Программа курса по выбору "Учимся решать текстовые задачи"
учебно-методическое пособие по алгебре (9 класс) на тему

                                             Учитель, который хочет принести пользу всем своим учащимся,

                                   и тем, которые будут, и тем, которые не будут после школы

                                          пользоваться математикой, должен обучать решению задач так,

                                       чтобы это обучение было на одну треть математикой, а на две  трети здравым смыслом.

                                            Д.Пойя

Пояснительная записка

   Курс «Учимся решать текстовые задачи» является предметно-ориентированным, предназначен для организации предпрофильной подготовки в 9-х классах общеобразовательной школы, предполагает возможность продолжения в 10-11 классах в расширенном варианте.

   Данный курс позволяет выявить средствами предмета математики направленность личности, её профессиональные интересы, осуществить профпробы, оценить свои потребности и возможности и сделать обоснованный выбор профиля обучения в старшей школе.

   Содержание курса не дублирует базовый курс математики основной школы, оно ориентировано на достижение повышенного уровня подготовки обучающихся.

   Курс намечает и использует ряд межпредметных связей (с физикой, химией, экономикой, информатикой).

   Данные анализа результатов проведения государственной (итоговой) аттестации по алгебре в 9-х классах в новой форме в 2005/2006 учебном году в школах г.Починка Смоленской области говорят о том, что только около 20% выпускников решили текстовые задачи. Это позволяет сделать вывод о том, что большая часть обучающихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач. По этой причине возникает необходимость более глубокого изучения этого традиционного материала школьного курса математики.

   Умение решать текстовые задачи является одним из показателей уровня развития математического мышления школьников, глубины усвоения ими учебного материала.

   Значение решения задач в школьном курсе математики переоценить трудно. Решение задач – это практическое применение теоретического материала, приложение научных знаний на практике, поэтому успешное решение задач обучающимися является одним из завершающих этапов в самом познании.

   Решение задач требует от обучающихся умения логически рассуждать, планировать, делать краткие записи, производить расчеты и обосновывать их теоретическими предпосылками, дифференцировать определенные проблемы на отдельные вопросы, после ответов на которые решаются исходные проблемы в целом, обобщать.

   Решение задач как средство контроля и самоконтроля развивает навыки самостоятельной работы, помогает определить степень усвоения знаний и умений и их использования на практике, позволяет выявить пробелы в знаниях и умениях обучающихся и разрабатывать тактику их устранения.

   При решении задач развивается кругозор, память, речь, мышление обучающихся, а также формируется мировоззрение в целом, происходит сознательное усвоение и лучшее понимание математической теории.     Решение задач развивает интерес обучающихся к математике, активизирует их деятельность, способствует политехнической подготовке, выбору профиля обучения.

   Целенаправленное обучение решению задач, выявление некоторых особенностей поисковой деятельности, связанной с решением незнакомой, нестандартной задачи, способно принести немалую пользу любому школьнику, пробудить и укрепить его интерес к изучению математики.

   Курс «Учимся решать текстовые задачи» рассчитан, в первую очередь, на обучающихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, более качественно подготовиться к школьному и конкурсному экзаменам.  В то же время на занятиях курса любой школьник может найти посильные для него задачи.

  Курс поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы.

   Изучение курса «Учимся решать текстовые задачи» предполагает проведение лекционных и семинарских занятий, практикума по решению задач с применением компьютера, индивидуальную и групповую работу. На всех этапах занятий предполагается активный диалог с обучающимися. Доля самостоятельности школьников при изучении курса достаточно велика, они могут проявить активность, развивать и реализовывать свой творческий потенциал.

    Обучающиеся могут выбрать:

• Объект изучения (тип задачи, метод решения задачи, тематику задачи);
• Форму итогового контроля (контрольная работа, защита способа решения задачи, зачет с использованием компьютера).

   Решение задач – не самоцель, а цель и средство обучения и воспитания школьников.  Нужно стремиться не только к тому, чтобы задача была решена быстро и правильно, но и к тому, чтобы она была решена творчески и чтобы из неё выжать как можно больше пользы для математического развития школьника.

Данный курс решения текстовых математических задач:

• Учит мыслить, ориентироваться в ситуации;
• Предполагает активную продуктивную деятельность с определенной глубиной, широтой и самостоятельностью решения;
• Содействует конкретизации и упрочению знаний;
• Позволяет установить связь математики с другими предметами;
• Служит одним из способов учета знаний и проверки навыков, полученных в процессе изучения предмета;
• Позволяет осуществить профпробу;
• Воспитывает умение использовать полученные знания для решения практических проблем, тем самым связывая обучение с жизнью и деятельностью человека.

Цель курса:

  Создание условий для  определения обучающимися  уровня своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы и развития устойчивого интереса к изучению математики.

Задачи курса:

• Помочь сориентироваться в выборе профиля дальнейшего обучения, определить, хотят ли и могут ли они заниматься математикой на повышенном уровне;
• Оказать необходимую психолого-педагогическую поддержку, создав условия для повышения уровня готовности к самоопределению;
• Ориентировать на профессии, существенным образом связанные с математикой или другими предметами естественно-научного профиля;
• Обобщить и систематизировать материал, связанный с решением текстовых задач,  изученный в базовом курсе математики, развить и углубить знания обучающихся по данной теме;
• Развивать логическое мышление, обогащать и расширять математический кругозор обучающихся;
• Формировать у обучающихся навыки перевода различных задач на язык математики, умение строить математические модели реальных процессов (ситуаций);
• Способствовать созданию положительной мотивации обучения;
• Развивать у школьников представление о математике как инструменте познания окружающего мира.
• Пополнить словарный запас обучающихся экономическими терминами.

Требования к уровню усвоения курса

   Изучение курса должно способствовать овладению обучающимися следующими компетенциями:

- владение определенным набором приемов решения текстовых задач и умение применять их при самостоятельном решении;

- владение методом математического моделирования, умением выполнять графические и табличные иллюстрации к решаемым задачам;

- умение точно и грамотно использовать математический язык, излагая собственные рассуждения при решении задач;

- приведение полных теоретических обоснований при решении задач;

- свободное оперирование аппаратом алгебры при решении задач;

- владение навыками исследовательской деятельности при изучении реальных процессов и зависимостей;

- умение работать с учебником и дополнительной литературой, использование библиографических списков, каталогов, мультимедийных ресурсов;

- владение навыками организации и участия в коллективной деятельности; - умение вести диалог в групповом взаимодействии;

- умение объективно оценить собственные учебные достижения с учетом мнения других людей.

Практический выход:

• Осуществление профильной пробы;
• Повышение уровня решаемости текстовых задач (по результатам государственной (итоговой) аттестации по алгебре);
• Корректирование пробелов в знаниях обучающихся по данной теме;
• Совершенствование навыков работы на компьютере.

   Представленный курс содержит 5 тем.

   Первая тема «Текстовые задачи, техника их решения» является обзорной по данному разделу математики. Она предполагает повторение уже известных школьникам фактов на новом уровне. Основной акцент делается на выделение этапов решения текстовых задач, повторение методики решения типовых задач. Обращается внимание на творческий характер работы на этапе составления математической модели реальной ситуации (реального процесса). Использование уже имеющегося у обучающихся практического опыта позволяет активизировать учебный процесс, создает благоприятные условия для формирования положительной мотивации.

   Темы «Задачи на движение», «Задачи на работу», «Задачи на сплавы, смеси, растворы» помогут повторить, закрепить и дополнить знания, полученные на уроках математики.

  Темы «Задачи с экономическим содержанием», «Задачи с целочисленными неизвестными» выходят за рамки школьной программы, они значительно совершенствуют навыки школьников в решении текстовых задач.

    Теоретический этап курса – 4 часа.

   Ознакомление обучающихся с теоретическими сведениями проводится в форме обзорной лекции с разбором решения типовых задач или семинаров с предварительной подготовкой обучающихся.

   Практическая часть – 13 часов.

   Практикум по решению задач.    Возможно проведение занятий  в компьютерном классе (при наличии соответствующего программного обеспечения).

   Итоговое занятие курса является контрольным.  

   Оно может проводиться в виде:

• контрольной работы по открытым текстам с использованием пособия: Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. -  М.: Просвещение, 2006;
• зачета в компьютерном классе с использованием электронного учебника: Алгебра 7 – 11;
• защиты способа решения задачи.

   Для подтверждения своей успешности в будущем профильном обучении школьникам уже на этапе предпрофильной подготовки необходимо проявлять интерес к предмету.

   В ходе работы данного курса учитель может фиксировать динамику интереса в виде:

• наблюдения активности школьников на занятиях,
• бесед с обучающимися в процессе работы, после выполнения практических работ,
• анализа оценок и мнений других педагогов,
• анализа контрольной работы (результатов зачета, защиты способа решения),
• анкетирования (использование рефлексивной карты ученика).

Содержание курса

Текстовые задачи, техника их решения (1 час)

   Текстовая задача.  Единство математической сущности ряда текстовых задач, примеры. Решение текстовой задачи.

   Решение текстовой задачи арифметическим  и алгебраическим способами.

   Решение текстовой задачи методом составления математической модели. Этапы решения текстовой задачи методом математического моделирования. Проблема выбора модели.

Задачи на движение (4 часа)

  Основные допущения при решении задач на движение.

  Движение по прямой. Движение по течению и против течения.

 Чертеж как иллюстрация к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.

   Чтение графиков движения, их применение для решения текстовых задач.

Задачи на работу (4 часа)

   Формула зависимости объема выполненной работы от производительности труда и времени её выполнения.    Основные допущения при решении задач на работу.

   Методика решения задач на работу, особенности выбора переменных.

   Задачи на наполнение резервуаров.

   Задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений системы.

Задачи на проценты (5 часов)

   Задачи на сплавы, смеси, растворы. Формула зависимости массы или объёма вещества в сплаве, смеси, растворе от концентрации и массы или объёма сплава, смеси, раствора.

   Методика решения задач на сплавы, смеси, растворы.

   Решение задач на процентное содержание вещества в сплаве, смеси, растворе. Решение задач на отношение компонентов в сплавах, смесях, растворах.

   Задачи с экономическим содержанием. Формулы простых и сложных процентов.

Задачи с целочисленными неизвестными (1 час)

   Задачи с целыми неизвестными. Представление многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых. Методика решения задач с целочисленными неизвестными.

Учебно – тематический план

Литература для обучающихся

1. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. Пособие для учащихся. -  М.: Просвещение, 1980.

2. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. -  М.: Просвещение, 2006.

