Разработка занятия по теме "Общие методы решения тригонометрических уравнений"
план-конспект занятия по алгебре (11 класс) на тему

Этапы учебного занятия

Содержание учебного материала

Методы обучения

Средства обучения

Хронометраж

I  этап.  

Вводно-мотивационная часть. (Слайд 1-2)

Постановка цели урока и задач  перед учащимися.

Тема урока. «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

Цель урока.

- Систематизировать и расширить знания, умения учащихся, связанных с применением методов решения тригонометрических уравнений.

Задачи.

- Повторить и закрепить полученные  знания о тригонометрической функции и ее свойствах;

- Научиться классифицировать и решать тригонометрические уравнения различными методами

Беседа.

Презентация для сопровождения лекции

5 мин

II   этап.  Актуализация знаний. (Слайд 3-6)

Повторение теоретического материала.

1. Свойства четности и нечетности тригонометрических функций.

2. Значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

3.Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = а,  cosx = а, tg х  = а.

Беседа.

Презентация для сопровождения лекции

20 мин

III   этап.  

Основная часть занятия. Изучение нового материала. (Слайд 7-18).

1. Методы решения тригонометрических уравнений 

-  уравнения приводимые к линейным или квадратным уравнениям;

-  однородные тригонометрические уравнения 1, 2 степени;

-   метод разложения на множители

2. Решение тригонометрических уравнений.

1). Уравнения приводимые к линейным или квадратным уравнениям.

Уравнения вида  A sin2 х + В sin х + С =0 и A sin2 х + В cos х + С =0, решается методом замены переменной.

•  Решить уравнение sin2 х + 5 sin х - 6 =0:

Решение

- вводим  замену sin х = z,

- решаем квадратное уравнение

 z2 + 5 z - 6 = 0,

- находим z1  = 1; z2  = -6,

- решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2 +2 π k, k Z,

- уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6 не принадлежит  Е ( sin х ),  т.е.   -6  не принадлежит  [-1; 1].

 Ответ:  х =  π/2 +2 π k, k Z.

•   Решим уравнение вида A sin2 х + В cos х + С =0:

 2 sin2 х + 3 cos х -3 =0.

Решение

- вводим замену sin2 х  = 1 - cos2 х,

-получаем :          2 (1 - cos2 х) +3 cos х -3 =0,

- выполняем преобразования :

- 2 cos2 х + 3 cos х - 1 = 0,  | (-1

2 cos2 х  - 3 cos х  + 1 = 0;

- вводим  замену cos х= t

- решаем квадратное уравнение 2 t 2 - 3t +1 = 0,

- находим  t1  = 1; t2  = 0,5

- решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k   Z,

- решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos 0,5+ 2π n,  n   Z.

Ответ: х = 2 π, х =  ± arccos 0,5+ 2π n,  n   Z.

• Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой.

2). Однородные тригонометрические уравнения.

  Однородное тригонометрическое уравнение первой степени:      A sin x+ B cos x = 0,

метод решения: разделить обе части уравнения на  cos x ≠ 0, получим и решим простейшее тригонометрическое уравнение вида  tg x = а.

• Решите уравнение  2 sin x+ 3 cos x = 0.

Решение: 2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0,

 2 tg x + 3 =0,

 tg x = -1,5.

Ответ: х= arctg (-1,5) + πk,  k Z  или

 х = - arctg 1,5 + πk,  k   Z

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка:

А sin2 х + В sinх cos х + С cos2х = 0,

метод решения: разделить обе части уравнения на  cos2 x ≠ 0, получим и решим уравнение вида А tg 2x + В tg x + С = 0 — это уравнение приводимое к квадратным.

• Решите  уравнение

2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0.  

Решение:  2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0,

- разделим обе части уравнения на  cos2 x ≠ 0

  2 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 5 cos2х =0  | : cos2х ≠ 0,

 2 tg 2x - 3 tg x - 5 = 0,

- вводим  замену   tg x = t

- решаем квадратного уравнения 2 t2 – 3 t – 5 =0

- находим:  t1  = -1;  t2  = 2,5,

- решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k   Z.

- решением уравнения tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn,  n  Z.

