Решение уравнений, содержащих знак модуля
методическая разработка по алгебре по теме
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 1 г.Гулькевичи
Краснодарского края
Выступление на РМО учителей математики
по теме: «Решение уравнений, содержащих знак модуля»
Преподаватель: Никитина Т.В.
г.Гулькевичи
При решении уравнений с модулем мы основываемся на трех основных видах.
Выделим виды уравнений с модулем:
I. Решим уравнение вида:
/f (х)/ = /q (х)/
т.к. /а/ = /b/, если а = ± b, то
/f (х)/ = /q (х)/ <=> f (х) = ± q (х) <=>
f2 (х) – q2 (х) = 0.
Например, /х-2/ = /2х-1/
х-2 = 2х-1 или х-2 = -(2х-1)
-х = 1 х-2 = -2х+1
х = -1 х = 1
Ответ: -1; 1.
Решить самостоятельно:
1-й уровень:
а) /х3 +х+1/ = 1
х3 +х+1 = 1 х3 +х = 0, х (х2 +1) = 0, х = 0
-х3 -х-1 = 1 х3 +х+2 = 0, х = -1.
Ответ: -1; 0.
2-й уровень:
б) /х2 -х-2/ = /2х2 -х-1/
х2 -х-2 = 2х2 -х-1 или х2 - х-2 = -(2х2 -х-1)
х2 +1 = 0 х2 -х-2 = -2х2 +х+1
корней нет 3х2 -2х-3 = 0
D = 4+36 = 40
х1 = | 2-2√10 | = | 1-√10 |
6 | 3 | ||
х2 = | 2+2√10 | = | 1+√10 |
6 | 3 |
II. Решение уравнений вида:
/f (х)/ = q (х)
Можно указать два приема решения таких уравнений:
1) /f (х)/ = q (х) имеет корни, если
q (х) ≥ 0, т.е. /f (х)/ = q (х) | <=> | { | f (х) = ±q (х) |
q (х) ≥ 0 |
Поэтому достаточно решить два уравнения f (х) = q (х), f (х) = -q (х) и для найденных значений х проверить справедливость неравенства q (х) ≥ 0.
2) Т.к. /f (х)/ = f (х), если f (х) ≥ 0
/f (х)/ = - f (х), если f (х) < 0, то уравнение /f (х)/ = q (х) равносильно каждой из следующих систем:
{ | f (х) ≥ 0 | или | { | f (х) < 0 |
f (х) = q (х) | f (х) = -q (х) |
Решив каждое уравнение необходимо проверить выполнения неравенства.
Например, /х3 +3х2 +х/ = -х+х3
х3 +3х2 +х = -х+х3 и х3 +3х2 +х = х-х3
3х2 +2х = 0 2х3 +3х2 = 0
х (3х+2) = 0 х2 (2х+3) = 0
х = – | 2 |
3 | |
х = – | 3 |
2 |
х = 0 или х = 0 или
Проверим выполнения неравенства
х = – | 2 |
3 |
х3 –х ≥ 0
Ответ: ; 0.
III. Решение уравнений вида:
/f1 (х)/ + /f2 (х)/ +…+ /fn (х)/ = q (х)
Эти уравнения основаны в решении на определения,
т.е. /а/ = а, если а ≥ 0
/а/ = -а, если а < 0
fn (х) могут быть многочленами, дробно-рациональными функциями и т.д.
Для каждой функции находят область определения, ее нули, точки разрыва. Нули и точки разрыва разбивают общую область на промежутки, в каждом из которых каждая из функций fn (х) сохраняет постоянный знак. Затем, используя определение модуля для каждой из найденных областей, получим уравнение, подлежащее решению.
Например, /х+1/ - /х-1/ = 2
х = -1 х = 1
-1 | 1 |
х
х ≤ -1 -1 < х ≤ 1 х > 1
-х-1+х-1 = 2 х+1+х-1 = 2 х+1-х+1 = 2
-2 = 2 2х = 2 2 = 2
нет корней х = 1 х Є (1; +∞)
является
корнем
Ответ: [1; +∞).