3. Макарычев Ю.А., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: учебник для 9 класса. Под ред. С.А.Теляковского. -  М.: Просвещение, 2001.

4. Мордкович А.Г. Алгебра: учебник для 8 класса.-  М.: Мнемозина, 1999.

5. Мордкович А.Г. Алгебра: учебник для 9 класса. -  М.: Мнемозина, 1999

6. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра-8. Задачник. -  М.: Мнемозина, 1999.

7. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра-9. Задачник. -  М.: Мнемозина, 1999.

8. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся 4 – 8 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1988.

9. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Учпедгиз, 1961.

10.  Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.

11.  Фридман Л.М., Турецкий Е.Н., Стеценко В.Я. Как научиться решать задачи. Пособие для учащихся.-   М.: Просвещение, 1979.

12.  Фридман Л.М. Учитесь учиться математике /Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1985.

Литература для учителя

1. Алгебра 7-11. Электронный учебник- справочник.

2. Алексеев И.Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ. -  Саратов: Лицей, 2004.

3. Бескин Н.И. Роль задач в преподавании математики. – // Математика в школе, 1992, №4-5.

4. Болтянский В.Г., Груденов Я.И. Как учить поиску решения задачи. – // Математика в школе, 1988, №1.

5. Булынин В. Применение графических методов при решении текстовых задач. - // Математика,  2005, №14.

6. Буланова Л.М., Дудницын Ю.П.,Доброва О.Н. и др. Проверочные работы по математике. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1992.

7. Венгеров В.О. Метод взаимозависимых величин. - // Математика в школе, 1997, №6.

8. Виноградова Л.В. О задачах на составление уравнений.- //  Математика в школе, 1994, №5.

9. Волович М.Б. Алгебра перестает быть трудным предметом.-// Математика в школе, 2003,№9.

10. Дорофеев Г.В., Тараканова О.В. Постановка текстовых задач как один из способов повышения интереса учащихся к математике.–// Математика в школе, 1988, №5.

11. Захарова А.Е. Несколько задач «про цены». – // Математика в школе, 2002, №8.

12. Капкевич Л.С.Алгебраический и геометрический методы в обучении математике. – // Математика в школе, 2004, №7.

13. Кац М.Т. Использование графиков при решении задач на составление уравнений. – // Математика в школе, 1995,№2.

14. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. -  М.: Просвещение, 2006.

15. Лаппо Л.Д., Морозов А.В., Попов М.А. ЕГЭ. Математика.  Эффективная методика. -  М.: Экзамен, 2006.
16. Леонтьева М.Р., Суворова С.Б. Упражнения в обучении алгебре. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1985.

17. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука,1990.

18. Макарычев Ю.А., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра: учебник для 9 класса. Под ред. С.А.Теляковского.-  М.: Просвещение, 2001.

19. Мордкович А.Г. Алгебра: учебник для 8 класса.- М.: Мнемозина, 1999.

20. Мордкович А.Г. Алгебра: учебник для 9 класс. – М.: Мнемозина, 1999.

21. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра-8. Задачник.- М.: Мнемозина, 1999.

22. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра-9. Задачник. -  М.: Мнемозина, 1999.

23. Мясникова Т.Ф. Графическое моделирование в задачах на движение. – // Математика в школе, 2005, №5.

24. Сборник задач по математике с решениями. Под ред. Сканави М.И. – М.: ОНИКС:Альянс-В, 1999.

25. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М.: Школа-Пресс, 1999.

26. Соломатин О.Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси.- // Математика в школе, 1997, №17.

27. Тоом А. Как я учу решать текстовые задач.-//Математика, 2004, №46, 47.

28. Филимонов В.А. Геометрия помогает решить задачу. –// Математика в школе, 1992, №2-3.

29. Фирсова М.М. Урок решения задач с экономическим содержанием. – // Математика в школе, 2002. №8.

30. Фонин Д.С., Целищева И.И. Моделирование как основа обучения решению задач разными способами. – // Математика в школе, 1994,№2.

31. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис пресс, 1998.

Материалы для занятий

                                                               Если хотите научиться плавать, то смело

                                                             входите в воду, а если хотите научиться

                                                             решать задачи, то решайте их.

                                                                                                              Д.Пойа

Первое занятие.

Тема: Многообразие текстовых задач. Единство математической сущности многих текстовых задач. Решение задач  арифметическим и алгебраическим методами. Метод математического моделирования.

                                                                                      Помните, что, решая маленькие задачи,

                                                                                       вы готовите себя к решению больших и  

                                             трудных задач.

                                                                                     Академик С.Л.Соболев

Вступительное слово учителя:

Дорогие девятиклассники!

   У вас появилась возможность посещать курс по выбору «Учимся решать текстовые задачи».

   Текстовые задачи представляют собой раздел математики, традиционно предлагаемый как на школьных экзаменах по алгебре, так и на вступительных экзаменах в средние специальные и высшие учебные заведения.

   Ежегодно выпускникам и абитуриентам приходится распутывать замысловатые условия задач о встречах пешеходов и велосипедистов, автобусов и поездов, о перемешивании растворов спирта и кислоты, о наполнении и опорожнении бассейнов, о работе экскаваторов, насосов, комбайнов и т.п.

   Интерес к текстовым задачам вполне понятен. Решение этих задач связано с развитием логического мышления, сообразительности, наблюдательности, а зачастую и с непростыми преобразованиями, возникающими при решении систем уравнений и неравенств.

   Решение текстовых задач вызывает трудности у многих школьников. Отчасти это происходит от недостатка времени, уделяемого такого сорта задачам в школьном курсе математики.

   Попытаемся восполнить этот пробел!

Темы «Задачи на движение», «Задачи на работу», «Задачи на сплавы, смеси, растворы» помогут повторить, закрепить и дополнить знания, полученные на уроках математики.

   Темы «Задачи с экономическим содержанием», «Задачи с целочисленными неизвестными» выходят за рамки школьной программы, они значительно усовершенствуют Ваши навыки в решении текстовых задач.

   Данный курс рассчитан не только на школьников, желающих расширить и углубить свои знания по математике, более качественно подготовиться к экзамену по алгебре, но и на тех, кто чувствует затруднения при решении  даже простых задач и хотел бы повторить методы  их решения или разобраться в них.

   За годы обучения в школе вам уже пришлось решить тысячи задач, многие из них описывали реальные процессы: движение пешеходов, машин, катеров, работу людей или механизмов, вы встречались на уроках математики и химии с задачами на сплавы и смеси. Кажется, что математика пронизывает собой все  школьные предметы и науки. И это так!  Каждый предмет и любая наука говорят на языке математики.

   Язык математики – всеобщий язык науки. Ещё Галилей почти 400 лет тому назад писал: «Философия написана в грандиозной книге – Вселенной, которая открыта нашему пристальному взгляду. Но понять эту книгу может лишь тот, кто научился понимать её язык и знаки, которыми она изложена. Написана же она на языке математики…»

  Крупнейший французский математик Анри Пуанкаре (1854 – 1912) утверждал, что «математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем».

   Многообразие текстовых задач – миф! Большая часть задач, которые мы встречаем в учебниках и пособиях, имеет одинаковую математическую сущность и в значительной степени дублирует друг друга, отличаясь лишь числовыми значениями, физическим содержанием, обозначениями или другими не очень существенными деталями.

    Приведем в качестве примера три, казалось бы, различные задачи, математическая сущность которых совершенно одинакова:

Задача 1.

   Мастер может выполнить некоторую работу за 20 дней, а ученик – за 30 дней. За сколько дней они выполнят эту работу вместе?

Задача 2.

   Кран с холодной водой может наполнить пустой бак за 20 мин., а кран с горячей водой – за 30 мин. За сколько времени наполнится пустой бак, если открыть оба крана одновременно?

Задача 3.

   Из пункта А в пункт В отправляется поезд, который проходит весь путь за 20 часов. Одновременно из пункта В в пункт А отправляется другой поезд, который проходит этот путь за 30 часов.

   Через сколько часов поезда встретятся?

   Решим эти задачи арифметическим методом (с помощью вопросов, по действиям):

1)          2)

Ответ: через 12 ч

Вывод: можно решить большую часть школьных задач, зная способы решения отдельных типовых задач.

      Рассмотрим следующие задачи и решим их арифметическим способом и алгебраическим (выделяя этапы составления математической модели):

Задача.

   Продавец  взвесил поочередно три выбранных покупателем арбуза, и его весы показали 6 кг, 7 кг и 8 кг. Когда же покупатель взвесил все три арбуза вместе на тех же весах, они показали всего 20 кг.

   На сколько килограммов обманывают весы при каждом взвешивании, если известно, что эта величина постоянна? (мат. олимпиада МГУ, 2003г.)

Ответ: 0,5 кг

Задача.

   Рабочий получил заказ на изготовление определенного количества одинаковых деталей. Если бы он работал 6 часов, то изготовил бы на 8 деталей меньше, чем необходимо. Если бы он работал 8 часов, то изготовил бы на 2 детали больше, чем необходимо.

   Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Ответ: 38 дет.

   Проблема выбора модели при решении задачи методом математического моделирования заключается в том, что можно составить модель, содержащую одну переменную, а можно составить модель, содержащую две и более  переменных.

  Если модель сложнее (система уравнений или неравенств), то более труден второй этап – работа с составленной моделью, но менее труден первый этап: сама модель составляется легче и быстрее, т.к. можно взять столько  переменных, сколько неизвестных в задаче.

   Поскольку первый этап – составление математической модели – объективно сложнее, т.к. выполняется творческая работа, чем второй этап, когда выполняется техническая работа по готовым алгоритмам, то более целесообразно упрощать именно этап составления модели.

Задачи на движение, совместную работу, наполнение резервуаров

Основные допущения в задачах:

1. Если в условии задачи на движение не сказано, что скорость тела меняется, то принято считать, что скорость постоянна: S = v⋅t, где  S – путь, v – скорость, t – время.
2. Повороты движущихся тел принимаются мгновенными, т.е. происходят без затраты времени; скорость при этом изменяется также мгновенно.
3. Если тело движется по течению реки, то его скорость складывается из скорости движения в стоячей воде (собственной скорости) и скорости течения реки, а если против течения реки, то скорость тела равна разности собственной скорости и скорости течения реки. Плоты движутся со скоростью течения реки.
4. Если в условии задачи на совместную работу не сказано, что производительность труда участников меняется, то принято считать, что производительность труда постоянна: S = v⋅t, где  S –объем работы, v –производительность, t – время.
5. Если в условии задачи на наполнение резервуаров не сказано, что скорость наполнения резервуара данной трубой меняется, то принято считать, что скорость наполнения  постоянна: S = v⋅t, где  S –объем резервуара, v – скорость наполнения, t – время.

