обозначают ∅. Пустое множество является подмножеством любого множества. Все пустые множества равны между собой.
• Например, пустыми множествами являются: множество китов, живущих на суше; множество кругов с углами; множество слов русского языка, начинающихся с мягкого знака; множество дедушек, учащихся в вашем классе.

С множествами, как с объектами, можно выполнять определенные действия (операции). Познакомимся с некоторыми из них.

Пусть  А = {т, о, ч, к, а},  В = {т, и, р, е},  С = {д, е, ф, и, с}.

Множество общих элементов А и В называют пересечением множеств А и В и обозначают с помощью знака ∩:     А ∩ В = {т}, С ∩ В = {е, и}.

Множества А и С не имеют общих элементов, поэтому пересечением данных множеств является пустое множество:   А ∩ С =∅.

• Если из элементов множеств А и В составить новое множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее других элементов, то получится объединение множеств А и В, которое обозначается с помощью знака ∪:

А∪В = {т, о, ч, к, а, и, р, е}.

Для того чтобы нагляднее представлять себе действия с множествами, используют специальные рисунки – диаграммы (круги) Эйлера.   На этих диаграммах множества, над которыми выполняются операции, обычно изображают в виде кругов или овалов.

Проиллюстрируем несколько ответов задания:                                                                                       А = {т, о, ч, к, а},  В = {т, и, р, е},  С = {д, е, ф, и, с}.

1.  В ∩ С = {е, и}.                          2. А ∪ В ∪ С  = { т, о, ч, к, а, и, р, е, д, ф, с}.

Задача. Пусть К – множество всех кошек. Ж – множество животных рыжего цвета.

 Р – множество рыжих кошек. П – множество пушистых кошек. Т – множество тигров.

Найдите следующие множества и нарисуйте круги Эйлера для них:

1. К ∪ Р.        2. К ∩ П.        3. К ∩ Ж.        4. К ∩ Т.        5. К ∪ Т.        6.  К ∩ Р ∩ П.

Ответ: 1. К ∪ Р = К, все кошки.   2. К ∩ П = П, пушистые кошки.   3. К ∩ Ж = Р,  рыжие кошки. 4. К ∩ Т = ∅, нет общих элементов.   5. К ∪ Т - это все кошки и тигры вместе.

6. К ∩ Р ∩ П, это только рыжие пушистые кошки.

Примечательно, что операции объединения и пересечения множеств обладают многими свойствами сложения и умножения чисел, например переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

• Переместительное свойство объединения и пересечения множеств:

А ∪ В = В ∪ А

А ∩ В = В ∩ А

• Сочетательное свойство объединения и пересечения множеств:

(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С)

(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)

При пересечении и объединении множеств пустое множество играет такую же роль, как нуль при сложении и единица при умножении. Так, пересечение множества А с пустым множеством равно пустому множеству, а объединение множества А с пустым множеством равно множеству А:А ∩ ∅ = ∅, А ∪ ∅ = А

Операция объединения множеств похожа на операцию сложения чисел, но отождествлять их, конечно, нельзя. Так, например, при сложении двух одинаковых чисел, отличных от нуля, получается новое число:                    2 + 2 = 4;    2 ≠ 4.

При объединении же двух одинаковых множеств получается то же самое множество:

 М ∪ М = М.

При пересечении двух одинаковых множеств получится то же самое множество, то есть

 М ∩ М = М.

Глава II. Логические задачи и круги Эйлера

II . 1..Виды логических задач.
На занятиях  дистанционной школы,мы выяснили, что все логические задачи делятся на определенные группы: 
Рассмотрим основные виды логических задач.

• Истинноностные задачи
• Задачи, решаемые с конца
• Задачи на переливание
• Задачи на взвешивание
• Задачи типа «Кто есть кто?»
• Задачи на пересечение и объединение множеств
• Задачи на перебор вариантов

Истинноностные задачи – это задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний.

Задачи, решаемые с конца- это задачи, решаемые с помощью математических вычислений.

Задачи на переливание- это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задачи на взвешивание - достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задачи типа «Кто есть кто?» - это самые что ни на есть логические задачи. Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Вам даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату.

Задачи на пересечение или объединение множеств- это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

К задачам на перебор вариантов относятся комбинаторные задачи.

II . 2. Методы решения логических задач.