Решить самостоятельно:
1-й уровень:
2/х-2/ - 3 /х+4/ = 1
х = 2 х = -4
-4 | 2 |
х
х ≤ -4 -4 < х ≤ 2 х > 2
2(2-х) + 3(х+4) = 1 2(2-х) – 3(х+4) = 1 2х-4-3х-12 = 1
4-2х+3х+12 = 1 4х-2х-3х-12 = 1 -х = 15+2
х = -15 х = -1,8 х = -17
является корнем является корнем не является корнем
Ответ: -15; -1,8.
2-й уровень:
/х2 -х/ + /х-2/ = х2 -2
х (х-1) = 0 х-2 = 0
х = 0, х = 1 х = 2
0 | 1 | 2 | |
х ≤ 0 | 0 < х ≤ 1 | 1 < х ≤ 2 | х > 2 |
х
х2 -х-х+2 = х2 -2 -х2 +х-х+2 = х2 -2 х2 -х-х+2 = х2 -2 х2 -х+х-2 = х2 -2
-2х = -4 2х2 = 4 -2х = -4 -2 = -2
х = 2 х2 = 2 х = 2 х Є (2; +∞)
нет решений х1,2 = ±√2 является
нет решений решением
Ответ: [2; +∞).
Рассмотрим решение уравнений раздела C (повышенной трудности).
1) 3/х2 -9х/ + х2 = (х-9)(х+9) + 14х-7
а) х2 – 9х ≥ 0, х(х-9) ≥ 0, х Є (-∞; 0] U [9; +∞)
3(х2 -9х) + х2 = х2 -81+14х-7
зх2 -27х+х2 –х2 +81-14х+7 = 0
3х2 -41х+88 = 0
D = 1681-1056 = 625
х1,2 = | 41±25 |
6 |
х2 = | 8 |
3 |
х1 = 11;
не удовлетворяет условию.
б) х2 – 9х < 0, х Є (0;9)
-3х2 +27х+х2 –х2 +81-14х+7 = 0
3х2 -13х-88 = 0
D = 169+1056 = 1225
х1,2 = | 13±35 |
6 |
х2 = | 11 |
3 |
х1 = 8;
11 |
3 |
Ответ: 11; 8;
1 | + | 3/Sin2х/ | = 7 |
/Sin х/ | √Cos2х |
2)
ОДЗ: Sin х ≠ 0, Cos х ≠ 0
1 | + | 3/2Sin х Cos х/ | = 7 |
/Sin х/ | /Cos х/ |
1 | + | 6/Sin х/ | = 7 |
/Sin х/ |
6Sin2х – 7/Sin х/ +1 = 0.
а) Sin х > 0, 6Sin2х -7Sin х +1 = 0
пусть Sin х = у, тогда
6у2 -7у + 1 = 0
у2 = | 1 |
6 |
у1 = 1;
Sin х = | 1 |
6 |
Sin х = 1;
х = | π | + | 2πκ, κ Є £ | |
2 | ||||
х = | (-1)kаτcSin | 1 | + | πκ, κ Є £ |
6 |
не удовлетворяет условию.
б) Sin х < 0, 6Sin2х +7Sin х +1 = 0
D = 49-24 = 25, D > 0
Sin х = | - | 1 |
6 |
Sin х = -1;
х = | - | π | + | 2πκ, κ Є £ |
2 | ||||
х = | (-1)k+1аτcSin | 1 | + | πκ, κ Є £ |
6 |
не удовлетворяет условию.
±аτcSin | 1 | + | πκ, κ Є £ |
6 |
Ответ:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Геометрическая интерпетация при решении уравнений, содержащих знак модуля
Материал данного урока содержит "нестандартный" метод, который позволяет более эффективно решать уравнения, содержащие модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8...
Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы 1. Уравнение вида If(x)I =a, a €RРешение: ·...
«Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины».
Конспект урока в 8 классе по учебнику А.Г. Мордковича (профильный уровень) по теме "Алгебраические уравнения"....
Решение уравнений, содержащих знак модуля (абсолютной величины)
В настоящее время на выпускных экзаменах за курс средней школы и на вступительных экзаменах в различные учебные заведения предлагаются уравнения с модулем и параметрами, решения которых часто вызывает...
Доклад "Решение уравнений, содержащих знак модуля"
конспект урока...
Решение уравнений, содержащих знак модуля и параметры
презентация к уроку...
Решение уравнений, содержащих знак модуля и параметры
конспект урока...