Выбор единицы измерения

1. Если в условии задачи на движение не даны единицы измерения длины, то удобно принять за единицу весь пройденный путь.
2. Если в условии задачи на совместную работу не даны единицы измерения объема работы, то удобно принять за единицу весь объем работы.
3. Если в условии задачи на наполнение резервуаров не даны единицы измерения объема резервуара, то удобно принять за единицу весь объем резервуара.

   Разберем несколько примеров, имеющих важное значение для успешного решения задач на движение.

Задача.

(Цель: повторение метода математического моделирования)

   Турист шел пешком 2ч из пункта А в пункт В, затем в В он сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста, ехал на катере 1,5ч до пункта С. В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера, и ехал на нем 2ч до пункта D. С какой скоростью шел турист пешком, если известно, что весь его путь от А до D составил 120 км?

Решение:

Составление математической модели (первый этап).

   В задаче требуется найти, с какой скоростью шел турист пешком. Именно эту величину обозначим буквой v. Естественно использовать букву v, которой принято обозначать скорость в физике.

   В ныне действующих учебниках принято для обозначения неизвестных, как правило, использовать «стандартные» буквы x, y, z. (Это нередко приводит к тому, что ученики не видят в получившихся формулах известных уравнений из физики и химии).

   Обозначив v км/ч – скорость пешехода, читаем задачу с самого начала, записывая в виде числовых или буквенных выражений содержащуюся здесь информацию.

   «Турист шел 2ч пешком из пункта А в пункт В» - зная скорость и время движения, можно найти пройденный путь, записать информацию в виде буквенного выражения: 2ч ⋅  v км/ч = 2v км – путь АВ.

   «Затем в В он  сел на катер, скорость которого в 4 раза больше скорости туриста» - эту часть можно перевести с языка русского на математический с помощью буквенного выражения: v км/ч ⋅ 4 = 4v км/ч – скорость катера.

   «И ехал на катере 1,5ч до пункта С» - эту часть можно записать в виде буквенного выражения: 4v км/ч ⋅ 1,5ч = 6v км – путь ВС.

   «В С он сел на автобус, скорость которого в 2 раза больше скорости катера» - эта часть дает возможность записать в виде буквенного выражения скорость автобуса: 4v км/ч ⋅ 2 = 8v км/ч – скорость автобуса.

   «и ехал на нем 2ч до пункта D» - можно записать в виде буквенного выражения: 2ч⋅8v км/ч = 16v км – путь СD.

   Весь путь, проделанный туристом, по условию задачи равен 120 км. Это позволяет составить уравнение: 2v + 6v + 16v = 120 (км).

Работа с моделью (второй этап).

2v + 6v + 16v = 120,

24v=120,

v=5.

Ответ на вопрос задачи (третий этап).

5 км/ч – скорость туриста, когда он шел пешком.

Ответ: 5км/ч

Задача.

   Расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки катер проходит за 3 часа, на обратную дорогу он тратит 5 часов. Сколько времени затратит плот на путь от А до В?

Решение:

   Пусть  S – расстояние между пунктами, v – собственная скорость катера, u – скорость течения реки (скорость плота). Переведем текст задачи на математический язык, получим уравнения:

   и    , описывающие условие задачи,

отсюда получим 2v = 8u,  v=4u,

первое уравнение примет вид: , откуда ,  ,

поскольку это отношение пути к скорости и есть время движения плота по реке, то

 Ответ: 15 часов.

Задача.

   Грузовик проехал расстояние 80км. Первую половину пути он ехал со скоростью 50 км/ч, а вторую половину – со скоростью 75 км/ч. Найти среднюю скорость движения грузовика.

Решение:

v =  (определение средней скорости движения)

На прохождение первой половины пути грузовик затратил ч, на прохождение второй половины - ч, тогда v== 60 км/ч

Ответ: 60 км/ч

Задача.

   Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправляется катер. Одновременно с ним из А в В по берегу отправляется автобус. Прибыв в  пункт В, катер и автобус разворачиваются и отправляются в пункт А. Какое транспортное средство вернется в пункт А позже, если собственная скорость катера и автобуса равны?

Решение:

 Пусть v – собственная скорость катера (автобуса), u – скорость течения реки, S – расстояние между пунктами А и В.

 Сравним  и

Приведем к общему знаменателю, умножим на v, разделим на 2S, получим  и 1

Очевидно, что больше, чем 1

Ответ: катер вернется позже.

«Кажущийся» ответ: одновременно, т.к. при движении вниз по реке течение помогает, вверх – мешает катеру. Но мешает дольше, чем помогает!

Тренировочные задачи:

1. Через один кран вода наполняет бак за 3ч, через второй – за 5ч. За какое время заполнится бак, если открыть оба крана одновременно?

Ответ: 1,875ч

2. Доберман съедает порцию корма за 5 мин, а эрдельтерьер – за 7 мин. За сколько времени обе собаки съедят одну порцию корма, если не будут конфликтовать из-за неё?

Ответ: 2мин 55с

3. Два робота делают за 2 мин 2 детали. Сколько деталей сделают 4 робота за 4 минуты?

Ответ: 8 деталей

4. С одной и той же станции в одно и то же время вышли в противоположных направлениях два поезда. Скорость одного поезда 50 км/ч, а скорость другого – 85км/ч. Через сколько часов между поездами будет расстояние в 405км?

Ответ: 3ч

5. Скорость катера по течению реки 22км/ч, а против течения – 18 км/ч. Найдите скорость течения реки, собственную скорость катера.

Ответ: 2км/ч, 20 км/ч

6. Расстояние между двумя машинами, движущимися по шоссе, составляет 100 км. Скорости машин равны 80 км/ч и 60 км/ч. Чему может быть равно  расстояние между ними через час?

Ответ:40км, 240км, 120км, 80км

7. Самолет пролетел первую половину трассы со скоростью 700 км/ч, а вторую – со скоростью 900 км/ч. Какова  была средняя скорость полета на трассе?

Ответ: 787,5 км/ч

8. Через две трубы начинают подавать воду в бассейн. Сколько часов потребуется для заполнения бассейна, если его объем 2720л, а в час через одну трубу поступает 300л, а через другую – 380л?

Ответ: 4ч

9. Пройдя половину пути, теплоход увеличит скорость в 2 раза, благодаря чему прибыл в конечный пункт  на один час раньше срока. Сколько времени плыл теплоход? (можно применить геометрический метод)

10. Расстояние между двумя турбазами 12 км. Турист вышел из своей базы в 9ч 25мин и прибыл на другую турбазу в 13ч 15 мин. На следующий день он отправился в обратный путь в 11ч и пришел на свою базу в 14ч 40 мин. На каком расстоянии от его базы находится пункт, который турист проходил в один и тот же час как на прямом, так и на обратном пути? (можно применить геометрический метод)

11. Из пункта М в пункт N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта М выехал велосипедист, а ещё через 30 минут – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути.

    На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 час позже мотоциклиста? (можно применить геометрический метод)

12. Если велосипедист будет двигаться со скоростью 10 км/ч, то опоздает на 1ч к назначенному сроку. Если же он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на 1ч раньше. С какой скоростью он должен ехать, чтобы прибыть вовремя, и чему равно расстояние между городами?

Ответ: 60км, 12км/ч

Задачи

(задачи* могут решаться с использованием электронного учебника):

1.Первая бригада может выполнить заказ на 10ч быстрее, чем вторая, а работая вместе, они могут выполнить его за 12ч. За какое время выполнит заказ одна первая бригада?

2. Поезд был задержан в пути на 6 мин и ликвидировал опоздание на перегоне длиной 20 км, пройдя это расстояние со скоростью на 10 км/ч больше той, что полагается по расписанию. Чему равна скорость поезда по расписанию?

3*. Самолет летел сначала со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, скорость его стала равной 330 км/ч. Средняя скорость самолета на всем пути равна 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет?

4*. Два поезда ходят навстречу друг другу из городов А и В. Если поезд из города А выйдет на 1,5ч раньше, чем поезд из города В, то они встретятся на середине пути. Если поезда выйдут одновременно, то через 6 ч они еще не встретятся, а расстояние между ними составит десятую часть первоначального. За сколько часов каждый поезд проходит расстояние между А и В?

5*. Из пунктов А и В навстречу друг другу выезжают одновременно с одинаковыми скоростями два автомобиля и встречаются через 5ч 30мин в пункте С. Если бы скорость одного из этих автомобилей была бы на 10 км/ч больше, они встретились бы в пункте, расположенном в 25км от пункта С. Найдите скорости автомобилей.

6*. На кольцевой трассе один лыжник проходит круг на 2 минуты быстрее второго и каждый час выигрывает у соперника ровно один круг. За какое время каждый лыжник проходит круг?

7*. Теплоход прошел 4 км против течения реки, а затем ещё 33 км по течению, затратив на весь путь 1час.  Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки 6,5км/ч.

8*. Бассейн, содержащий 30мводы, сначала был опорожнен, а затем заполнен до прежнего уровня. На все это потребовалось 8 часов. Сколько времени шло заполнение бассейна, если при наполнении насос перекачивает в час на 4 м воды меньше, чем при опорожнении?

9*. Бассейн наполняется из двух труб за 7,5часов. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится на 8 часов быстрее, чем если открыть только вторую трубу. Сколько времени будет наполняться бассейн второй трубой?

10*. Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Наполнение бассейна только через первую трубу происходит на 22 минуты дольше, чем только через вторую трубу. Если же работают обе трубы вместе, то бассейн наполняется за 1 час. За какой промежуток времени наполняется бассейн через каждую трубу отдельно?

11*. Танкер наполняется нефтью с помощью насосов. Начали работать 4 насоса одинаковой мощности. Через 2 часа к ним добавили ещё 2 насоса меньшей мощности, и после этого погрузка была окончена через 3 часа. Если бы все насосы начали работать одновременно, то погрузка заняла бы 4,5 часа. Определите, за сколько часов мог бы загрузить танкер один насос большой мощности.

12*. Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 20 дней. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 30 дней быстрее, чем второй рабочий, если этот последний будет работать отдельно. За сколько дней каждый из них, работая отдельно, может выполнить работу?

13*. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 часов. Если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем другой – остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За какое время мог выполнить эту работу более квалифицированный из рабочих?