На занятиях дистанционной школы, а так же при изучении дополнительной литературы, интернет ресурсов, нами было выявлено, что каждая группа логических задач имеет свой оптимальный метод решения.
Известно несколько различных способов решения логических задач.

Назовём основные методы решения логических задач:

• Метод рассуждений;
• Метод таблиц;
• Метод блок-схем; 
• Метод графов;
• Метод кругов Эйлера

II . 3. Из истории кругов Эйлера

Часто множество изображают кругами, эти круги обычно называют «кругами Эйлера» по имени величайшего математика Леонарда Эйлера.

Леонард Эйлер (Euler) (1707 – 1783 г.г.) – математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец, а работал в основном в Росси и в Германии. В 1726 году был приглашен в Петербургскую АН и в 1727 году переехал в Россию. В 1741 – 1766 годах работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер – ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки.

Одним из первых, кто разрабатывал метод решения задач с помощью кругов Эйлера, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые «Письма к немецкой принцессе», написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и рассказывает о кругах, которые «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848).

 Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в книге «Алгебра логики». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

Задача. В театре все артисты заняты в трёх спектаклях: «Золушка», «Принц и нищий» и «Том Сойер». В «Золушке» играют 35 человек, в «Принце и нищем» - 24, а в «Томе Сойере» - 26. Во всех трёх спектаклях участвуют 5 артистов, а 15 артистов играют в каких-нибудь двух спектаклях. Сколько всего артистов в театре?

Решение. Всего в трёх спектаклях должно быть занято 85 человек (35+24+26). Пять человек, которые играют в трёх спектаклях, посчитаны трижды, поэтому от этого числа надо вычесть 10 (5⋅2), также надо вычесть 15 (те, кто играл в двух спектаклях, посчитаны дважды):

 85 – 10 – 15 = 60.

Ответ: 60 артистов.

III . 1. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера

Задача №1. В театре все артисты заняты в трёх спектаклях: «Золушка», «Принц и нищий» и «Том Сойер». В «Золушке» играют 35 человек, в «Принце и нищем» - 24, а в «Томе Сойере» - 26. Во всех трёх спектаклях участвуют 5 артистов, а 15 артистов играют в каких-нибудь двух спектаклях. Сколько всего артистов в театре?

Решение. Всего в трёх спектаклях должно быть занято 85 человек (35+24+26). Пять человек, которые играют в трёх спектаклях, посчитаны трижды, поэтому от этого числа надо вычесть 10 (5⋅2), также надо вычесть 15 (те, кто играл в двух спектаклях, посчитаны дважды):

 85 – 10 – 15 = 60.

Ответ: 60 артистов.

Задача №2. Сколько натуральных чисел из первого десятка не делится ни на 2, ни на 3?

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться кругами Эйлера. В нашем случае три круга: большой круг – это множество чисел от 1 до 10, внутри большого – два меньших круга, пресекающихся друг с другом. Пусть множество чисел, кратных 2– это множество А, а множество чисел, кратных 3 – множество В. Рассуждаем. На 2 делится каждое второе число. Значит, таких чисел будет 10:2=5. На 3 делится 3 числа (10:3). На 2 и 3 делятся те числа, которые делятся на 6. Такое число только одно. Поэтому множество А состоит из 5-1=4 чисел, множество В – 3-1=2 чисел. Отсюда следует, что в первом десятке содержится 10-(4+1+2)=3 числа.

Задача №3  С помощью кругов Эйлера можно ответить на множество вопросов, поставленных к одному условию задачи.                                                                                 Пусть круг А изображает всех учащихся, говорящих по-английски, круг Н – говорящих на  немецком языке, Круг Ф – говорящих по-французски. Сколько учащихся говорит: а) на всех трех языках? б) по-английски и по-немецки? в) по-французски? Сколько всего учащихся, говорящих на иностранном языке? Сколько из них не говорит по-французски? Сколько из них не говорит по-немецки? Сколько из них не говорит на иностранном языке?

Ответ: а) На всех трех языках говорят 3 ученика; б) По-английски и по-немецки – 15 человек; в) только по-французски – 8 учащихся. Всего 100- (40+7+3+15+5+22+8) ребят, говорящих на иностранных языках. По-французски не говорят 77учащихся (100-(8+5+7+3) и т.д.

Задача №4.   В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по  математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по  математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение. Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история.

