Конспект интегрированного урока по математике и химии
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Конспект интегрированного урока

по математике и химии

МБОУ  «СОШ имени В.С. Архипова с. Семеновка г. Йошкар – Ола»

учитель математики - Зверева Т.Н., учитель химии - Безденежных О.Г.

Урок-симпозиум

Тема: Применение производных в решении практических задач.

Эпиграф урока: «Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий: физик и поэт, тракторист и химик» Э.Я. Кольман

Цель: Осмыслить необходимость изучения производной при решении практических задач. Утвердиться в своих знаниях.

Задачи:

Образовательные:

-Повторение и коррекция знаний по теме «Скорость химических реакций»;

-Закрепление навыков вычисления производных;

- Применение производных при решении задач;

Развивающие:

-Развитие логического мышления, внимания;

 -Развитие математической и химической речи;

-Развитие интереса к предметам;

Воспитательные:

-Способствовать осознанию роли знаний в развитии личности;

 -Развитие навыков дружеского общения;

-Формирование положительного отношения к учению.

Интеграционные связи: химия и математика, применение производной при решении задач, скорость химических реакций.

Тип урока:  повторение.

Методы работы:

- наглядно – демонстративный,

- частично – поисковый (учим детей наблюдать, анализировать, сравнивать, делать выводы и обобщения под руководством учителя),

- практический.

Форма проведения урока: урок – деловая (ролевая) игра (урок-симпозиум).

Формы организации деятельности учащихся: общеклассная, индивидуальная, самостоятельная.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, наглядно – демонстрационный материал (презентации), раздаточный материал по вопросам ЕГЭ, карточки - рефлексия.

Ход урока

Учитель: Здравствуйте. Сегодня мы проводим необычный урок. Урок – симпозиум, который проходит на химическом предприятии. Тема: «Применение производных в решении практических задач». Просим без стеснения высказывать свои мысли и активно работать. Председатель симпозиума: Осипенко Е., секретарь: Коржавин Д. Слово председателю.

Председатель: Добрый день, уважаемые коллеги и гости. На нашем симпозиуме  присутствуют:  химик – теоретик – Безденежных О.Г., математик – теоретик – Зверева Т.Н., ведущие специалисты: математик – Осипенко Е., химик – Барышникова Е., логист – Захарова И. и заинтересованные представители лаборатории нашего предприятии.

Цель нашего заседания – осмыслить необходимость изучения производной при решении практических задач, утвердиться в своих знаниях.

Итак, начнем наш симпозиум. Я, как ведущий математик,  нашего предприятия в своей работе часто сталкиваюсь с задачами, которые я могла бы решить математическим способом, но мне не хватает химического обоснования этих задач. Приведу пример такой задачи: Газовая смесь состоит из оксида азота (NO) и кислорода (О2). Требуется найти концентрацию О2, при которой, содержащийся в смеси оксид азота окисляется с наибольшей скоростью. 

Что скажет математик-теоретик по этому вопросу?

Математик – теоретик – Т.Н. Зверева: Главный вопрос задачи – найти концентрацию, когда скорость окисления будет наибольшей. Уважаемые коллеги, наш математик Осипенко Е. права в том, что её можно решить математическим методом. Это пример задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции и решается с использованием производной.

Выдвинем гипотезу: Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.

Предлагаю заслушать историческую справку, которую подготовил нам специалист информационного отдела Иванов К.

Специалист информационного отдела Иванов К. (гиперссылка по стрелке, см. презентация «Великие математики»): Основное понятие дифференциального исчисления - понятие производной – возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики, и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построение касательной к произвольной плоской кривой.

     Первой проблемой занимался великий Исаак Ньютон - английский математик, физик, алхимик и историк. Родился в семье фермера.

     В12 лет поступил в Грантемскую школу, в 1661 г — в колледж Св. Троицы Кембриджского университета.

     Окончив университет, Ньютон в 1665 г получил ученую степень бакалавра. В 1665-1667 гг. у него сложились в основном те идеи, которые привели его к созданию дифференциального и интегрального исчислений, изобретению зеркального телескопа, открытию закона всемирного тяготения.

      В 1687 г. Ньютон опубликовал свой грандиозный труд «Математические начала натуральной философии».

      В 1705 г. за научные труды королева Анна возвела его в рыцарское звание. В последние годы жизни Ньютон много времени посвящал теологии и античной и библейской истории. 

      Второй проблемой занимался не менее великий Готфрид Лейбниц -  немецкий философ. Родился в Лейпциге. Интересы Лейбница были многогранны: помимо философии, он оставил серьезный след в логике, математике и физике, занимался юриспруденцией, историей и языкознанием.

      Являлся членом Лондонского Королевского общества, Парижской Академии наук, Академии естествознания в Риме, в 1700 г. стал основателем и первым президентом Берлинской Академии наук.

     Они работали независимо друг от друга, но пришли к выводам, сводящимся к одному понятию – производной, однако в разных областях знаний. Ученые опубликовали свои исследования в печатных работах. Если в «Методе флюксий (производной)» Ньютона в качестве первоначального понятия фигурирует скорость, то в «Новом методе» Лейбница таким понятием является касательная.

     Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли  Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс, Коши.      

     Необходимо сказать, что ни Ньютон, ни Лейбниц не дали четкого определения производной. Впервые  определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время  используется почти во всех курсах анализа.

Математик – теоретик: Спасибо Кирилл. Прежде чем приступить к решению предложенной задачи, давайте освежим в памяти известные вам знания о производной. Теоретический материал представит ведущий математик.

