Презентация к занятию "Общие методы решения тригонометрических уравнений"
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Сызранский медико-гуманитарный колледж УМК ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА для 1 курса Общие методы решения тригонометрических уравнений Разработала: преподаватель математики Н.Л. Косырева

Слайд 2

Цель урока. - Систематизировать и расширить знания, умения учащихся, связанных с применением методов решения тригонометрических уравнений. Задачи. - Повторить и закрепить полученные знания о тригонометрической функции и ее свойствах; - Научиться классифицировать и решать тригонометрические уравнения различными методами

Слайд 3

Повторение теоретического материала. Функция называется четной, если f(x) = f(-x) , где х и –х принадлежат области определения функции Функция называется нечетной, если - f(x) = f(-x) , где х и –х принадлежат области определения функции sin x нечетная cos x четная tg x нечетная ctg x нечетная

Слайд 4

Значения тригонометрических функций для различных углов поворота. 1 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4 Ответ - √ 3/2 - 1/2 √ 3/3 1 √ 3/2 √ 2/2 2 вариант cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6 Ответ √2/2 √3/2 √3 1 - 1/2 - √3/2

Слайд 5

Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. 1 вариант arcsin √2/2 arccos 1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- √3/2) arctg √3 Ответ π /4 0 - π /6 5 π /6 π /3 1 вариант arccos √2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- √3/2) arctg √3/3 Ответ π /4 π /2 2 π /3 - π /3 π/ 6

Слайд 6

Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = а, cosx = а, tg х = а. sinx =а cosx = а tg х = а х = (-1) arcsin а + π k , k Z х = ± arccos а + 2 π k , k Z х = arctg а + π k , k Z . k

Слайд 7

. Методы решения тригонометрических уравнений - уравнения приводимые к линейным или квадратным уравнениям; - однородные тригонометрические уравнения 1, 2 степени; - метод разложения на множители.

Слайд 8

Уравнения приводимые к линейным или квадратным уравнениям. Уравнения вида A sin х + В sin х + С =0 и A sin х + В cos х + С =0, решается методом замены переменной. Решить уравнение sin х + 5 sin х - 6 =0 : Решение - вводим замену sin х = z , - решаем квадратное уравнение z + 5 z - 6 = 0, - находим z = 1; z = -6, - решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π /2 +2 π k , k Z , - уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ), т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]. Ответ: х = π /2 +2 π k , k Z . 2 2 2 2 2 1

Слайд 9

Решим уравнение вида A sin 2 х + В cos х + С =0 : 2 sin 2 х + 3 cos х -3 =0. Решение - вводим замену sin 2 х = 1 - cos 2 х, -получаем : 2 (1 - cos 2 х) +3 cos х -3 =0, - выполняем преобразования : - 2 cos 2 х + 3 cos х - 1 = 0, | (-1 2 cos 2 х - 3 cos х + 1 = 0; - вводим замену cos х= t - решаем квадратное уравнение 2 t 2 - 3 t +1 = 0, - находим t 1 = 1; t 2 = 0,5 - решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k , k Z , - решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n Ответ: х = 2 π , х = ± arccos 0,5+ 2 π n , n Z . Z .

Слайд 10

Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой. Вариант 1 Вариант 2 на «3» 2 cos х + 5 sin х - 4=0 3 sin x - 2 cos 2 x =0 на «4» c os 2х + cos х =0 cos 2x + sin x =0 на «5» √2 sin ( x /2) + 1 = cos х √ 2 cos ( x /2) + 1= cos x 2

Слайд 11

ОТВЕТЫ 1 вариант 2 вариант (-1) k π /6 + πk , k Z (-1) k π /6 + πk , k Z π + 2 πk , k Z ± π /3 + 2 πn , n Z π /2 + 2 πk , k Z (-1) k +1 π /6 + πn , n Z 2 πk , k Z (-1) k π /2+2 πn , n Z π + 2 πk , k Z ± π /2 + 4 πn , n Z

Слайд 12

Однородные тригонометрические уравнения. Однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x + B cos x = 0, метод решения: разделить обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим и решим простейшее тригонометрическое уравнение вида tg x = а. Решите уравнение 2 sin x + 3 cos x = 0. Решение : 2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0, 2 tg x + 3 =0, tg x = -1,5. Ответ: х= arctg (-1,5) + πk , k Z или х = - arctg 1,5 + πk , k Z

