«Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины».
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Конспект урока в восьмом классе по учебнику А.Г. Мордковича                       ( профильный уровень), по теме : «Алгебраические уравнения», 14 урок по теме, параграф № 37, « Уравнения с модулями».

                     Тема урока:

«Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины».

                                                                                                                                                                         Урок разработан  учителем  

                                                                            высшей категории

                                                                            школы №74, г.Н.Новгорода

                                                                            Шаповаловой Еленой Владимировной.

Цели урока:- формирование умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений;          осуществлять поиск решения задач синтетическим методом;                   учиться наблюдать и анализировать.

Тип урока: Изучение нового материала.

Структура урока:

1.Мотивационно-ориентировочный этап.

     1)  Повторение изученного материала;

     2)  Актуализация прежних знаний и способов действия;

     3)  Мотивация учебной деятельности;

     4)  Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.

2. Операционно-познавательный этап.

1.  Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и               способов решения)

3. Рефлексивно-оценочный этап.

1. Сопоставление целей и результатов урока;
2. Первичный контроль усвоения знаний;
3. Постановка домашнего задания;
4. Подведение итогов урока.

( к уроку прилагается презентация )

Содержание урока:

1этап урока.

            На доске записаны задания:

1) |х|=5;                 Сколько корней имеет данное уравнение?

                              Чем мы пользуемся при решении данного уравнения?

2)|х-3|=5.               Какие способы вы можете предложить для решения                                                                                                                     данного уравнения?

После устного ответа двое учеников решают уравнение графическим и аналитическим способами на доске.

|х-3|=5                                                         |х-3|=5

х-3=5               х-3=-5                                 у=|х-3|, сдвиг графика

х=8                   х=-2                                    у=|х| на 3 ед. вправо.

Ответ: х=8,х=-2.                                         У=5 –прямая || оси абсцисс.

3)Прочитать и объяснить словесную запись:

ρ(х;7)=2;               ρ(х;-5)=3

П.О.( предполагаемый ответ)Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.

П.О.Найти точки, которые находятся от точки -5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.

Вопрос: В чем заключается геометрический смысл модуля?

П.О. Расстояние между точками на координатной прямой.

4)Записать аналитическую модель рисунка:

П.О. |х+6|=3

 5) |х-2|=3     Вопрос: в чем заключается смысл задания с                                 геометрической точки зрения?

П.О. Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.

Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.

Ρ(х;2)=3;                          х-2=3                 х-2=-3

                                          х=5                    х=-1

Вопрос:  как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?

6)Прочитайте данное уравнение  с помощью геометрического смысла модуля |х+5|=3, найдите его корни, используя координатную прямую.

П.О. Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки -5.    

Ответ:   х=-2; х=-8.

7) |х-2|=|х+5|

Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.

П.О. Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.

Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.

П.О.

а) найдем расстояние между точками -5 и 2.

    5+2=7.

б) т.к. х равноудалена от точек -5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2=3,5

в) найдем координату точки: -5+3,5=-1,5 или 2-3,5=-1,5

Молодцы! Назовите способ, с помощью которого мы с вами решили данное уравнение. Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься сегодня на уроке? Попробуйте сами сформулировать тему сегодняшнего урока.

2 этап урока.   Учащиеся записывают в тетрадь тему урока:                         « Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений.»

1).Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:

|х-1|+|х-2|=1

П.О. Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2.

         Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.

Найдите расстояние между точками 2 и 1.

Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1;2].

Ответ: хЄ[1;2].

2).|х-1|+|х-2|=-1

Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.

П.О. Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.

 3).|х-1|+|х-2|=3. В чем заключается геометрический смысл данного                            уравнения?

П.О. Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.

Уравнение имеет 2 корня: х=0;х=3.

4).Аналогично рассуждая, решите сами следующее уравнение:

|х-3|+|х-7|=4

Ответ: хЄ[3;7].

5).|х-3|-|х-7|=4    В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?

П.О. Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.

Т.к. расстояние между 3 и 7 равно4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.

Ответ: хЄ[7;∞).

6).|х-7|-|х-3|=-4  (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ , обязательно изобразить решение на координатной прямой).

Ответ: хЄ[7;∞).

7). |х-7|-|х-3|=4

Ответ: хЄ(-∞;3].

3 этап урока.  

Посмотрите внимательно на все решенные уравнения и попробуйте сделать вывод.

П.О. Сумма расстояний всегда положительна, а разность может принимать любое по знаку число.

Далее, с целью закрепления материала, учащиеся решают вместе с учениками, вызванными к доске задания:

1. |х-9|=3
2. |х-6|=|х+2|
3. |х-9|+|х-3|=6
4. |х-9|-|х-3|=6

и еще раз проговаривают схему решения данных уравнений

Подведем итог урока:

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Сколько способов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины,  вы знаете?

В чем заключается геометрический смысл модуля?

         Запишите в тетради задания на дом:

1. |х-13|=8
2. |х-28|=|х+14|
3. |х-10|+|х-36|=26
4. |х-18|-|х-12|=6
5. |х-18|-|х-12|=-6