Ведущий математик: Мы знаем, что

производной функции y=f(х), заданной на некотором интервале (a;b), в точке х0 этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю                                                                                                                             

Для производной справедливы утверждения:

•  Мгновенная скорость - выражает  физический смысл производной: V(t)=fʹ(t).

• Угол наклона касательной – выражает геометрический  смысл  производной:

 fʹ(x0)=tgβ=к (производная в точке совпадет с тангенсом угла наклона касательной и угловым коэффициентом касательной)

Математик – теоретик: Для дальнейшей работы каждый из вас сейчас проверит себя в выполнении заданий по нахождению производных. Работаем  самостоятельно с карточками, которые находятся у вас на столах (гиперссылка по стрелке, см. приложение).

Карточка №1. Необходимые вычисления выполняйте на карточках. Обдумайте, запишите ответы на карточке под соответствующим заданием. Сверим получившиеся результаты (ответы на слайде).

Карточка №2. Будьте внимательны. На какой теоретический материал опираемся при выполнении заданий карточки №2? Сверим получившиеся результаты (ответы на слайде).

Карточка №3. На какой теоретический материал опираемся при выполнении заданий карточки №3? Сверим получившиеся результаты (ответы на слайде).

Все решили. Молодцы.

Председатель: Вопросов нет, хорошо. Значит, можем перейти к нашей исходной задаче. Чтобы её решить, рассмотрим некоторые теоретические вопросы. Слово предоставляется нашим теоретикам.

Химик – теоретик: В математике и химии есть много общих точек соприкосновения. Найдём их. Одним из важных вопросов, которые изучаются в химии, является вопрос о скорости химической реакции (анализирует таблицу вместе с математиком – теоретиком).

Математик – теоретик: Концентрация зависит от времени, значит, концентрация есть функция времени, время t – аргумент.

Математик – теоретик:   ∆С/∆t – средняя скорость, а предел этого отношения при ∆t→0 есть производная или мгновенная скорость. Бывает надо найти мгновенную скорость.

Решим задачу №2:  Найти скорость реакции в момент времени  t = 10 сек, если концентрация исходного продукта меняется по закону С(t) = ½t² + 3t – 3.

Кто желает пояснить задачу? (Решение задачи разбирается устно и записывается в раздаточном материале).

Председатель: Вернёмся к нашей исходной задаче. Хочу напомнить, что при решении любой задачи прикладного характера мы должны выполнить три этапа.

Обобщим алгоритм решения задач: Кто желает?

Заинтересованное лицо: 1. Перевести задачу на язык функций. 2. Решаем задачу математическим путем. 3. Отвечаем на вопрос задачи.

Председатель: Чтобы выполнить первый этап обратимся к ведущему химику нашего предприятия Барышниковой Екатерине.

(Барышникова Е. переводит задачу на язык математики)

Осуществим первый шаг:

Запишем химическое уравнение для задачи, для этого читаем ещё раз условие задачи.

Итак:

2NO+O2= 2NO2

V пр. = k[NO]2 [O2],

[NO]= ?, [O2]=?

Чтобы решить задачу далее введём переменные, пусть  x = [NO], y = [O2], тогда   

V пр. =kx2y. Получили математическую модель нашей задачи.

Председатель: А теперь я смогу  решить задачу сама (второй этап). Концентрацию газов выразим в объемных процента. Возьмем весь объем газовой смеси за 100%. Тогда х+у =100, у=100-х,  у подставляем в уравнение. V=kx2(100-x), где х [0;100], D(V)=R.

V(x)=100кх2-кх3 нас интересует концентрация при наибольшей скорости, поэтому исследуем функцию на наибольшее и наименьшее значение функции. Находим производную.

 (x)=200кх-3кх2

 (x)=0

200кх-3кх2=0

х=0, х=200/3, чертим ось, находим точку минимума функции:  х=200/3

Третий этап: Поскольку х – это концентрация оксида азота, то концентрация кислорода равна 100-200/3=100/3.

Ответ:  Концентрация кислорода 100/3, когда скорость окисления наибольшая.

Логист: Можно предложить рассмотреть ещё один тип задач, с которыми мне приходиться сталкиваться при работе на нашем предприятии?

Председатель: Да, конечно, слушаем Вас.

Логист: Предлагаю рассмотреть следующую задачу.

Задача №3. Ёмкость с квадратным дном должна иметь объём равный 32 м3. При каких размерах на её изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Логист решает задачу №3 на доске, выделяя три этапа.

Председатель: Спасибо за интересное дополнение. 

Итак, мы с вами рассмотрели решение нескольких практических задач. Можем ли мы сказать, что наша гипотеза подтвердилась? Действительно, производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях.

План симпозиума выполнен, спасибо всем за работу. На этом наш симпозиум закрыт.

Учитель: Ребята, спасибо вам за урок. Вы замечательно поработали. Надеюсь, этот материал вы не забудете, он пригодиться в конце учебного года на ЕГЭ.

Оценки за урок: всем специалистам 5-ки, дополнения учту при работе на следующем уроке.

Домашнее задание: задача №3 при условии, что ёмкость имеет крышку (литок с задачей возьмите с собой).

Ребята, мы хотели бы узнать ваше мнение об уроке. Его вы можете отразить на карточке «Рефлексия», раскрасив соответствующую ячейку цветным карандашом.

Ещё раз всем спасибо, урок окончен.