14*. Трактористы А и В вспахали поле. В первый день они вспахали треть поля, причем А работал 2 часа, а В – на 1 час больше. Оставшуюся часть поля они вспахали на другой день, при этом А работал 5 часов, а В – 4,5 часов. За сколько часов тракторист В мог бы вспахать поле один?

15*. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 4часа. Один первый экскаватор затратит на эту работу на 6 часов больше, чем один второй. За какое время может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно?

16*. Две трубы наполнили бассейн объемом 540 . При этом первая труба была открыта 3 часа, а вторая – 2 часа. Какова пропускная способность первой трубы, если 1 она заполняет на 1 минуту медленнее, чем вторая?

17*. Пассажир едет в трамвае и замечает, что параллельно трамвайной линии в противоположном направлении идет его знакомый. Через минуту пассажир вышел из вагона и, чтобы догнать знакомого, пошел вдвое быстрее его, но в четыре раза медленнее трамвая. Через сколько минут пассажир догонит знакомого?

18. Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4часа; первая, третья и четвертая – за 3 часа. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

19. Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая труба наполняет резервуар за 40 минут; вторая, третья и четвертая, работая одновременно, - за 10 минут; вторая, третья и пятая – за 20 минут и, наконец, пятая и четвертая – за 30 минут. За сколько времени наполняют резервуар все пять труб при одновременной работе?

Задачи на проценты

(сплавы, смеси, растворы; задачи с экономическим содержанием)

   Основные допущения, обычно используемые в задачах на сплавы, смеси, растворы, состоят в следующем:

1. Все получающиеся смеси или сплавы однородны;
2. При слиянии двух растворов, имеющих объемы  и , получается смесь, объем которой равен +

Заметим, что это допущение не всегда выполняется в действительности. На самом деле при слиянии двух растворов не объем, а масса или вес смеси равняется сумме масс или весов составляющих её компонентов.

  Процентом от некоторой величины называется сотая часть этой величины.

 Отношение объема чистого вещества в растворе ко всему объему смеси

/ ,

        где  - объем вещества в смеси,  - объем всей смеси,

называется объемной концентрацией этого вещества.

   Процентным содержанием (концентрация, выраженная в процентах) p вещества в смеси по объему называется величина

        где  - объем вещества в смеси,  - объем всей смеси.

   Процентным содержанием p вещества в смеси по массе называется величина

,

где    - масса вещества в смеси,      - масса всей смеси

   Во многих задачах удобно представлять величину, выраженную в процентах другой величины, в виде дробного выражения.

Из истории процентов:

   Слово «процент»  происходит от латинского procentum, что буквально означает «на сотню». Возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке. Однако уже в «Дигестах Юстиниана» (первая дошедшая до нас кодификация римского права), датируемых V веком, мы находим вполне современное употребление процентов:

 «Фиск (императорская казна) не уплачивает проценты по заключенным им договорам, но сам получает проценты: например, от съемщиков публичных уборных, если эти съемщики слишком поздно вносят деньги; также при просрочке уплаты налогов. Когда же фиск является преемником частного лица, то обычно он уплачивает проценты.

   Если должники, платившие проценты в размере, меньшем чем 6% в год, стали должниками фиска, то они обязаны уплачивать 6% годовых с того времени, как требование против них перешло к фиску.»

   По-видимому, понятие процента возникло в Европе вместе с ростовщичеством как предтеча десятичной системы счисления.

   Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается, вероятно, с конца XVIII века. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтяховского (первое издание 1795г.) и Т.Ф.Осиповского (первое издание 1802г.). В обоих учебниках имеется по несколько задач «на проценты по вкладу», но Е.Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф.Осиповский уже употребляет термин «процент».

   Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIXв.

   В настоящее время умение вычислять проценты является жизненной необходимостью, не зависящей от профессии.

Тренировочные задачи:

1. Из 750 учащихся школы 80% занимаются в различных кружках, из них 5% - в радиокружке.  Сколько учащихся занимается в радиокружке?

Ответ: 30

2. В городе N состоялись выборы в городскую думу, в которых приняли участие 75% избирателей. Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали голоса партии «зеленых». Сколько жителей города проголосовали за эту партию, если в городе всего 1 миллион избирателей?

Ответ:75 000

3. Длина дистанции трехдневной велогонки была 480 км. В первый день велогонщики проехали 25% пути, а во второй день 55% оставшегося пути. Сколько километров проехали велогонщики в третий день?

Ответ:162 км

4. Во время предвыборной компании социологический центр поднял цену социологических исследований на 300%. Но отсутствие спроса заставило вернуться к прежнему уровню цен. На сколько процентов была снижена цена?

Ответ: на 75%

5. Какое наименьшее число работников может быть в фирме, если известно, что мужчины составляют в нем строго меньше 50%, но строго больше 40%?

Ответ: 9

6. В одном автопарке 250 машин, из них 24% составляют самосвалы, во втором автопарке 150 машин, из них 8% - самосвалы. Какой процент общего числа машин в обоих автопарках составляют самосвалы?

 Ответ: 18%

7. За А, В и С собираются голосовать 15%, 20%, 25% избирателей соответственно, остальные колеблются. Сколько процентов колеблющихся должен привлечь А, чтобы не проиграть В и не проиграть С?

 Ответ: не менее 62,5%

8. Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги?                                                        

Ответ: на 20%

9. Имеется  240г 70%-ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6%-ный раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ный раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Ответ: 2560г

Задачи

(задачи* могут решаться с использованием электронного учебника):

1*. Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?

2*. Аквариум частично заполнен водой. За месяц 40% воды испарилось. При этом объем воздуха увеличился на 60%. Какую часть объёма аквариума занимала вода в конце месяца?

3*.Определите, сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить их 255 кг хлеба с влажностью 45%.

4*. В 2 литра 10-процентного раствора уксусной кислоты добавили 8л чистой воды. Определите процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.

5*. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после очистки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

6*. Имеется два куска сплавов равных масс, но с различным содержанием серебра. Если сплавить половину первого куска со вторым, то сплав будет содержать 40% серебра, а если сплавить первый кусок с половиной второго, то сплав будет содержать 50% серебра. Каково содержание серебра в каждом из кусков?

7*. Имеется лом стали двух сортов, причем первый сорт содержит 10% никеля, а второй – 30%. На сколько тонн стали больше нужно взять второго сорта, чем первого, чтобы получить 200т стали с содержанием никеля 25%?

8*. Два вида удобрений А и В отличаются весовым содержанием азота, калия и фосфора. В удобрении А азота содержится в 3 раза больше, а фосфора в 2 раза больше по весу, чем калия. В удобрении В соответственно азота в 5/3 раза больше, а фосфора в 1,5 раза меньше, чем калия. Можно ли за счет смешивания удобрений А и В приготовить удобрение, в котором азота в 2, а фосфора – в 3 раза больше, чем калия?

9*. Имеются три куска сплава меди с никелем в отношениях 2:1, 3:1 и 5:1 по массе. Из них сплавлен кусок массой 12 кг с отношением меди и никеля 4:1. Найдите массу каждого исходного куска, если масса первого была вдвое больше массы второго.

10*. Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 1:2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. В каком отношении (первый сплав ко второму) необходимо взять эти сплавы, чтобы получить сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27?

11*. В двух одинаковых сосудах объемом по 30л каждый, содержится всего 30л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12л новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если во втором сосуде оказалось на 2л спирта меньше, чем в первом?

12*. Плотность первого металла на 4г/куб.см больше плотности второго. Из 6кг первого металла и 4кг второго изготовили сплав. Деталь из этого сплава имеет массу 0,5кг. Если бы такая же по объему деталь была сделана только из второго металла, то её масса составила бы 0,8 от массы имеющейся детали. Найдите плотность первого металла.

Задачи с экономическим содержанием

Вступительное слово учителя:

 Задачи, которые будут рассмотрены сегодня, взяты из жизни. Наша цель – научиться анализировать реальные ситуации с помощью того математического аппарата, которым вы, ребята, владеете. Очень важно, чтобы вы не только получали ответ, но и могли его истолковать, соотнести с реальностью. Надеюсь, вам помогут знания, полученные на курсе экономики.

   Рассмотрим наиболее типичные ситуации в ценообразовании:

1. Если первоначальная цена некоторого товара составляла S денежных единиц, то после её повышения на р% она составит

S+S⋅р⋅0,01=S⋅(1+р⋅0,01),

                    аналогично, если первоначальная цена S понизилась на р%, то

                    она составит

S-S⋅р⋅0,01=S⋅(1-р⋅0,01)

2. В результате повышения первоначальной цены S на а% и

     последующего снижения цены на в% окончательная цена равна

S⋅(1+а⋅0,01)(1-в⋅0,01),

                   аналогично, если первоначальная цена S сначала понизилась на

                   а%, а потом  повысилась на в%, то окончательная цена равна

S⋅(1-a⋅0,01)(1+в⋅0,01)

   В финансовой практике для вычисления процентов чаще всего применяют именно такие формы записей. Из них сразу видно число процентов, на которое уменьшена или увеличена начальная сумма.

   В банковских учреждениях в зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

   Увеличение вклада по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов:

S⋅(1+р⋅0,01),

где  р% - годовая процентная ставка банка, тогда за n лет сумма вклада станет равной  S⋅(1+р⋅n⋅0,01).

  Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять проценты уже на новую, увеличенную сумму. Такой способ начисления процентов на проценты называют сложными процентами, а операцию присоединения начисленных процентов к основному вкладу называют капитализацией процентов. Для вычисления таких сумм используют формулу

Задача.

   Какой процент ежегодного дохода (с капитализацией) давал банк, если, положив на счет 13000 руб., вкладчик через 2 года получил 15 730 руб.?

Решение:

 Сумма, полученная через 2 года, рассчитана по схеме S⋅(1+a⋅0,01)(1+а⋅0,01)= - формула сложных процентов.

15 730=13 000⋅(1+a⋅0,01)(1+а⋅0,01)

1+а⋅0,01=1,1  или  1+а⋅0,01=-1,1

а=10 или а=-210

Ответ: банк давал 10% годового дохода

Дополнительные вопросы:

1)  Почему не подходит корень а=-210?

(Сумма вклада увеличивается, поэтому процент изменения не может быть отрицательным)

2) За счет чего банк имеет возможность выплачивать вознаграждение вкладчику?

(Полученные от вкладчика деньги банк использует для выдачи кредитов организациям и частным лицам под проценты, банк при этом сам получает прибыль и делится частью этой прибыли с вкладчиком)

3)  Если бы а=210, то мы тоже отбросили бы этот корень?

