Этот непонятный логарифм (из собственного опыта работы)
статья по алгебре (11 класс) по теме

1. Введение.

     Переход к новой форме сдачи выпускных экзаменов в школе, а именно в форме Единого Государственного Экзамена, ставит перед учителями задачу изменить сложившиеся взгляды на преподавание предмета, на методику и практику.

     С приходом в школу новой формы сдачи выпускного экзамена мы должны были  изменить и формы работы, и отношение к оценке труда учащегося.

     Ныне недостаточно ознакомить детей с темами своего предмета и надеяться на то, что «кому надо, выучит, а кому не надо, тот как-нибудь». Нельзя также идти на поводу тех родителей, которые говорят, что их ребёнку математика не нужна, что достаточно тройки (четвёрки), потому после школы ребенок к предмету математики «и близко не подойдёт». В новой реальности  такие вещи не допустимы. Во-первых, ЕГЭ по математике обязателен для всех учащихся, во-вторых, список ВУЗов, в которых математика является обязательным вступительным экзаменом, велик.

     Мы привыкли работать в системе, где преподаватель «сам себе и кузнец, и жнец, и на дуде игрец», как говорят в народе. То есть мы сами даём учебный материал, сами проверяем уровень знаний, умений и навыков, и сами же ставим оценку. Не секрет, что оценка часто бывает  субъективной. Бывают случаи, когда действует правило: «мы всегда найдём, за что поставить тройку». Бывают случаи, когда у некоторых детей оценка выше объективного уровня как бы «на фоне всего класса».

     Исходя из вышеперечисленного ясно, почему среди учителей, учеников и их родителей ходят разговоры о целесообразности ЕГЭ.

      Но время, когда говорили, что надо отменить ЕГЭ по математике, потому что четверть учеников математику не знают, не сдадут и вообще это слишком большой стресс для выпускников, прошло. И лазеек для нерадивости, лености ума  и русского «авось» уже нет.

      Не секрет, что создатели тестов пытаются сделать задания более оригинальными не для того, чтобы запутать сдающих ЕГЭ, а для того, чтобы выявить именно тех, кто умеет творчески мыслить и применять свои знания, в отличие от тех, кто просто зазубривает материалы учебника.

      Находясь в описанной выше ситуации, я ставлю перед собой цель разработки новых форм изучения материала, закрепления умений и навыков.

      Я опираюсь на то, что наибольший интерес у старшеклассников вызывает общение со сверстниками и самостоятельная активность; пассивное получение знаний от учителя им менее интересно. Это означает, что для успешной учебы школьнику нужно понимать материал, уметь применять свои знания на практике, решать задачи, тренируя свой интеллект и чувствуя свои способности. Также подросткам важно сравнивать свои достижения с достижениями других, участвовать в работе группы, ощущать ценность группы и свою значимость в ней.

     Поэтому на уроках я применяю метод СПС – Сделал сам, Помоги Соседу. Метод заключается в следующем: на этапе первичного закрепления  материала учащимся предлагается серия однотипных задач. Как только несколько человек правильно выполнили задание, они присоединяются к отстающим для помощи и объяснения.

     Свою задачу я вижу в реализации прочного усвоения основных правил и формул каждой темы. Особое внимание уделяю типичным  заданиям, входящим в первую часть экзамена.

2. Необходимость подготовки к решению задач первой части экзамена.

    Структура экзаменационной работы отвечает двум целям ЕГЭ: обеспечению аттестации выпускников средних общеобразовательных учреждений по курсу математики  и их отбор в высшие учебные заведения.

    В соответствии с принятой структурой и содержанием работы первая часть содержит 10 заданий (В1–В10) базового уровня сложности, проверяющих наличие практических математических знаний и умений. Указанные задания обеспечивают полноту проверки овладения материалом этих курсов на базовом уровне. При их выполнении от учащегося требуется применение своих знаний в знакомой ситуации. Часть вторая содержит 11 заданий (задания В11-В15 и С1-С6) повышенного и высокого уровней по материалу курса математики средней школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки.

     Результаты выполнения заданий первой части  позволяют судить о достижении выпускником уровня базовой подготовки по курсу математики.

     Доведение до автоматизма умения решать задания первой части  помогает так называемым «слабым ученикам» успешно сдавать экзамен, а ученикам, претендующим на большее количество баллов, поможет быстро справиться с первой частью работы. Да и при решении заданий следующих уровней поможет увидеть знакомые ситуации, разбить решение сложной задачи на несколько вполне простых действий. Поэтому я считаю необходимым уделять большое внимание отработке заданий базового уровня.

     На данный момент работаю по следующей схеме:

а) объяснение нового материала на уроке, привлечение метода СПС;

б) выработка основных знаний, умений и навыков на следующих уроках, также с применением метода СПС;

в) в процессе углубления темы ввод в режиме устного счёта, математических диктантов, индивидуальных заданий примеров на повторение и закрепление основ.

Я работаю по этой схеме не только в выпускных классах, но и в с 5 по 9 классы, потому что навык быстрого решения задач по принципу «вопрос -  ответ» предпочитаю развить у учащихся заранее.

Ко времени непосредственной подготовки к ЕГЭ у учащихся формируется навык детальной проработки заданий базового уровня.

3. Упрощение выражений, содержащих степень и корни.

     Одним из проверяемых элементов содержания является владение понятием степени с рациональным показателем, умение выполнять тождественные преобразования и находить их значения. Для создания серии однотипных заданий я действую следующим способом:

а) скачиваю из демоверсии задание;

б) на основе примера составляю нужное количество подобных заданий;

в) в дальнейшем применяю эти задания или при устном счёте, или в математическом диктанте, или в другой работе; главное, чтобы действия отрабатывались до автоматизма.

1). Представьте в виде степени выражение    .

