Множество значений функции. Открытый урок
методическая разработка (алгебра) по теме

      Методическая разработка открытого урока по алгебре и началам анализа.

Класс: 11 (2часа).

Тема: «Множество значений функции». 

Выполнила: учитель математики ГБОУ Гимназии №196

г. Санкт-Петербурга Баженова Валентина Петровна.

Цели урока.

1. Обучающие цели: актуализация опорных знаний по графикам и свойствам функций,  формирование  и развитие у учащихся умений решать уравнения и неравенства,  моделировать  задачу, выстраивания алгоритм её решения.

2. Развивающие цели: активация учебной деятельности, применение знаний, умений и навыков в новых условиях, развитие у учащихся вариативности в работе с заданиями.

3. Воспитательные цели: воспитание  информационной культуры, пробуждение  интереса к математике через содержание учебного материала, создание условий навыка объективной оценки своих результатов, контроля и самоконтроля.

Задачи урока: 

1. Проверить усвоение материала по данной теме.

2. Закрепить навыки выполнения заданий по данной теме.  

3. Формировать умение применять те же знания, но в новых ситуациях.

4. Повысить уровень  качества знаний  учащихся в решении задач ЕГЭ.

5. Создать условия для самооценки учащимися их уровня подготовки к ЕГЭ.

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний.

Оборудование урока: компьютер,  проектор, экран, карточки с заданиями для классной и домашней работы, приложение с графиками элементарных функций.

                           План урока.

1.Вступление.

Часть 1.

2. Повторение уравнений, графиков, множеств значений элементарных функций (линейных, квадратичных, дробно-линейных, тригонометрических, показательных,  логарифмических).

3. Решение задач   ЕГЭ первого уровня сложности     (прямых и обратных).

4. Алгоритм нахождения множества значений функции с помощью производной.

Часть 2.

5. Задача  на нахождение множества значений сложной функции (четыре функции).

6. Составление уравнений и неравенств, решаемых методом оценки, на основе сложных функций из предыдущей задачи.

7.Их решение   методом оценки значений функций, входящих в уравнение или неравенство.

Часть 3.

8. Свойства монотонности сложной функции (доказательство одного из них).

9. Задача на применение одного из свойств монотонности.  

10. Задача с параметром.

11. Итог урока.   

                            Ход урока.

n.1. Вступление.

                                            Дорогие друзья!

       Сегодня на уроке мы обратимся к основному понятию алгебры и начал анализа – понятию функции. Более  детально  рассмотрим одно из её свойств – множество её значений.

      Решая задачи единого государственного экзамена, мы замечаем, что подчас именно нахождение множества значений функции ставит нас в затруднительные ситуации. Но почему? Казалось бы, что, изучая функцию с седьмого класса, мы сегодня знаем  о ней достаточно много.  Поэтому у нас есть все основания сделать упреждающий ход.

       Давайте сегодня сами «поиграем» с множеством значений функции, чтобы снять многие вопросы этой темы на предстоящем экзамене.

                                                            Часть 1.

   n.2.     Устная работа.

      Для начала необходимо повторить графики, уравнения и множества значений основных элементарных функций на всей области определения.

     На экран проецируются графики функции и для каждой из них устно определяется множество значений (см. приложение). (Обратить  внимание на то, что у линейной функции   или одно число;   у дробно-линейной  ).

     Это наша азбука. Присоединив к ней наши знания о преобразованиях графиков: параллельные переносы,  растяжения, сжатия, отображения, мы сможем решить задачи 1 части  ЕГЭ   и чуть сложнее.   Проверим   это.

   n.3.   Письменная работа (условия задач и системы координат напечатаны для

                                                     каждого ученика).

Задача №1.   Найдите множество значений функции на всей области  

                        определения

                             1)  y = 3 sin х ,           2)  y = 7 - 2х ,         3)  y = - arccos (x+5),

                             4)  y =|arctg x|,      5)  y = 1/3 log x - 6 .

Задача №2.  Найдите множество значений функции   y=x2   на промежутке J ,

                       если        1)    J =  [2; 3],          2)   J = [-1; 5).

(Обратить внимание на то, что в случае монотонности и непрерывности функции y = f(x) на заданном промежутке  < a; b >,  множество её значений  – промежуток, концами которого будут   значения  f(a) и f(b)).

Задача №3.  Задайте функцию аналитически (уравнением),  если

                       множество её значений:  

                       1)  E(f(x))=(- ∞; 2]   и    f(x)  -  функция

                            а) квадратичная,    б) логарифмическая,      в) показательная.

                       2)  E(f(x))=R\{7}.

    1)   Варианты ответов:

                                 а)  y = -x2 + 2 ,     y = - (x+18)2 + 2,     y = a(x-xв)2 + 2  при а < 0.

                                 б)  y = -|log8 x|+2,  

                                  в)  y = -| 3x - 7|+2,     y = -5|x|+3.

    2)   Варианты ответов:

                  а)   y = 5/x + 7,     б)  y = (1+14x)/(2x-3),     в)   y  = 12 - 5x,  где  x ≠ 1 .

  n.4.  В 10-м классе мы проходили алгоритм исследования функции непрерывной на отрезке на абсолютный экстремум и на её множество значений, не опираясь на  график функции.  Вспомните, как мы это делали?   (С  помощью  производной).  Давайте повторим алгоритм этого исследования.

Алгоритм  (проекция на экране алгоритма).

       1)   Убедиться, что функция    y = f(x)   определена и непрерывна

             на отрезке  J = [a; b];

       2)  найти значения функции на концах отрезка: f(a) и f(b).

               Замечание: Если  мы знаем, что функция непрерывна и монотонна  на J,

                                        то можно  сразу дать ответ:  E(f) = [f(a); f(b)]  или   E(f) = [ f(b); f(а)].

       3)  найти производную, а затем  критические точки  xk J.

       4)  найти значения функции в критических точках  f(xk).

       5)  сравнить значения функции f(a) ,f(b) и  f(xk), выбрать наибольшее и

              наименьшее значения функции и тогда  E(f)= [f; f].

Задачи на применение данного алгоритма встречаются на ЕГЭ. Так, например,  в 2008 году встретилась такая задача. Предлагаю вам решить её дома.

Задача №4  (задача С1).  Найдите наибольшее значение функции

                                  f (x) = (0,5x+1)- 50(0,5x+1)   при   | x+1| ≤ 3.

                         (условия домашних задач распечатаны для каждого ученика).   

                               Часть 2.

 n.5.    Основную  часть нашего урока составят нестандартные задачи,  содержащие  сложные функции, производные от которых приводят к трудным уравнениям. Да и  графики этих функций нам неизвестны. Поэтому  для  решения мы будем использовать определение сложной функции, то есть зависимость между переменными в порядке их вложенности в данную функцию и оценку их области значений (промежутка изменения их значений). Обратимся к примеру.

Задача №5.    Для функций  y = f(x)  и  y = g(x)  записать сложную функцию

                          y = f(g(x))  и найти её множество значений:

        Решение задачи №5(1) (см. рисунок 1). Композиция двух элементарных функций или сложная функция имеет вид:

Вводя промежуточный аргумент , мы можем записать эту функцию так:

У внутренней функции           аргумент принимает любые значения,      а  множество её значений - отрезок .  

     Таким образом,   для внешней функции  

y = - t2 + 2t + 3   мы узнали промежуток изменения значений её аргумента : .  Обратимся к графику функции   y = - t2 + 2t + 3.   Замечаем,  что квадратичная функция при   возрастает и принимает наименьшее и наибольшее значения на его концах:   и .  А так как эта функция непрерывна на отрезке , то она принимает и все значения между ними.    Значит,

       Ответ:  

    Решение задачи № 5(2) (см. рисунок 2). Композиция этих  функций приводит нас к сложной функции , которая, после введения промежуточного аргумента, может быть представлена так:

                               ,

У   функции       

У   функции      (см. рисунок 2)  аргумент   принимает любые значения, а сама квадратичная функция принимает все значения не больше 4.  

 Таким образом, имеем

           Ответ:    

      Решение задачи № 5 (3) (см. рисунок 3).

    Сложная функция имеет следующий вид:

Вводя промежуточный аргумент, получаем:

Так как  для внутренней функции , а,  то по графику функции  нетрудно видеть,  что     

                                                    Ответ:    

       Решение задачи № 5(4)  (см. рисунок 4).

Композиция 2-х данных функций даёт нам сложную функцию

                                            , которая может быть расписана, как

Заметим, что  

Значит, при  

. Нарисовав график функции  , видим, что при этих значениях                                                                                                                                   .                                              

 Ответ:     

          Kакая из четырёх композиций более сложная и почему?

(четвёртая: функция  имеет точки разрыва 2-ого рода, в которых имеются вертикальные асимптоты).

          Какая из четырёх композиций более простая и почему?

(первая, т.к. данная квадратичная функция непрерывна и монотонна на рассмотренном промежутке).

      Итак, мы увидели иной алгоритм нахождения множества значений для сложной функции:

       1) раскладываем сложную функцию на составляющие её простейшие элементарные функции (элементы композиции);

       2) оцениваем множества значений этих функций в порядке их вложенности в сложную функцию.

        Дома вы попробуете решить эту же задачу, но для функции y=g(f(x)) (поменяете порядок вложенности функций).

                    п.6.    Задача №6.         Учитывая найденные множества значений  функций

из задачи  №5 (найденные множества значений выделены на доске),  составьте из них такие уравнения и неравенства, которые  решаются методом оценки и  объясните их  решение.

      Варианты  ответов:

1)       -   не имеет корней,

2)       -   не имеет решений,

3)       -     - любое число,   кроме     

4)         (можно выбрать и нестрогие знаки неравенств).

  п.7.  Решение (4). Сравнивая множества значений функций из левой и правой частей уравнения, замечаем, что они имеют только один общий элемент - число 4.  Т.е. решениями этого уравнения могут быть только те значения , при которых обе функции имеют значение 4. Как Вы думаете: сколько решений может иметь уравнение в этом случае?  (Возможны любые варианты:  одно, два, … и сколько угодно). Узнаем это для данного уравнения.

              Потребуем выполнения этого необходимого условия от каждой функции и получим   систему двух уравнений:

5)   -    - любое число,   кроме    

6)       -     не имеет  решений.

     На ЕГЭ  встречаются  задачи,  которые решаются методом оценки.

Задача№7.     Решите уравнение:

Рассмотрите  его  решение  дома.

                                                             Часть3.

 n.8.   В ходе урока мы заметили, что если данная функция  монотонна  и непрерывна, то поиск области её значений упрощается.  Остановимся на свойстве монотонности именно сложной функции. От каких данных может зависеть её монотонность? (от монотонности входящих в неё функций).

Задача №8.

 Докажем следующее свойство:

Если функция  - непрерывна и  убывает на некотором промежутке , а функция  также непрерывна и  убывает на промежутке ,  причём из того, что  следует, что  , то  сложная функция    есть функция  возрастающая на .

   Доказательство: 

      Так как функции   и   - убывающие, то каждое своё значение они принимают ровно один раз, и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.  А тогда  для любых  и   из   и  для   и    из  имеем:

          для     и

          для  ,  

Видим, что для любых  и   из  

            ,

Т.е.  функция    - возрастающая на  .  Что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать, что

       -  композиция двух возрастающих функций – функция возрастающая,

       -  композиция двух функций различных монотонностей – убывающая  

           функция.

n.9.      Посмотрим на примере, как приведённые выше свойства упрощают решение задач.

Задача №9 .  Найти множество значений функции у = log5 (arcctg x)  на J,

                         если

                                     1)   J =[ -1; 4) ;

                                     2)   на всей области определения.

   Решение:

      В начале, используя указанные нами свойства, исследуем данную функцию на монотонность.

      Функция    t = arcctg x  –  непрерывная  и  убывающая  на  R  и множество её значений -  (0; π).  Функция y = log5 t  определена на промежутке (0; π), непрерывна  и возрастает на нём.  Значит, данная сложная  функция убывает  на множестве R.  И ещё она, как композиция двух непрерывных функций,  будет непрерывна на R.

    Теперь решаем 1) задачу. Так как функция  непрерывна на всей числовой прямой, то она непрерывна и на любом её промежутке, в частности, на данном отрезке. А тогда она на этом отрезке имеет наименьшее и наибольшее значения и принимает все значения между ними.

            f(-1) = log5 arcctg (-1) =  log5 3п/4,     f(4) =  log5 arcctg 4.

Какое из полученных значений больше? Почему?... И какого же множество значений?

                                       Ответ: у   (log5 arcctg 4; log5 3п/4].

      Решаем задачу 2.

             ,  

             .

                                 Ответ:  у  (- ∞; log5 π)   на всей области определения.

 n.10.    Теперь попробуем составить и решить несложное уравнение с параметром вида  

                f (x)=a,      где  f(x) та же, что и в задаче  №9.

Задача №10.  Определите количество корней уравнения  log5 (arcctg x)=а

                         для каждого значения параметра а.

     Решение:

     Как мы уже доказали в задаче 9,  у = log5 (arcctg x) - убывающая и непрерывная функция на  R  и принимает значения меньше   log5 п.

Этих сведений достаточно, чтобы дать ответ.

                     Ответ:   если  а < log5 п , то уравнение имеет единственный корень;              

                                   если  а  log5 п, то  корней нет.

     Уравнение задачи №10 можно усложнить, задав в правой части функцию от параметра а (линейную, квадратичную или дробно-линейную). Но это тема следующего урока.

       ИТОГ:        

        Итак, сегодня мы рассмотрели задачи связанные с нахождением множества значений функции. Двигаясь от простого к сложному, мы от отыскания  множества значений у простых функций  перешли к нахождению его у более сложных. На этом  пути мы открыли для себя новый метод решения уравнений и неравенств – метод оценки и нахождение множества значений функции стало средством решения задач более высокого уровня. При этом мы увидели, как конструируются такие задачи и как свойства монотонности функции облегчают их решение.

                           « Открылась бездна, звёзд полна.

                               Звездам числа нет, бездне дна…» 

                                                       М.В.Ломоносов              

     И мне хочется надеяться, что та логика, которая связала все рассмотренные сегодня задачи, вас  поразила или хотя бы удивила. Иначе и быть не может: восхождение на новую вершину никого не оставляет равнодушным! Мы замечаем и ценим красивые картины,  скульптуры, музыку  и т. д. Но и в математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая – красота логики.  Математики говорят, что красивое решение это, как правило, - правильное решение и это - не просто фраза. Теперь Вам самим предстоит находить такие решения и один из путей к ним мы указали сегодня. Удачи вам! И помните: дорогу осилит идущий!

Литература

Приложения

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ                            Y                                                                                                                                 

                                                                y = kx + b

                                                                                                                        X

КВАДРАТИЧНАЯ  ФУНКЦИЯ

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ                                     k1x+b1                             

                                                                                                                  k2x+b2                                           

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

y = arcsin x                                                        y = arccos x

y = arctg x                                                    y = arcctg x

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Карточка для выполнения классной работы

№1. Определите множество значений функции на всей области определения

№2. Найдите множество значений y=x2 на I, если а) I=[2;3]

                                                                               б) I=[-1;2]

№3. Задать функцию f(x) уравнением такую, что а) E(f(x))=(-∞;2]

                                                                                   б) E(f(x))=R\{7}

№5. Найти множество значений сложной функции y=f(g(x)), где f(x) и g(x) некоторые элементарные функции                                                

№6. Составьте из полученных сложных функций уравнения и неравенства, решаемые методом оценки значений выражений, стоящих в левой и правой его частях.

№8. Свойство монотонности сложной функции. y=f(g(x)), g(x)=t

     t1=g(x1) t2=g(x2), т.к. t=g(x) непрерывна и монотонна.

№9. Найдите множество значений функции y=log5(arcctg x)

       а) на промежутке I=[-1;4]

       б) на её области определения

№10. При каких значениях а уравнение f(x)=a не имеет корней, если f(x)=log5(arcctg x)

                                                  Домашняя работа

1. Алгоритм нахождения множества значений функции f(x) на I

(с использованием производной):

   1)Найти D(f) и проверить непрерывность f(x) на I

   2)Вычисляем f(a) и f(b)

   3)Находим f`(x) и решаем f`(x)=0, определяем критические точки xkЄ I

   4)Вычисляем f(xk)

   5)Выбираем наименьшее и наибольшее значение функции из f(a), f(b), f(xk)

№4. Найти наибольшее значение функции f (x) = (0,5x+1)- 50(0,5x+1)   при   | x+1| ≤ 3. (Задача С1)

№7. Решите уравнение

№5. Найти множество значений y=g(f(x)), используя уравнения для f(x) и g(x), записанные в классе.