Ответ: х = -π/2 + πk , k   Z, х = arctg 2,5+ πn,  n  Z. Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой. 3). Метод разложения на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Решите уравнение: 2 sin3 x - cos 2x - sin x = 0

Решение:

-сгруппируем первый член с третьим, применив формулу косинуса двойного угла, получим

 cos 2x = cos2 x - sin2 x.

- уравнение примет вид: (2sin3 x - sin x) – (cos2 x - sin2 x) = 0,

 - вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, применив основное тригонометрическое тождество получим cos2 x = 1 - sin2 x.

- уравнение примет вид:  sin x (2sin2 x – 1) – (1 - 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x - 1) = 0,

(2 sin2 x - 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin2 x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0

sin2 x = 1/2,      sin x = - 1

sin x = ±1/v2  

Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = - /2 +2k, k = Z.

Объяснительно-иллюстративный метод

Презентация для сопровождения лекции

35 мин

IV этап.

Проверка знаний обучающихся.

Тестовая работа. (Приложение 1)

Практический метод

Раздаточный материал для учащихся

20 мин

VII  этап.

Рефлексия деятельности на уроке.  (Слайд 19).

Что нового вы узнали на уроке?

С какими трудностями встретились при решении уравнений?

Какие темы необходимо повторить для успешного решения тригонометрических уравнений?

Можете ли вы пересказать материал урока однокурснику, пропустившему урок?

Репродуктивный метод

Презентация для сопровождения лекции

5 мин

VIII  этап.

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание.  (Слайд 19).

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа»  Повторить формулы решения простейших

тригонометрических уравнений

Повторить основные приемы решения тригонометрических уравнений.

Повторить решение простейших тригонометрических неравенств.

Выполнить упражнения № 163-165

Беседа.

Презентация для сопровождения лекции

5 мин

Решение тригонометрических уравнений                             Вариант 1

А) Выберите номер правильного ответа

А1

Решите уравнение:

1)  2)  

3)  4)  

А2

Решите уравнение:

1)  2)  3) 

 4)  

А3

Решите уравнение:

1)  2)  

3) ; 4) 

А4

Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку

1)  2)  3)  4)

В) Напишите правильный ответ

В1

Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку

В2

Решите уравнение:

С) Приведите подробное решение данного задания.

С

При каком наименьшем значении параметра  уравнение  имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.

Решение тригонометрических уравнений                             Вариант 2

А) Выберите номер правильного ответа

А1

Решите уравнение:

1)  2)  

3)  4) 

А2

Решите уравнение:

1)  2)  

3)  4)  

А3

Решите уравнение:

1)  2) - 

3) ; 4) 

А4

Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку

1)  2)  3)  4)

В) Напишите правильный ответ

В1

Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку

В2

Решите уравнение:

С) Приведите подробное решение данного задания.

С

При каком наибольшем значении параметра  уравнение  имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.

Решение тригонометрических уравнений                             Вариант 3

А) Выберите номер правильного ответа

А1

Решите уравнение:

1)  2)  

3)  4)  

А2

Решите уравнение:

1)  2)  3) 

 4)  

А3

Решите уравнение:

1)  2)  

3) ; 4) 

А4

Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку

1)  2)  3)  4)

В) Напишите правильный ответ

В1

Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку

В2

Решите уравнение:

С) Приведите подробное решение данного задания.

С

При каком наименьшем значении параметра  уравнение  имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.

Решение тригонометрических уравнений                             Вариант 4

А) Выберите номер правильного ответа

А1

Решите уравнение:

1)  2)  

3)  4) 

А2

Решите уравнение:

1)  2)  

3)  4)  

А3

Решите уравнение:

1)  2) - 

3) ; 4) 

А4

Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку

1)  2)  3)  4) 

В) Напишите правильный ответ

В1

Укажите количество корней уравнения ,принадлежащих промежутку

В2

Решите уравнение:

С) Приведите подробное решение данного задания.

С

При каком наибольшем значении параметра  уравнение  имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.

№ варианта

А1

А2

А3

А4

В1

В2

С

1

1

3

4

1

3

-3

2

3

1

4

2

2

4

3

2

1

2

4

1

-6

4

4

4

1

2

2

7

Функция

Значения

00

300

450

600

900

cosx

1

0

sinx

0

1

tgx

0

1

-

ctgx

-

1

0