(Да, так как это означало бы, что банк выплачивает 210% годовых. Такой процент нереален. Ни один банк не будет давать вкладчику  в качестве процентов сумму, вдвое превышающую сам вклад.)

4)  Кроме банка, какие предприятия или частные лица занимаются подобной финансово-кредитной деятельностью?

(ломбард  выдает деньги в залог сданных вещей, выкупать которые приходится за большую цену.

Ростовщик – человек, дающий деньги «в рост», т.е. в долг с обязательством выплаты процентов.)

Задача.

   Некоторая сумма денег была помещена в банк на два разных депозита: один с доходом 6% в год, а другой – 5% в год. Общий годовой доход составил 51 руб. Если внесенные вклады поменять местами, то годовой доход составит 48 руб. Какая сумма внесена в банк?

Решение:

Пусть на депозит с доходом 6% положили х руб., а с доходом 5% - у руб. Составим таблицу:

Составим систему из уравнений 0,06х+0,05у=51 и 0,05х+0,06у=48

Упростив и сложив уравнения системы, получим: 11х+11у=9900, т.е. х+у=900, а это и есть общая сумма вклада.

Ответ: 900 руб.

Задача.

   В банк внесен вклад в размере 500 рублей. Выясните, через сколько лет вклад удвоится, если банк выплачивает 8% годовых.

Решение:

   Через год сумма вклада увеличится на 8% и составит 108% от первоначальной. Поэтому, чтобы найти новую сумму, нужно 500 рублей умножить на 1,08. Через два года новая сумма увеличится в 1,08 раза и т.д. Последовательным умножением на 1,08 найдем с помощью калькулятора, что через 9 лет величина вклада удвоится. Таким образом, можно не использовать формулу сложных процентов.

Ответ: через 9 лет

Тренировочные задачи.

1.Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 85 руб. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?                                      

 Ответ: на 20%

2. Цены на промышленные и продовольственные товары снизились на 25%. На сколько процентов повысилась реальная заработная плата?

     Ответ:100/3%

3. Цену товара сначала увеличили на 20%, затем новую цену снизили на    20%. Как в итоге изменилась цена товара по отношению к    первоначальной?

    Ответ: уменьшилась на 4%

4. За первый год цена книги выросла на 15%, а за второй год ещё на 20%.     На сколько процентов выросла цена книги за два года?

     Ответ: на 38%

5. Стоимость товара сначала снизили на 12%, а затем новую стоимость    снизили ещё на 5%. Сколько процентов от первоначальной стоимости    составляет окончательная стоимость этого товара после двух     последовательных снижений и на сколько процентов в общем снижена  была стоимость товара?

Ответ:83,6%, на 16,4%

6. За пересылку денег на почте с отправителя взимают 2% от переводимой суммы. Какую наибольшую сумму денег можно перевести, имея на руках ровно 100 рублей?

     Ответ:98руб. 3коп.

7. Брак на предприятии составляет 5%. После ряда принятых технико-экономических и организационных мер брак снизился до 1%. На сколько процентов снизился брак?

Ответ: на 80%

Задачи.

1. Две шкурки общей стоимостью 2250 руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%?

Ответ: 900 и 1350 руб.

2. Рабочий день уменьшился  с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%?

Ответ: на 20%

3. Антикварный магазин, купив две старинные вазы на общую сумму 360 руб., продал их, получив 25% прибыли. За сколько была продана каждая ваза, если наценка на первую вазу была 50%, а на вторую – 12,5%?

Ответ:180 руб.,270 руб.

4.Сколько процентов долга осталось после того, как должник первые три месяца выплачивал по 10% от остатка долга ежемесячно?

Ответ: 72,9%

5. В осенне-зимний период цена на свежие фрукты возрастала трижды: на 10%, на 20% и на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?  

 Ответ: на 65%

6.Владелец магазина купил товар по себестоимости 51, 2 руб. за единицу товара. На пути к прилавку цена поднималась трижды на один и тот же процент. Товар продавался плохо и коммерсант распорядился трижды сделать скидку на тот же самый процент. В итоге цена оказалась равной 21,6 руб. Найти процент изменения цены.        

    Ответ: на 50%

7. Получив премию, сотрудник фирмы решил положить её на счет в банк. Он может открыть счет с годовым доходом 8%. Если бы банк выплачивал 11% годовых, то для получения такого же дохода потребовалось бы на 900 рублей меньше. Определите, сколько рублей составила премия.                  

     Ответ:3300 руб.

Задачи с целочисленными неизвестными

   Решить задачу с целочисленными неизвестными – значит найти все целые значения неизвестных, удовлетворяющие условию задачи, или доказать их отсутствие.

   Часто при решении уравнений или неравенств с одной переменной ставится задача найти только целые решения. Обычно при решении применяется один из следующих методов:

• нужно решить уравнение (или неравенство) полностью, и затем из полученного множества решений нужно выбрать все целые числа;
• нужно найти целые решения подбором, и затем доказать отсутствие других целых решений;
• нужно составить уравнения и/или неравенства, оценить возможные значения неизвестных, ограничить их количество, а затем непосредственной проверкой отбросить те из них, что не удовлетворяют условию задачи.

Задачи.

1*. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7. Если затем взять сумму квадратов цифр этого числа и вычесть из неё произведение тех же цифр, то получится первоначальное число. Найдите это число.

2*. Определите год рождения одного из основоположников современной науки, если известно, что сумма цифр его года рождения равна 21, а если к году рождения прибавить 5355, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

3*. В зале расставлены стулья в 13 рядов, причем на последний ряд не хватило несколько стульев. Потом их переставили в 27 рядов, при этом в каждом ряду поставили на 7 стульев меньше, чем при первоначальной расстановке, и на последний ряд не хватило 3 стула. Сколько всего было стульев?

4*. За пять лет со дня основания отдела число научных сотрудников увеличилось в 7 раз, а число лаборантов – в 10 раз, причем общее число работников отдела осталось меньше 45. Ещё через 5 лет число научных сотрудников увеличилось в 2 раза, а число лаборантов сократилось в 2 раза и общее число работников стало больше 42. Сколько научных сотрудников и лаборантов было при основании отдела, если научных сотрудников было меньше, чем лаборантов?

5. Класс, состоящий из 30 школьников, получил за контрольную работу оценки 2,3,4,5. Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делилось на 10, а число пятерок было четным. Определить, сколько каких оценок получили школьники?

6. Если двузначное число умножить на сумму его цифр, то получится 405. Если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486. Найдите это число.

7*. Группу школьников нужно рассадить в столовой. За стол можно усадить три человека. Если сажать за стол по две девочки и мальчика, то окажется три стола, где сидят одни мальчики, а если сажать за стол по два мальчика и девочку, то будет два стола с одними девочками. Если же рассадить девочек и мальчиков отдельно, то группу можно посадить за восемь столов. Сколько девочек в группе?

8*. Сумма цифр данного двузначного числа равна 14. если к этому числу прибавить 46, то получится число, произведение цифр которого равно 6. Найдите данное число.

9*. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике, но менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?

10. Найти двузначное число (или сумму чисел, если их несколько), которое при перестановке цифр уменьшается на 28,125%.

Методические рекомендации

                                                                 Хороший учитель обязан понимать, что

                                                                никакую задачу нельзя исчерпать до

                                                                конца. Этот взгляд он должен прививать

                                                                и своим ученикам.

                                                                                                               Д.Пойа

   Решение текстовых задач – деятельность, сложная для обучающихся, это безусловно знает каждый опытный учитель. Сложность ее определяется прежде всего комплексным характером работы:

• нужно ввести переменные и суметь перевести условие задачи с реального на математический язык;
• решить получившееся уравнение (неравенство) или их систему, что требует определенных технических умений;
• соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения ещё каких-то величин.

   Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто труднодостижимая обучающимися цель.

   Основная причина допускаемых ошибок зачастую кроется в неправильной организации первичного восприятия задачи и её анализа без должного уяснения жизненной ситуации, отраженной в задаче, и без  наглядного представления  её условия. Каждый ученик должен уметь не только кратко записать условие задачи, но и проиллюстрировать его с помощью рисунка, схемы или чертежа.

   В методике математики приняты два способа разбора текстовых задач: от вопроса к данным и от данных к вопросу. Ни один из способов не считается универсальным.

   Разбор задачи должен быть таким, чтобы учащиеся испытывали удовлетворение от самостоятельного преодоления трудностей, учились рассуждать, овладевали умением вести поиск решения задачи.

   Итогом разбора текста задачи должен стать выбор метода её решения. Основная цель работы учителя на этом этапе состоит в том, чтобы воспитать у обучающихся «чувство метода», умение выбрать наиболее рациональный путь решения.

   Алгебраический метод обладает рядом преимуществ по сравнению с арифметическим: его оформление более кратко, а рассуждения проще. По мнению некоторых методистов, прогрессивность этого метода как раз и состоит в том, что он позволяет «экономить мышление».

   Но кроме этих очевидных достоинств алгебраический метод обладает существенным недостатком. Например, при решении задач алгебраическим методом не происходит интенсивной отработки таких важных навыков, как расчленение задач на подзадачи, их частное решение внутри общей структуры, проведение поэтапных логически строгих рассуждений, которые присущи арифметическому методу. А именно эти навыки, являясь не только общеучебными, в значительной степени определяют уровень общей культуры человека.

   Арифметический метод (метатезис; замена неизвестного; метод допущения; метод пропорционального деления; метод анализа и др.) свободен от указанных недостатков, но он требует больших временных затрат. Попытка экономии времени, необоснованный отказ от применения арифметического метода может привести к тяжелым последствиям – текстовые задачи теряют свою основную функцию – развитие  способности анализировать, рассуждать, обосновывать. Без арифметического фундамента обучение математике оказывается неэффективным. Страдает логическая культура обучающихся, оказываются ущербными навыки владения математическим аппаратом, в том числе и алгебраическим.

   Арифметические способы решения задач развивают логическое мышление обучающихся и в то же время этими способами школьники овладевают с большими затруднениями, поэтому при решении задач учителя чаще отдают предпочтение алгебраическому способу решения, тем более что в этом случае возможно алгоритмизировать процесс решения задачи.  

  Таким образом, есть необходимость в поиске таких методических приемов, которые позволят обучать обоим способам решения в их рациональном сочетании.

   Поскольку школьники в самостоятельной деятельности в процессе решения задачи зачастую подражают учителю, то, демонстрируя эталоны решения задач, учитель должен не только объяснить собственные действия, но и показать способы их выбора. Умение и привычка формулировать вопросы служат не только разворачиванию способа решения задачи, но и выбору самого способа.

