Множество значений функций
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Множество значений функций.

                        г. Казань, МБОУ лицей №5.

: Козлова Галина Васильевна,

1

Задачи на нахождение множества значений функции вызывают немалые затруднения у учащихся. Такие задачи неизменно содержатся в заданиях  различных математических тестов и испытаний и, в частности, в заданиях ЕГЭ. Для успешного нахождения множества значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций особенно их области значений и характер монотонности, затем использовать один из следующих методов определения множества значений.

1. Графический метод.
2. Метод оценки.
3. Метод применения свойств непрерывной функции. Использование производной функции.
4. Метод привидения к уравнению относительно x с параметром y.
5. Метод непосредственных вычислений.

Графический метод

Построить график данной функции и с его помощью найти множество значений, которые принимает функции. Для решения следующих примеров, достаточно твердо знать свойства элементарных функций.

Пример. Найти множество значений функций  

Решение. Множество значений показательной функции  множество положительных действительных числе, то есть. Поэтому множество значений функции  находится в промежутке .

Ответ:

Пример.

Решение. Преобразуем  , тогда имеем:

Причем

При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5.

Ответ:

Пример.  .

Пример..

Пример..

Метод оценки.

Получив допустимые значения аргумента, оценить с помощью свойств неравенств соответствующие значения функции.

Пример. Найдите множество значений функции

Решение. Найти область определений данной функции

Тогда по свойству неравенств устанавливаем, что

 и

То есть .

Отсюда, поскольку  функция возрастающая, заключаем, что

Снова воспользуемся свойствами неравенств:

 и

Ответ:

Пример. Найти множество значений функции

Решение.

Функция непрерывна на всей числовой прямой, поэтому множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значениями, если таковые существуют. Преобразуем формулу, задающую функцию:

; так как  и , то найдется такое , что ; .

Тогда

Ответ:

Пример. .

Решение. Преобразуем выражение

, где

Ответ:

Метод применения свойств непрерывной функции.

Среди числовых значений, принимаемых на отрезке непрерывной функцией, всегда имеется как наибольшее значение M, так и наименьшее значение m. Множество значений функции заключено между числами m и M,

Пример. Найдите множество значений функции  на отрезке

Решение.  Данная функция непрерывна на :  - поэтому на отрезке   существуют такие точки, в которых  принимает свои наименьшие и наибольшие значения (на этом отрезке). Искомые точки должны быть критическими точками функции, либо концами отрезка. Определим критические точки с помощью производной.

Критическими точками могут быть лишь такие значения , в которых . Решим уравнение

 или  

ℤ   или   Z 

Отрезку  принадлежат три критические точки функции:

Подсчитаем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

Следовательно,

                               .5.

Ответ: