Построение графиков уравнений с двумя переменными
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение г. Владимира

«Средняя общеобразовательная школа №36»

Построение

графиков уравнений с двумя переменными

(занятие элективного курса в 9 классе)

Учитель математики: Андрианова Н.Ф.

Владимир 2011

Оглавление

Основные цели:        

Ход занятия:        

I. Повторение теории.        

Определение графика уравнения с двумя переменными.        

Преобразование графиков кривых: сдвиг.        

Преобразование графиков кривых: симметрия.        

Преобразование графиков кривых: растяжение.        

Преобразование графиков кривых: отражение.        

II. Примеры построения графиков уравнений.        

1)  Преобразование элементарных кривых.        

2)  Разложение на множители.        

III. Решение задач  на построение графиков.        

IV. Некоторые графики уравнений более высоких степеней        

V. Несколько инетересных фактов о Рене Декарте        

Литература        

Основные цели: 1) повторить определение графика уравнения с двумя переменными,        

                                   возможные преобразования графиков уравнений;

                                2) совершенствовать навыки построения элементарных функций;

                                3) формировать навык построения графиков уравнений при помощи      

                                   преобразований  графиков: сдвиг, симметрия, растяжение, отражение,

                                   при помощи разложения на множители и по координатным четвертям;

                               4) обучение учащихся современной деятельности по овладению знаний.

Ход занятия:

I. Повторение теории.

Определение графика уравнения с двумя переменными.

Преобразование графиков кривых: сдвиг.

График уравнения F(х-а;у)=G(х-а;у) можно получить из графика уравнения F(х;у)=G(х;у)

сдвигом вдоль оси х на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо, если а>0; влево, если а<0.

График уравнения F(х;у-в)=G(х;у-в) можно получить из графика уравнения F(х; у)=G(х;у)

сдвигом вдоль оси у на |в| единиц вдоль оси ординат вверх, если в>0; вниз, если в<0.

Преобразование графиков кривых: симметрия.

График уравнения F(х;-у)=G(х;-у) симметричен графику уравнения  F(х; у)=G(х;у) относительно оси х.

График уравнения F(-х;у)=G(-х;у) симметричен графику уравнения  F(х; у)=G(х;у) относительно оси у.

Метод построения:    1) построить график уравнения F(х; у)=G(х;у);

                                     2) построить кривую симметричную F(х; у)=G(х;у) относительно оси    

                                        абсцисс или оси ординат соответственно.

Преобразование графиков кривых: растяжение.

        График уравнения   можно получить из графика уравнения  с помощью растяжения от оси y в а раз, если а>1, и с помощью сжатия к оси у в  раз, если 0

        График уравнения   можно получить из графика уравнения  с помощью растяжения от оси х в в раз, если в>1, и с помощью сжатия к оси х в  раз, если 0<в<1.

Преобразование графиков кривых: отражение.

        График уравнения  можно получить из графика  следующим образом:

1. построить часть графика  уравнения  для неотрицательных значений х;
2. с помощью симметрии относительно оси у построить  другую часть графика уравнения, соответствующую отрицательным значениям х.                              

        График уравнения  можно получить из графика  следующим образом:

1. построить часть графика  уравнения  для неотрицательных значений у;
2. с помощью симметрии относительно оси х построить  другую часть графика уравнения, соответствующую отрицательным значениям у.

II. Примеры построения графиков уравнений.  

1)  Преобразование элементарных кривых.

Пример 1 Построить график уравнения .

I Способ

II Способ. Используя определение модуля.

Построить график уравнения .

Вспомним определение и смысл раскрытия скобок  модуля.

Следовательно, необходимо посмотреть, какой вид примет данное уравнение в каждой координатной четверти.

I координатная четверть: x>0, y>0.

     x+y=2

     y= -x+2

    Данная функция линейная, график-прямая, для построения которой достаточно двух точек.

II  координатная четверть: x<0, y>0

    - x+y=2

     y= x+2

   Данная функция линейная, график-прямая, для построения которой достаточно двух точек.

III  координатная четверть: x<0, y<0

    - x - y=2

     y= -x - 2

   Данная функция линейная, график-прямая, для построения которой достаточно двух точек.

IV  координатная четверть: x>0, y<0

     x – y =2

     y = x-2

   Данная функция линейная, график-прямая, для построения которой достаточно двух точек.

При x = 0, y = 2 и y = -2.

При y = 0, x = 2 и x = -2.

Пример 2

2)  Разложение на множители.        

III. Решение задач  на построение графиков. 

II Способ  (используя определение модуля).

Построить график уравнения .

Необходимо выяснить какой вид примет данное уравнение в каждой координатной четверти.                                    

I координатная четверть: x>0, y>0.

     x-y=2

     y=x-2

    Данная функция линейная, график-прямая. Для построения которой достаточно двух точек.

II  координатная четверть: x<0, y>0

    - x+y=2

     y= x+2

   Данная функция линейная, график-прямая. Для построения которой достаточно двух точек.

III  координатная четверть: x<0, y<0

    - x - y=2

     y= -x – 2

   Данная функция линейная, график-прямая. Для построения которой достаточно двух точек.

IV  координатная четверть: x>0, y<0

     x - y=2

     y= x-2

   Данная функция линейная, график-прямая. Для построения которой достаточно двух точек.

При x=0, y=2 и y= -2.

При y=0, x=2 и x= -2.

IV. Некоторые графики уравнений более высоких степеней

V. Несколько инетересных фактов о Рене Декарте

        Нельзя не упомянуть имя великого ученого Рене Декарта (1596-1650), который впервые ввел прямоугольную систему координат в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году.

 Декарт стремился и в философии и в любой другой науке найти математические законы, свести каждую вопрос или задачу к математической. Он хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому овладевшему им решить любую задачу.

           Главное достижение Декарта - построение аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Нужно отметить, что у Декарта в точном виде не было того, что в настоящее время называют декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевёл на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой, затем обнаружил, что любимые древними конические сечения - это то же самое, что кривые второго порядка.

           Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, сохранившихся до наших дней: латинских букв  - для неизвестных, - для коэффициентов; - для степеней.

           Он сформулировал основную теорему алгебры: «число корней алгебраического уравнения равно его степени», доказательство которой было получено лишь в конце XVIII в. К.Ф.Гауссом.

           Интересы Декарта не ограничиваются математикой, а включают механику, оптику, биологию.

Литература

1. СD: Алгебра 1999, КОРДИС & МЕДИЛ, КУДИЦ.
2. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. Пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изучением математики / Ю.Н.Макарычев,Н.Г.Миндюк,; Под ред. Г.В.Дорофеева.-4-е изд.-М.: Просвещение, 2003.-224 с.
3. Математика на устном экзамене./О.С. Игудисман.- М.: Московский лицей,1997-191с.
4. CD: Графики и функции. Серия «Открытая математика».
5. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Э-68 А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352 с. ил.