   Рассмотрим задачу, процесс решения которой сопроводим вопросами.

   Вопросы, вне зависимости от выбранного метода, помогают обучающимся представить решение задачи как целостную систему последовательных, логически взаимосвязанных шагов. Необходимость проводить обоснованные рассуждения развивает способность четко и лаконично выражать свои мысли, аргументировать свои действия, раскрепощает школьников, постепенно снимая проблему «математического косноязычия».

Задача.

   Рабочий получил заказ на изготовление определенного количества одинаковых деталей. Если бы он работал 6 часов, то изготовил бы на 8 деталей меньше, чем необходимо. Если бы он работал 8 часов, то изготовил бы на 2 детали больше, чем необходимо. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Решение:

   Эту задачу можно решить как алгебраическим, так и арифметическим способом.

Арифметический способ решения:

1. На сколько деталей больше изготовил бы рабочий, работая 8ч, а не 6ч?

8+2=10 (деталей)

2. За какое количество часов рабочий изготовил бы эти 10 деталей?

8 - 6= 2 (часа)

3. Сколько деталей рабочий изготовил бы за 1 час?

10:2=5 (деталей)

4. Сколько деталей рабочий изготовил бы за 6 часов?

     6⋅5=30 (деталей)

5. Сколько деталей рабочий должен был изготовить по заказу?

30+8=38 (деталей)

Ответ:38 деталей

Алгебраический  способ решения:

1. Пусть за 1 час рабочий изготавливает х деталей. Сколько деталей рабочий изготовил бы за 6 часов?                                                              6х (дет.)

2. Сколько деталей необходимо изготовить по заказу?            6х+8   (дет.)

3. Сколько деталей он изготовил бы за 8ч?                                8х (дет.)

4. Сколько деталей необходимо изготовить по заказу?             8х – 2 (дет.)

5.Сопоставим ответы на 4 и 2 вопросы. Составим и решим уравнение:

 8х – 2 = 6х + 8,   х = 5

6. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?            6⋅5 + 8 = 38 (дет.)

Ответ: 38 деталей

   Учитель должен демонстрировать обучающимся сложную и противоречивую картину поиска решения, показывать не только пути, которые приводят к правильному решению, но и тупиковые ходы мысли, анализируя и оценивая их.

   Благодаря такой работе у ученика снимается психологический барьер перед поиском решения задачи. Зная, что задача может быть решена разными способами, он смелее будет браться за её решение. Постепенно, решая задачу за задачей, он приобретет некоторый опыт, это позволит ему развить математическое чутье.

   Подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал, тогда накопившиеся знания не будут лежать мертвым грузом, ведь их постоянно нужно использовать.

   При такой тщательной работе над задачей формируется логическое мышление, развивается интуиция, систематизируются знания, расширяется общеобразовательный кругозор, накапливается полезный опыт.    Обучающиеся овладевают основными методами решения задач, составляющими важную часть многих эвристических алгоритмов, учатся рационально планировать поиск решения задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности – наблюдение, сравнение, анализ, синтез, обобщение и т.д. Всё перечисленное создает условия для формирования навыков исследовательской учебной деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала личности.

   Систематическая работа по анализу проведенного решения позволит привить первичные навыки обобщения, подведет к восприятию частного случая как проявления общей закономерности.

   На одну полностью решенную задачу надо разбирать две-три задачи на уровне лишь обсуждения пути решения – это значительно увеличивает количество разобранных задач, повышает активность школьников и уровень их знаний, появляется устойчивый интерес к математике.

   Важно также, чтобы задача выступала не только в качестве иллюстрации теории, как это часто происходит на уроках, а рассматривалась бы и как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской и эвристической деятельности школьников. Например, следующая задача без особого труда решается алгебраически, но существует её очень красивое арифметическое решение, которое можно показать ученикам.

Задача.

   Если велосипедист будет двигаться со скоростью 10 км/ч, то опоздает на 1ч к назначенному сроку. Если же он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на 1ч раньше. С какой скоростью он должен ехать, чтобы прибыть вовремя, и чему равно расстояние между городами?

Арифметическое решение:

   Предположим, что не один, а двое велосипедистов со скоростями 10км/ч и 15км/ч выезжают из начального пункта.

   Тогда поставим вопрос: на сколько часов второй велосипедист должен выехать позже первого, чтобы приехать в пункт назначения одновременно с ним?

   Очевидно, что второй велосипедист должен дать первому «фору» - 2ч, т.к. первый велосипедист опаздывает на 1 ч, а второй приезжает на 1ч раньше срока. За эти 2ч первый велосипедист проедет 20 км, после чего вслед за ним отправится в путь второй. Он будет непрерывно догонять первого на протяжении всего пути и нагонит спустя 20:5=4 часа. Теперь легко сообразить, что расстояние между городами равно 15⋅4=60км и велосипедист должен ехать со скоростью 60:5=12 (км/ч), чтобы успеть вовремя.

  Ответ: 60 км, 12 км/ч

   Применение алгебраического метода опирается на обозначение буквой какой-либо из неизвестных величин. Часто бывает удобно обозначить величину, которую требуется найти: тем самым сразу удается получить ответ на вопрос задачи или на один из вопросов задачи.

   Можно вводить столько переменных, сколько неизвестных содержится в условии задачи; при этом в результате перевода задачи на математический язык будет получена система уравнений (или неравенств), с которой и нужно будет потом работать. Может возникнуть ситуация, когда число уравнений меньше числа переменных. Например, при решении следующей задачи:

Задача.

   Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4часа; первая, третья и четвертая – за 3 часа. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

Решение:

   Пусть а, в, с, d – производительности соответственно первой, второй, третьей и четвертой бригад. Условие задачи можно записать на математическом языке с помощью трех уравнений:

                                                           в + с + d = ;

                                                           а + с + d = ;

                                                               а + в  = .

   Применим способ алгебраического сложения, получим 2а+2в+2с+2d = , т.е. а+в+с+d = . Значит, бригадам потребуется   часа на разгрузку вагона.

Ответ:  часа, т.е. 2часа 40 минут

   Использование геометрической интерпретации при решении текстовых задач  также дает возможность одновременного восприятия задачи как единого целого со всеми её данными и взаимоотношениями между ними, обеспечивает качественный анализ задачи, осознанный поиск её решения, обоснованный выбор действий, нахождение нескольких способов решения и выбор наиболее рационального из них.

   Например, метод графического моделирования (как частный случай геометрического метода) можно показать школьникам на примере решения следующей задачи:

Задача.

    Расстояние между двумя турбазами 12 км. Турист вышел из своей базы в 9ч 25мин и прибыл на другую турбазу в 13ч 15 мин. На следующий день он отправился в обратный путь в 11ч и пришел на свою базу в 14ч 40 мин. На каком расстоянии от его базы находится пункт, который турист проходил в одно и то же время как на прямом, так и на обратном пути?

Решение:

Выполним графическую модель задачи. Из подобия треугольников AOD и BOC найдем OH.

Ответ: 8,4 км

 Графическая модель задачи может быть использована для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи, помогает установить условия, при которых задача имеет или не имеет решения, помогает увидеть, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных, дает возможность учащимся сделать обобщение теоретических знаний.

   Обсуждение процесса поиска решения и, в частности, прогнозирование решения при активном участии группы – мощное средство развития навыков логического мышления. Время, затраченное на такую работу, не является зря потерянным, а приводит к повышению уровня знаний, развитию коммуникативных способностей.

   При индивидуальном решении задач учащийся молча, «про себя» осуществляет прогноз и воплощает его в решении, как правило, даже не замечая скрытую работу мысли.

   Проблема поиска решений задач долгие годы волнует многих ученых, методистов, учителей. Ею интересовались такие известные математики, как Пуанкаре и Адамар. Венгерский математик Д.Пойа написал ряд книг по этому вопросу, в журнале «Математика в школе» опубликован ряд статей по этой проблеме.

   Но сказать, что проблема решена полностью, нельзя. Поэтому формирование навыков поиска решений задач должно рассматриваться как один из основных аспектов учебно-воспитательного процесса. Учитель может посоветовать школьникам научно-популярную литературу, в которой есть советы по поиску решений задач.

   Рассматривая обучение решению задач как формирование у обучающихся определенного вида умственной деятельности, важно отметить, что главным в этом обучении должно быть составление основы решения, на базе которой школьники могли бы самостоятельно определить исполнительскую часть.   Специальный акцент желательно сделать на первом этапе, т.е. на составлении математической модели.

   Составление математической модели состоит в переводе происходящих в действительности процессов на язык математики. Выявление этой модели демонстрирует школьникам применение математики как инструмента для облегчения анализа реальных ситуаций.

   Составление математической модели – процесс творческий. Обучать умению выполнять творческие процессы не умеет никто. Вместе с тем найдены достаточно простые, доступные всем методические приемы, позволяющие алгоритмизировать процесс решения большей части тех текстовых задач, которые предлагаются школьникам.

Суть алгоритма:

1. Школьникам надо дать возможность понять ситуацию, описываемую в задаче, осознать и запомнить её содержание. Для этого следует обязательно поработать с текстом задачи, т.е.

• прочитать вслух формулировку,
• выяснить понимание терминов и оборотов речи,
• при необходимости пересказать условие,
• придумать способ представления условия в виде рисунка, схемы, графика  или другой модели.

2. Важно добиться, чтобы обучающиеся поняли ход рассуждения. Для этого надо:

• в качестве опоры для рассуждений использовать рисунок, схематическую или графическую иллюстрацию условия, реальные действия с величинами,
• прибегнуть при необходимости к переформулировке условия задачи,
• научить ставить вопросы и давать развернутые ответы,
• при рассмотрении нового вида задач обязательно записать полное решение хотя бы одной из них, чтобы школьники могли воспользоваться им в качестве образца.

3. Овладев приемом, обучающийся может выбрать любой удобный для

     себя способ решения.

   Если в классе в ходе рассуждений обучающиеся предложили несколько способов решения одной и той же задачи, то это надо поощрять, ведь важно активное участие каждого школьника в процессе решения.

      Увеличение интеллектуальной нагрузки на обучающихся, желающих посещать курс по выбору, заставило задуматься над тем, как поддержать у школьников интерес к математике, их активность на протяжении всего цикла  занятий.