2). Найдите значение выражения      при  .

3). Упражнения на свойства корней: Вычислите:

4. Этот непонятный логарифм.

Да, триста миновало лет

с тех пор, как был открыт ты,

и школьникам немало бед

сумел уж причинить ты.

И кто же будет рад тебе?

Как часто старшеклассник

Из-за тебя был не в себе,

Из-за тебя весь трясся.

Кто средь твоих столбцов,

Как утлый челн средь рифов

Тебе проклятья слать готов,

Свирепый логарифм

(В.Литцман)

      Уже в 10 классе ученики спрашивают: « а когда мы будем изучать логарифмы?»

      Красивое слово завораживает. Отзывы одиннадцатиклассников интригуют…

     Практика показывает, что понятие логарифма - одно из самых сложных понятий в школьном курсе математики. Если арифметический корень дети называют «степенью наоборот», то для логарифма такую привязку им сделать трудно.    Часов, данных программой на изучение этого явления, явно недостаточно. Поэтому я заранее готовлюсь «растянуть» по времени моменты появления логарифма на уроках. Заготавливаю большое количество простейших логарифмических заданий. На уроках, посвящённых этой теме, решаем такие задания, отрабатывая каждое правило. Решаем более сложные задания из учебника, из дидактических материалов, из демоверсий ЕГЭ. Навыки ещё свежие, формулы несложные, работа идёт.

      Однако в видимой простоте формул кроется опасность – то, что легко запоминается, так же легко забывается. Повторение логарифмических понятий должно быть постоянным. На уроках последующих  тем я провожу повторение в виде устного счёта, математических диктантов, индивидуальных заданий. Причём примеры идут уже не группой однотипных заданий, как на первых уроках, а «вразнобой». Вот некоторые примеры серий задач, составленных мною, из которых набираю задания для повторения:

1). Задания на свойство «логарифм произведения и частного».

Найдите значение выражения     если  

     log 3 (27c), если log3 c = -1,5;              log 5 (16c), если log4 c = -2,5;

     log 4 (16c), если log4 c = -2,5;              log 4 (64c), если log4 c = -7,5;

     log 3 (27c), если log3 c = -5,3;              log 3 (1/3c), если log3 c = 0,9;  

     log 3(81c), если log3 c = -2,5;               log 0,1(10c), если log0,1 c = -2,5;

     log 3(9c), если log3 c = 3,5;                   log 7 (343c), если log7 c = -2,1;

     log 2 (16c), если log2 c = -2,5;              log 2 (64c), если log4 c = -1,2;

     log 2 (8c), если log2 c = 2,4;                 log 3(9c), если log3 c = 3,5

2) . Задание на свойство «сумма и разность логарифмов».

 Вычислите: log2400−log225.

3). Задания на основное логарифмическое тождество.

Вычислите значение выражения

6log63 + 100lg√7;                                                                         3log35 - 100lg√2;

6log67 + 100lg√3;                                                                          3log34 + 100lg√7;

5log59 + 100lg√8;                                                                        4log48 + 100lg√6;

5log552 + 100lg√6;                                                                        4log42 + 100lg√15;

6log65 - 100lg√8 ;                                                7log731+ 100lg√12;

3log35 - 100lg√8  ;                                                                           7log75 + 100lg√6.

4). Задания на область определения логарифмических выражений

log2(х - 2):

 log2(2х + 2);                            log2(х2 - 1);                             lg (12 – х2);

 log0,1(2х - 4);                           log0,5(х2 – 2х);                        lg (3х2 – 12х);

 log2(3х - 12);                           log2(х + 2х2);                          lg (х3 + 8);    

 logх(2-х);                                 log(-х)5;                                    log2-х(3х - 1).

log x-1(х - 1);                             log(-х)(2х + 12);                       log х + 3 2х;      

5). Ещё задания на основное логарифмическое тождество.

Найдите значение выражения      .

 ∙ 2log210;                           ∙ 2 log215;                      ∙ 4 log420;                  

 ∙ 2log212;                           ∙ 3 log321;                      ∙ 7 log710;                  

 ∙ 2log216;                           ∙ 3 log312;                      ∙ 7 log742;                  

 ∙ 2log214;                           ∙ 2 log218;                      ∙ 5 log527 .        

После многократного повторения основных понятий и формул есть резон выходить на класс с заданием типа С:

Такие задания я разбиваю на несколько простейших задач.

1. Найдите значение функции    в точке максимума.

При демонстрации задачи поставить цель – найти знакомые ситуации.

• Нахождение области определения функции :

        .

• Упрощение формулы, задающей функцию с помощью свойств логарифмов:

         .

• Дальнейшее решение основывается на учебном материале 10 класса:  .

          , .

           при  (х = 1 не принадлежит области определения        функции ).  

        - точка максимума и .

Ответ: 2.

Решить неравенство:  

• Из курса 7 класса известно, что (х – 3)2 = (3 – х)2.
• Нахождение области допустимых значений переменной:

0 3- х 1 и  3- х  1.

• В случае 0 3 – х  1 решаем систему неравенств:

• В случае 3 – х  1:

• Записываем ответ: 

5. Заключение.

     Исходя из всего вышеизложенного, я могу с уверенностью сказать, что подготовка к сдаче ЕГЭ - работа творческая и интересная. Ничего пугающего в форме  ЕГЭ нет. Требуется только вдумчивая и аккуратная работа на протяжении нескольких лет.

     Единственный способ чему-либо научиться – это тренировка. Как в обучении музыке невозможно добиться успеха, не отрабатывая гаммы и этюды, так и в обучении математике невозможно без отработки простейших задач. Недостаточно уметь решать задачи под руководством учителя. Надо стремиться самостоятельно, без подсказок, справляться с множеством мелких и крупных задач.