Дальнейшие расчеты не представляют большого труда. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки»  - по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки»  - по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки»  учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки»  по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

1. 7-5=2  - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, И.
2. 17-4-5-2=6 - число учеников, имеющих только две «тройки» - М, Р.
3. 22-5-2-11=4 - число учеников, имеющих только две «тройки» - И, Р.
4. 40-22-4-6-4=4 - число учеников, занимающихся без «тройки»  
5. 6+2+4=12 - число учеников, имеющих «тройки» - по двум предметам из трех

III.2. Составление задач, имеющих практическое значение.

Задача 1. В классе 35 учеников. В математическом кружке из них 12 занимаются, в биологическом - 9, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой.

Решение: Мы видим, что кружки посещают 19 ребят, так как 35 - 16=19, из них 10 человек посещают только математический кружок (19-9=10) и 2 биолога (12-10=2) увлекаются математикой.

Ответ: 2 биолога.

С помощью кругов Эйлера легко увидеть и другой способ решения задачи.

 Количество учеников изобразим с помощью большого круга, а внутри поместим круги поменьше.

Очевидно, что в общей части кругов окажутся те самые биологи-математики, о которых спрашивается в задаче. Теперь посчитаем: Внутри большого круга 35 учеников, внутри кругов М и Б : 35-16=19 учеников, внутри круга М - 12 ребят, значит, в той части круга Б, которая не имеет ничего общего с кругом М, находится 19-12=7 учеников, следовательно, в МБ находится 2 ученика (9-7=2). Таким образом, 2 биолога увлекаются математикой.

1) 35-16=19 (чел);

2) 12+9=21 (чел);

3) 21-19=2 (чел).

Ответ: 2 биолога.

Задача 2. Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ничего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Решение: В большом круге, изображающем 100 семиклассников, поместим 2 меньших круга, изображающих учеников, выполнивших модель и эскиз фонтана.

Мы видим, что 90 учеников (100-10)выполнили хотя бы одну часть задания; 15 учеников (90-75) сделали только эскиз фонтана, 75-15=50 – учеников сделали эскиз и фонтан.

Ответ: 50 учеников.

Задача 3. В 5 классе нашей школы 22, в 6 классе – 16, в 7 классе – 23 ребят. Известно, что кружки по лыжам, шахматам и спортивным играм ходят 4 человека.  Каждые 2 секции посещают 9 человек. Сколько  человек ходит из каждого класса на секции? Сколько учеников не ходит ни на какой спортивный кружок?  

Решение: Если на все три кружка ходят 4 ученика, а на каждые два – 9 человек, то две секции  с 5 и 6 класса, с 6 и 7 класса, с 5 и 7 класса посещают по 5 человек. Получаем 5+5+4=14 пятиклассников посещают кружки, 22-14=8 человек не ходят ни на какой кружков. Рассуждая также, из  шестиклассников 16-14=2 ученика никуда не ходя, а из семиклассников – 23-14=9 человек.

Ответ: 14 учеников с каждого класса посещают кружки, не ходят ни на какой из 5-ого – 7, из 6-ого – 2, из 7-ого – 9 учеников.

Задача 4.  В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в пионербол, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и пионерболом - шестеро, баскетболом и волейбол - четверо, пионерболом и волейболом - четверо. Трое ни чем не занимаются. Сколько ребят увлекается всеми видами игры?

Решение. Воспользуемся кругами Эйлера.

1)32-3=29(ч.) – играют хотя бы в одну игру.

2)14-6-4-Х=4-Х (ч.) – играют  только в баскетбол.

3)24-6-4-Х=14-Х (ч.) – играют только в пионербол.

4)16-4-4-Х=8-Х (ч.) – играют только в волейбол.

5)4-Х+14-Х+8-Х+5+6+4=29 (ч.)

41-3Х=29

3Х=12        

Х=4(ч.)

Ответ: четыре человека увлекаются всеми тремя видами спорта.

                                                       Исследование №1, проведенное в 7-Б классе

Известно, что ученики  7-Б класса зарегистрированы в социальной сетях: «ВК», «Одноклассники», «Галактика знакомств».  2 ученика не зарегистрированы ни в одной социальной сети, 7 учеников зарегистрированы и в «Одноклассниках», и в «ВК»;                                                                           2 ученика только в «Одноклассниках»  и 1-только в «ВК»; а 2 ученика  зарегистрированы во всех 3-х    социальных сетях. Сколько человек                                                       класса зарегистрированы в  каждой  социальной сети? Сколько человек                                                       класса приняло участие в опросе?