   Создать обстановку, стимулирующую интерес, позволяет использование компьютеров. Возникает возможность индивидуализировать обучение на отдельных этапах занятий, в частности, на занятиях практикума по решению задач. Ученик может сам выбрать задачу из перечня, при необходимости может вернуться к повторению теории, воспользоваться  подсказками, замедлить темп обучения.

   ПК становится посредником между учителем и учеником.

   Целесообразно применять компьютер в следующих случаях:

-    в тренировочном режиме для отработки умений и навыков решения задач, когда  возможна работа в группе, где более слабый школьник видит как работать с программой;

-    в режиме самообучения «сильных» школьников;

- при индивидуальной работе со слабыми школьниками, у которых применение компьютеров повышает интерес к самому процессу обучения;

-   для контроля качества усвоения материала.

   Особенности применения компьютерной программы:

-каждый школьник выполняет индивидуальное задание на этапе контроля;

-отсчет времени приучает размышлять более оптимально,  активно искать способы быстрого выполнения заданий;

-работа оценивается сразу же по её завершению;

-оценку выставляет компьютер, что уравнивает школьников, вносит элемент большей объективности.

   Во время контроля знаний школьник видит, что компьютером ведется его  собственная ведомость, в которой фиксируется количество выполненных заданий, затраченное время, оценка (по окончании работы).

   Конечно, никакая машина не заменит труд учителя, но сделать этот труд более эффективным, интересным с помощью компьютера можно.

Задачи на процессы (движение, работа, наполнение)

   Задачи на движение обычно содержат такие параметры, как пройденный путь S, скорость v, время движения t.

  И в то же время  к задачам на движение относятся также задачи, в которых кто-либо выполняет какую-либо работу, или задачи, связанные с наполнением или опорожнением резервуаров. В задачах такого типа вся работа или полный объем резервуара играет роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения.

     Многие задачи, публикуемые в учебниках, задачниках, методических пособиях, в значительной степени дублируют друг друга, отличаясь лишь числовыми значениями, физическим содержанием, обозначениями или другими не очень существенными деталями, тогда как их математическая сущность одна и та же.

   Крупнейший французский математик Анри Пуанкаре (1854 – 1912) утверждал, что «математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем».

    Приведем в качестве примера три, казалось бы, различные задачи, математическая сущность которых совершенно одинакова:

Задача 1.

Мастер может выполнить некоторую работу за 20 дней, а ученик – за 30 дней. За сколько дней они выполнят эту работу вместе?

Задача 2.

Кран с холодной водой может наполнить пустой бак за 20 мин., а кран с горячей водой – за 30 мин. За сколько времени наполнится пустой бак, если открыть оба крана одновременно?

Задача 3.

Из пункта А в пункт В отправляется поезд, который проходит весь путь за 20 часов. Одновременно из пункта В в пункт А отправляется другой поезд, который проходит этот путь за 30 часов. Через сколько часов поезда встретятся?

Решение:

1)          2)

Ответ: через 12 ч

   Задачи с совершенно непохожими фабулами имеют одинаковое решение, одинаковые математические модели. И поэтому надо учить, обращая внимание не на сюжет задачи, а на особенности конструирования её математической модели.

   Нужно показать школьникам, что можно выявить одинаковое математическое содержание различных по фабуле задач:

   Скорость движения v, время движения t, пройденное расстояние S связаны формулами:

S = v⋅t,    v = S/t,         t = S/v

   Цена товара Ц, количество товара К, стоимость С образуют аналогичные формулы:

С = К⋅Ц,   Ц = С/К,       К = С/Ц

   Производительность труда N, время работы t, объем работы А связаны друг с другом:

A = t⋅N,   N = A/t,      t = A/N

Плотность p, масса m, объем вещества V вычисляются по формулам:

m=p⋅V,    p=m/V,   V=m/p

   Легко заметить, что во всех рассмотренных случаях задачные ситуации описываются с помощью всего лишь двух математических формул:y=k⋅x и . Это простейшие математические модели прямой и обратной пропорциональности.

   Во всех задачах на встречное движение, на движение в разных направлениях, на наполнение, на работу школьник должен прочитать всего лишь частные случаи ситуаций совместного действия, одинаковую математическую сущность.

   В задачах на движение полезно составить иллюстративный чертеж. Его нужно сделать таким, чтобы на нем была видна динамика движения, со всеми встречами, остановками и поворотами. Хорошо составленный чертеж позволяет понять содержание задачи, не заглядывая в её текст.

   При решении задач на движение можно познакомить обучающихся с геометрическим методом решения задач с помощью двумерных диаграмм.

   Двумерная диаграмма – это площадь одного или нескольких прямоугольников (треугольников, параллелограммов), стороны и высоты которых изображают численные значения рассматриваемых величин, а площадь изображает их произведение. Она позволяет наглядно представить процесс, описанный в задаче, и служит опорой действий, совершаемых учеником.

Задача

   Пройдя половину пути, теплоход увеличит скорость в 2 раза, благодаря чему прибыл в конечный пункт  на один час раньше срока. Сколько времени плыл теплоход?

Решение:

  Скорость                                       2v

 v                                                                            

                                                                                                          время

О                               t/2                t-1                     t

   Введем координатную плоскость: по одной оси отложим время, по другой  - скорость, тогда получившиеся прямоугольники изображают путь. Исключая один из прямоугольников, можно составить уравнение для решения задачи.

Ответ: 3ч

 Геометрическая интерпретация задачи позволяет не только проиллюстрировать её условие, но и показать способ решения. Например, может быть введена координатная плоскость, по одной из осей которой откладывается время, по другой – путь, пройденный телом, выполненная работа и т.д. Тогда очевидно, что движение изобразится некоторой линией в этой плоскости (траекторией). Рассмотрим пример:

Задача.

   Из пункта М в пункт N вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта М выехал велосипедист, а ещё через 30 минут – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое преодолели одинаковую часть пути. На сколько минут раньше пешехода в пункт N прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт N на 1 час позже мотоциклиста?

Решение:

   Рассмотрим координатную плоскость, по горизонтальной оси которой отложим время, а по вертикальной оси – пройденный путь. Пусть отрезок ОЕ изображает движение пешехода, отрезок АД – велосипедиста, ВС – мотоциклиста. Так как в некоторый момент времени они находятся в одной точке, то все три отрезка пересекаются.

S                      С       Д         Е

О      А    В                                                 t

   В соответствии с условием задачи ОА = 2, АВ = 0,5 и СЕ = 1.

Пусть ЕД = х. Из подобия треугольников получим , откуда  или 48 минут

Ответ: 48 минут

При обучении решению задач на процессы можно выделить две трудности:

1. Школьнику трудно находить часть работы (пути, объема, количества), принятого за единицу;
2. Многие школьники не понимают, почему можно обозначать единицей всю  работу (весь путь, весь объем, все количество).

   Первая трудность снимается систематическим, многократным включением простых тренировочных задач, в которых требуется умение записать часть работы (объема, пути, количества,..), выраженной единицей. Эти задачи не обязательно решать полностью, можно часть из них только разобрать.

   Тренировочные задачи – это задачи особого рода. Они не требуют инициативы, но дают прочные навыки. А выработка навыков – одна из многих целей преподавания математики.

   Осознание идеи обозначения единицей всей работы (объема, пути, количества) придет, благодаря использованию следующего методического приема:

   Предложить обучающимся решить простую задачу арифметическим способом (например, по действиям):

Задача.

   Библиотеке нужно переплести 1800 книг. Три мастерские предложили свои услуги на следующих условиях: первая берется выполнить весь заказ за 20 дней, вторая – за 30 дней, а третья – за 60 дней. Чтобы выполнить работу быстро, руководство библиотеки решило передать заказ сразу всем мастерским. За сколько дней закончат работу мастерские, начав выполнять заказ одновременно?

Решение:

1. 1800:20=90 книг
2. 1800:30=60 книг
3. 1800:60=30 книг
4. 90+60+30=180 книг
5. 1800:180=10 дней потребуется на выполнение заказа

Ответ: 10 дней

   Затем можно попросить обучающихся решить эту же задачу, изменив только одно условие (объем заказа) - взять, например, 2400 книг.

Ответ получится тот же: 10 дней.

   Вывод: срок выполнения заказа не изменится, если заменить величину заказа, не меняя остальные величины. Отсюда легко прийти к обозначению величины всего заказа  за единицу, заменяя вопрос о количестве книг, переплетаемых за день, вопросом: Какую часть заказа выполнит мастерская за один день?

Аналогичные задачи:

   Задача.

   Первый рабочий может выполнить ремонт квартиры за 8 дней, второй – за 12 дней. Были наняты оба рабочих, к выполнению ремонта они приступили одновременно и проработали вместе несколько дней. Из-за болезни второго рабочего первому пришлось заканчивать работу одному, на это он затратил три дня. Сколько всего дней работал первый рабочий?

Решение:

Всю работу примем за 1.

1. 1:8=1/8 (работы) выполнит за день первый рабочий;
2. 1:12=1/12 (работы) выполнит за день второй рабочий;
3. 1/8 ⋅ 3 =3/8 (работы) выполнит за 3 дня первый  рабочий;
4. 1 – 3/8 = 5/8 (работы) выполнят оба рабочих, работая вместе;
5. 1/8 + 1/12 = 5/24 (работы) выполнят за день оба рабочих;
6. 5/8 : 5/24 = 3 (дня) работали вместе;
7. 3+3 = 6 (дней) работал первый рабочий.

Ответ: 6 дней

   Этот же способ можно применить при решении задач на движение или наполнение резервуаров, например:

Задача.

   Пассажирский поезд проходит расстояние между городами за 10ч, а товарный – за 15ч. Оба поезда вышли одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

Задачи на проценты

   Умение решать прикладные задачи – значит уметь применять математику на практике.

  Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» - хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях.

   С математической точки зрения раздел процентов в школьной математике является простейшим. Однако в текстовых задачах раздел задач на проценты выделяется богатым разнообразием.

   Научить процентам – это в первую очередь быстро и без колебаний переводить ту или иную словесную формулировку с участием процентов в соответствующую математическую формулировку. В таком умении современный человек независимо от рода деятельности нуждается непрерывно – достаточно одних банковских операций.

 Совершенно справедливо, что понятие процента вводится уже в 5-ом классе. Но неприемлимо то, что жизненно важные понятия и умения операций с процентами не закрепляются далее. В результате это приводит к нарушению деловых коммуникаций социума.

   Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором и мультимедийными ресурсами, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты с применением различных методов решения.

   Например, следующая задача может быть решена и алгебраическим,  и геометрическим способами.

Задача.