Слайд 13

Однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin х + В sin х cos х + С cos х = 0 Метод решения: разделить обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим и решим уравнение вида А tg x + В tg x + С = 0 — это уравнение приводимое к квадратным. 2 2 2

Слайд 14

Решите уравнение 2 sin х - 3 sin х cos х - 5 cos х =0. Решение: 2 sin х - 3 sin х cos х - 5 cos х =0, - разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0 2 sin х - 3 sin х cos х - 5 cos х =0 | : cos х ≠ 0, 2 tg x - 3 tg x - 5 = 0, - вводим замену tg x = t - решаем квадратного уравнения 2 t – 3 t – 5 =0 - находим: t = -1; t = 2,5, - решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = - π /2 + πk , k Z . - решением уравнения tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn , n Z . Ответ: х = - π /2 + πk , k Z , х = arctg 2,5+ πn , n Z . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

Слайд 15

Самостоятельное решение уравнений с последующей проверкой. 1 вариант 2 вариант 1 3 sin x+ 5 cos x = 0 2 cos x+ 3 sin x = 0 2 5 sin х - 3 sin х cos х - 2 cos х =0 6 sin х - 5 sin х cos х + cos х =0 3 3 cos х + 2 sin х cos х =0 2 sin x – sin x cosx =0 4 5 sin х + 2 sin х cos х – cos х =1 4 sin х - 2 sin х cos х - 4 cos х =1 5 2 sin x - 5 cos x = 3 2 sin x - 3 cos x = 4 6 1- 4 sin 2x + 6 cos х = 0 2 sin х - 2sin 2 х +1 =0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Слайд 16

ОТВЕТЫ 1 вариант 2 вариант 1 - arctg 5/3+ πk , k Z . - arctg 2/3+ πk , k Z . 2 π /4 + πk ; - arctg 0,4 + πn , k , n Z . arctg 1/3+ πk ; arctg 0,5 + πn , k , n Z . 3 π /2 + πk ; - arctg 1,5 + πn , k , n Z . πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z. 4 π /4 + πk ; - arctg 0,5 + πn , k , n Z . -π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z. 5 arctg ( - 1 ± √5) + πk , k Z . arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z. 6 π /4 + πk ; arctg 7 + πn , k , n Z . π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z. Z .

Слайд 17

Метод разложения на множители . Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Слайд 18

Решите уравнение: 2 sin x - cos 2x - sin x = 0 Решение: -сгруппируем первый член с третьим, применив формулу косинуса двойного угла, получим cos 2x = cos x – sin x. - уравнение примет вид: (2sin x - sin x) – (cos x – sin x) = 0, - вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, применив основное тригонометрическое тождество получим cos x = 1 – sin x. - уравнение примет вид: sin x (2sin x – 1) – (1 - 2 sin x) = 0, sin x (2sin x – 1) + (2 sin x - 1) = 0, (2 sin x - 1) • ( sin x + 1) = 0. 2 sin x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0 sin x = 1/2, sin x = - 1 sin x = ±1/ √ 2 Ответ : x1 = ± /4 + n, n Z, x2 = - /2 +2k, k Z 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Слайд 19

Что нового вы узнали на уроке? С какими трудностями встретились при решении уравнений? Какие темы необходимо повторить для успешного решения тригонометрических уравнений? Можете ли вы пересказать материал урока однокурснику, пропустившему урок? Домашнее задание. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» Повторить формулы решения простейших тригоно -метрических уравнений. Повторить основные приемы решения тригономет-рических уравнений. Повторить решение простейших тригонометрических неравенств. Выполнить упражнения № 163-165 .

Слайд 20

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа» Ш. А. Алимов «Алгебра и начала анализа» А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа». А.Г. Мордкович «Сборник задач по алгебре и началам анализа». http://pedsovet.su - шаблон презентации http://ege-ok.ru/2012/01/24/reshenie-pokazatelnyih-uravneniy-zadanie-v5/ http://rudocs.exdat.com/docs/index-17520.html#788178 http://www.alleng.ru/edu/math1.htm http://www.uchportal.ru/load/25-1-0-23602 http://karmanform.ucoz.ru/load/primenenie_informacionnykh_tekhnologij_na_urokakh_matematiki_v_1011_kh_klassakh/3-1-0-683 Учебно-методическое обеспечение урока.