Исследование №2, проведенное в 7-Б классе

Известно, что из 15  учеников 7-Б класса , 14 любят ходить в кинотеатр. Из них предпочитают: триллер-6 учеников, фэнтези-5 учеников, комедию- 10 учеников.  1 ученик не любит смотреть кино вообще; 1 ученик смотрит только триллеры,2 ученика смотрят только фэнтези, а 5 учеников смотрят  только комедии. Так же известно,                                                             что 3 ученика смотрят и триллеры, и комедии; 1 ученик –и фэнтези,                                                                 и комедии; а триллеры и фэнтези   не смотрит ни один ученик.                                                                              Сколько учеников смотрят все три    жанра кино?                                                   

Заключение

В результате работы над данной темой я пришла  к следующим выводам:

1) Все множества чисел связаны между собой так, что каждое следующее, более объемное, включает в себя предыдущее множество частично или полностью;

2) Любое натуральное число является элементом любого следующего множества;

3) Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными.

4) Круги Эйлера — наглядная геометрическая иллюстрация  понятий и отношений между элементами множествами. Применительно к логическим операциям: это пересечения, и объединения множеств, представленные в виде кругов Эйлера.

Таким образом, круги Эйлера-Венна подтверждают высказывание Б.Паскаля о том, что «Предмет математики столь серьезен, что нельзя упускать ни одной возможности сделать его более занимательным».

Как видно из моей исследовательской работы, задачи состоят из множества данных. Выстроив данные в единую цепочку, можно увидеть, что решение задач подчиняется одному и тому же способу.

Для решения задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, был составлен

АЛГОРИТМ, состоящий из следующих этапов:

• ВНИМАТЕЛЬНО ИЗУЧАЕМ И  ЗАПИСЫВАЕМ КРАТКОЕ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

• ВЫПОЛНЯЕМ РИСУНОК, ДЛЯ ЭТОГО СТРОИМ  ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

• ЗАПИСЫВАЕМ  ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ В КРУГИ (ИЛИ В ДИАГРАММУ ЭЙЛЕРА).

• ВЫБИРАЕМ УСЛОВИЕ, КОТОРОЕ СОДЕРЖИТ БОЛЬШЕ СВОЙСТВ.

• АНАЛИЗИРУЕМ, РАССУЖДАЕМ, НЕ ЗАБЫВАЯ ЗАПИСЫВАТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ В ЧАСТИ КРУГА (ДИАГРАММЫ).

• НАХОДИМ НЕДОСТАЮЩИЕ ДАННЫЕ

• ПРОВЕРЯЕМ РЕШЕНИЕ

• ЗАПИСЫВАЕМ ОТВЕТ.

Литература

1. Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей [Текст]/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993. с. 42. – ISBN 5-7084-0023-4
2. Занимательная математика. 5 – 11 классы. [Текст]: (Как сделать уроки нескучными) / Авт. – сост. Т.Д. Гаврилова. Волгоград: Учитель, 2005.     с.32-38. – 10000 экз. –5-7057-0482-8
3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. – М.: «Баласс», «Ювента», 2004. – 128 с.: ил.
4. Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. [Текст]/ И.Я Депман.  М.: Просвещение, 1999. с. 189 – 191, 231. – 10000 экз. – ISBN 5-09-007107-1
5. Смыкалова, Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. [Текст]: СПб: СМИО Пресс, 2009. с.14-20. – 2000 экз. – ISBN 5-7704-0055-2
6. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.[Текст] /   А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007. с. 27, 34, 61. – 7000 экз. – ISBN 978-5-8112-2394-7
7. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика [Текст]/ Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта +,2001. с. 537 - 542. – 20000экз. – ISBN 5-8483-0015-1
8. Дистанционная обучающая олимпиада по математике (ДООМ) http://doomatem1.narod.ru/
9. Дистанционная школа  по математике «Школа-плюс»; E-mail: ds_nsk@mail.ru
10. Сопова, С. С. Диаграмма Эйлера-Вена и "дерево". Взаимодополнение.
11. http://doomatem1.narod.ru/
12. http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html