    В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык и 80% - английский язык. Сколько процентов жителей этого города знают оба языка?

Алгебраическое решение:

   Исходим из того, что каждый житель города знает хотя бы один из двух языков – английский или французский. Пусть х жителей знают только английский язык, у – только французский язык, z – оба языка. Составив систему уравнений можно прийти к ответу.

Ответ: 50%

Геометрическое решение:

 Разместим всех жителей города на отрезке 100% так, что знающие английский стоят на отрезке сплошняком слева, а знающие французский – сплошняком справа. Тогда общая часть этих множеств есть отрезок, протяженностью в 50%.

   На задачи, в которых говорится о ценообразовании, в школьном курсе стали обращать внимание совсем недавно, но методические подходы к их решению уже хорошо отработаны. Ведь  с ценами на товары и услуги люди встречаются каждый день, и именно школьная математика в ответе за то, чтобы эти встречи не оборачивались для людей финансовыми потерями.

Использование задач с экономическим содержанием создает условия для:

• разъяснения обучающимся сущности экономических терминов, часто употребляемых в задачах;
• формирования некоторых представлений об экономике страны;
• ознакомления с применением некоторых математических методов в экономике.

   При решении задач с экономическим содержанием  школьники встречаются со специальными  терминами. Как правило, использование этих терминов опирается на интуитивные представления школьников, которые не всегда верны. Поэтому учителю следует разъяснить сущность этих терминов. Хотя речь идет лишь о создании верных представлений, к сожалению, учитель математики не всегда готов к такой работе. В приложении приводятся трактовки некоторых экономических понятий, встречающихся в задачах, решаемых в рамках преподавания данного курса или задачах подобного содержания, встречающихся в различных учебниках, сборниках, пособиях.

    Перед решением задач экономического содержания полезно проанализировать часто встречающиеся объявления об изменении цен, можно выразить их в виде схем.

   Использование калькулятора позволяет решать задачи на простые и сложные проценты, даже не вводя соответствующие формулы.

   Можно показать школьникам старинный способ решения задач на сплавы и смеси. Задачам такого типа много внимания уделялось в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф.Магницкого.

Задача.

   При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ым раствором  кислоты получили 140г 30%-ного  раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение:

   Друг под другом пишутся содержания кислот в имеющихся растворах, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

                                                         5

                                        30

                                                         40

   Рассмотрим пары 30 и 5, 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки.     Получится такая схема:                             5              10

                                                   30

                                                                     40             25

   Из неё следует заключение, что 5%-ного раствора надо взять 10 частей, а 40%-ного  - 25 частей, т.е. для получения 140 г 30%-ного раствора следует взять 40г 5%-ного раствора и 100г 40% -ного раствора.

Ответ:40г и 100г

   Задачи, решение которых основано на интеграции методов, обладают большим образовательным, развивающим и воспитательным потенциалом. Они позволяют включить школьников в активную познавательную деятельность, формируют понимание единства математической науки.

   Благодаря интеграции, математические знания предстают как динамичная система, способная решать задачи из других наук и предметов.

   Например, следующая задача является хорошим примером для иллюстрации вышесказанного. Её решение носит комплексный характер: используется умение представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых, схема вычисления простых процентов, поиск решения ведётся в целых числах с ограниченным перебором вариантов.

Задача.

   Найти двузначное число (или сумму чисел, если их несколько), которое при перестановке цифр уменьшается на 28,125%.

Решение:

   Пусть задано число а=10х + у, при перестановке цифр получается в=10у + х. Поскольку число уменьшается на 28,125%, то в = а(1-0,01р) – формула простых процентов, т.е.10у + х = (10х + у)(1 – 0,01р), где р=28,125%

   Вычисления удобно вести в обыкновенных дробях, после преобразований получим: 23⋅(10х + у) = 32⋅(10у + х), откуда 297у = 198х, 3у = 2х, х = 1,5у

   Так как х – цифра десятков, у – цифра единиц, то они должны быть целыми положительными  числами.

   Равенство х=1,5у показывает, что у может быть только четным положительным числом.

   Выполним перебор:

Если у=2, то х=3, получим число 32

Если у=4, то х=6, получим число 64

Если у=6, то х=9, получим число 96

Таким образом, искомые двузначные числа: 32,64, 96 и их сумма 192

Ответ: 192

   В дидактических материалах для занятий число предлагаемых задач превышает возможности данного курса. Это сделано для того, чтобы учитель мог организовать индивидуальную работу с «сильными» обучающимися, которые имеют хорошие знания по изучаемому разделу математики и способны работать самостоятельно с более сложными задачами. Большой набор тренировочных задач позволяет успешно заниматься со «слабыми» школьниками, ликвидируя пробелы.

Глоссарий

   Источники: Большой экономический словарь. / Под ред. А.Н. Азрилияна. – М.: Фонд «Правовая культура», 1994

                         Рыночная экономика. Словарь. / Под ред. Г.Я.Кипермана. – М.: Республика, 1993

                         Моисеев А.В. Экономический словарь-справочник: учебное пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1985

   Аванс – денежная сумма или другая имущественная ценность, выдаваемая или перечисляемая предприятием в счет предстоящих платежей за выполнение работы, передачу имущества, оказанные услуги и т.п.

   Акции (от фр. аction – ценная бумага) – ценные бумаги, выпускаемые акционерным обществом и дающие право их владельцу на получение определенного дохода (дивидента) из прибылей акционерного общества.

   Аренда ( от лат. аrrendare – отдавать внаем) – основанное на договоре владение землей, другими природными ресурсами, предприятиями либо пользование иным имуществом.

   Арендная плата – плата за использование взятого в аренду имущества. Размер арендной платы, сроки и другие условия платежа предусматриваются договором между арендатором и арендодателем.

   Ассортимент – состав продукции по видам, сортам и маркам.

   Аукцион (от лат. аuctio – продажа с публичных торгов) – продажа товаров на условиях состязательности между покупателями. Победителем аукциона, получающим право приобретения товара, является покупатель, предложивший более высокую цену.

   Вклады – денежные средства, внесенные для хранения в банки или сбербанки на определенных условиях.

   Выручка – деньги, полученные от продажи чего-либо или в качестве прибыли, дохода.

   Грант – целевое льготное финансирование работ инновационного характера.

   Грузоподъемность – количество груза, которое может принять транспортное средство, сохраняя при этом способность к передвижению.

   Депозит (от лат. depositum - вещь, переданная на хранение) – денежные суммы, помещенные на хранение в банк от имени частного или юридического лица – клиента банка, которым за это начисляется банком определенный процент за использование этих средств в своей инвестиционной и кредитной деятельности.

   Дивидент – часть общей суммы чистой прибыли акционерного общества, распределяемая между акционерами.

   Дисконт, скидка – разница между ценами на один и тот же товар в период рекламных акций или из-за несоответствия его качеству, оговоренному в контракте.

   Заработная плата – выраженная в денежной форме часть национального дохода, которая распределяется по количеству и качеству труда, затраченного каждым работником, и поступает в их личное потребление; вознаграждение за труд.

   Инфляция (от лат. inflatio – вздутие) – обесценение бумажных денег вследствие выпуска их в обращение в размерах, превышающих потребности товарооборота, что сопровождается повышением общего уровня цен на товары и услуги.

   Квалификация – степень профессиональной подготовленности рабочих и служащих  к выполнению конкретного вида работ.

   Компенсация – возмещение, вознаграждение за что-либо.

   Коньюнктура – сложившаяся на рынке экономическая ситуация, которую характеризуют: соотношение между спросом и предложением, уровень цен, товарные запасы и иные экономические показатели.

   Кредит (от лат.credere –верить) – ссуда, заем, отношение между кредитором и заемщиком, при котором кредитор передает заемщику деньги или вещи, а заемщик обязуется вернуть  в определенный срок такое же количество денег или вещей. За пользование кредитами взимаются проценты.

   Налог – обязательный платеж, взимаемый государством с физических и юридических лиц.

   Номинал – стоимость, указанная на на ценных бумагах, бумажных деньгах, банкнотах, монетах.

   Оптовая продажа – продажа товаров или услуг партиями или большим количеством тем, кто приобретает их с целью перепродажи или профессионального использования.

   Подоходный налог – основной вид прямых налогов, взимаемый с доходов физических и юридических лиц.

   Поставка – передача товаров покупателю.

   Пошлины – вид налогов и сборов.

   Пеня (от лат.poena – наказание) – санкция за несвоевременное выполнение денежных обязательств.

   Премия – мера поощрения за особые достижения или заслуги в какой-либо области деятельности.

   Прибыль – важнейший показатель конечных результатов производственно-хозяйственной деятельности предприятия, основная цель предпринимательской деятельности.

   Производительность – производство изделий, услуг, полуфабрикатов и т.д. в единицу времени, одним работником, единицей оборудования.

   Рентабельность продукции – важный экономический показатель эффективности производства. Измеряется отношением прибыли от производства и реализации продукции к её полной себестоимости и выражается в процентах.

   Розничная торговля – купля и продажа товаров и услуг поштучно или в небольших количествах.

   Себестоимость продукции – сумма денежных затрат предприятия на производство и реализацию продукции. Снижение себестоимости без ущерба для качества – важное условие обеспечения конкурентоспособности продукции на рынке, источник получения дополнительной прибыли.

   Спрос – экономическая категория, присущая товарному хозяйству и проявляющаяся в сфере обмена, торговли. Выражает совокупную общественную потребность в товарах.

   Ссуда – передача денег или материальных ценностей одними участниками договора займа другим на условиях возврата и, как правило, с уплатой процента.

   Ставка процентная – количественная мера ссудного процента.

   Стоимость – выраженная в деньгах ценность чего-либо или величина затрат на что-либо.

   Тариф – система ставок платы за различные производственные и непроизводственные услуги; система ставок оплаты труда.

   Товар – материальное изделие, предлагаемое рынку с целью приобретения, использования или потребления.

   Товарная наценка – надбавка к цене товара при его реализации с баз и складов оптовых фирм, необходимая для покрытия их затрат и получения прибыли.

   Торговля, коммерция  - хозяйственная деятельность по обороту, купле и продаже товара.

   Услуга – работа, выполняемая на заказ и не приводящая к созданию самостоятельного продукта, товара.

   Цена – денежное выражение стоимости товара.

   Цена оптовая – цена на товар, продаваемый крупными партиями (оптом). Обычно цены на большие партии товара ниже, чем на мелкие,  и значительно ниже розничных цен.

Рефлексивная карта

 учени__   9___ класса ___________________________________________