Зачет по алгебре для 8 класса
материал по алгебре (8 класс) по теме
Материал разработан для учащихся 8 класса, чтобы проверить полученные знания.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 709.65 КБ |
Предварительный просмотр:
Зачетный материал
по алгебре
8 класс
Составила учитель математики:
Цыганенкова Оксана Юрьевна
Зачет № 1 по теме: «Неравенства».
Цели:
- Систематизировать полученные ранее знания о положительных и отрицательных числах;
- Сформировать представления о числовых неравенствах; об основных свойствах числовых неравенств;
- Повторить сложение и умножение неравенств; строгие и нестрогие неравенства;
- Научить решать системы неравенств; уравнения и неравенства, содержащие модуль.
Основные понятия и определения:
- положительные и отрицательные числа;
- числовые неравенства;
- основные свойства числовых неравенств;
- строгие и нестрогие неравенства;
- неравенства с одним неизвестным;
- числовые промежутки;
- решение систем неравенств; модуль числа;
- уравнения и неравенства, содержащие модуль.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:
- свойства числовых неравенств;
- правила решения числовых неравенств.
Учащиеся должны уметь:
- применять основные свойства числовых неравенств и правила решения неравенств на практике.
Теоретическая часть:
Положительные и отрицательные числа.
Положительное рациональное число – это число вида k/n, где k и n – натуральные числа.
Отрицательное рациональное число – это число вида –k/n, где k и n – натуральные числа.
Рациональными числами называют числа вида m/n, где m – целое, n – натуральное число.
Положительные числа называют большими нуля, а отрицательные – меньшими нуля.
Знаки < и > называют противоположными.
Свойства чисел:
Формулировка с помощью букв | Словесная формулировка |
Если a>0 и b>0, то a+b>0, ab>0, a/b>0. | Сумма, произведение и частное двух положительных чисел – положительные числа. |
Если a<0 и b<0, то a+b<0, ab>0, a/b>0. | Сумма отрицательных чисел отрицательна, а произведение и частное двух отрицательных числе положительны. |
Если a>0 и b<0, то ab<0, a/b<0, b/a<0. | Произведение и частное положительного и отрицательного чисел отрицательны. |
Если ab>0, то или a>0 и b>0, или a<0 и b<0. Если a/b>0, то или a>0 и b>0, или a<0 и b<0. | Если произведение или частное двух чисел положительно, то эти числа имеют одинаковые знаки (т.е. оба числа положительны или оба отрицательны). |
Если ab<0, то или a>0 и b<0, или a<0 и b>0. Если a/b<0, то или a>0 и b<0, или a<0 и b>0. | Если произведение или частное двух чисел отрицательно, то эти числа имеют разные знаки (т.е. одно из них положительно, а другое отрицательно). |
Если ab=0, то или a=0, b≠0, или a≠0, b=0. или a=0, b=0. | Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю. |
Если a/b=0, то a=0 b≠0. | Если дробь равна нулю, то ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. |
Числовые неравенства
Определение. Число a больше числа b, если разность a-b положительна. Число a меньше числа b, если разность a-b отрицательна.
Таки образом, неравенство a>b означает, что разность a-b положительна, т.е. a-b>0. Неравенство a
Основные свойства числовых неравенств
Теорема 1. Если a>b и b>c, то a>c.
По условию a>b и b>c. Это означает, что a-b>0 и b-c>0. Складывая положительные числа a-b и b-c, получаем (a-b)+(b-c), т.е. a-c>0. Следовательно, a>c.
Теорема 2. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
Теорема 3. Если обе части неравенства умножить на одно и тоже положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Сложение и умножение неравенств
Теоремы о сложении и умножении неравенств:
- При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если a>b и c>d, то a+c>b+d.
- При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: a>b, c>d и a, b, c, d – положительные числа, то ac>bd.
Неравенства с одним неизвестным
Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Решение неравенств
Свойство 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого члена на противоположный; при этом знак неравенства не меняется.
Свойство 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это число положительно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то знак неравенства не меняется на противоположный
Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки
Решением системы неравенств с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.
Решить систему неравенств – это значит найти все решений этой системы или установить, что их нет.
Если a
Если a
Множества чисел x удовлетворяющих неравенствам a≤x
Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками.
Модуль числа
Модулем неотрицательного действительного числа x называют само это число: | x | = x; модулем отрицательного действительного числа x называют противоположное число: | x | = - x.
Короче это записывают так:
(1)
Свойства модулей:
Задания для самостоятельной работы
Уровень 1.
- Поставьте вместо
знак =, > или < так, чтобы получилось верное равенство или неравенство:
- Расположите в порядке возрастания числа:
3. Найдите корни уравнения:
4. Решите неравенство и изобразите множество его решений на координатной прямой:
5. Решите неравенство:
Уровень 2.
1. Решите неравенство:
2. Изобразите на координатной прямой промежуток:
3. Изобразите на координатной прямой и запишите, используя введенные обозначения, промежуток, задаваемый условием:
4 . Решите уравнение:
5. Решите систему неравенств:
Зачет № 2 по теме: «Квадратные корни».
Цели:
- Систематизировать полученные ранее знания о рациональных числах;
- Научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Основные понятия и определения:
- арифметический квадратный корень;
- действительные числа;
- квадратный корень из степени;
- квадратный корень из произведения;
- квадратный корень из дроби.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:
- иметь представление об иррациональных числах, знать определение и свойства арифметического квадратного корня.
Учащиеся должны уметь:
- выполнять вычисления и алгебраические преобразования в выражениях, содержащих квадратные корни; уметь строить график функции.
Теоретический материал
Арифметический квадратный корень
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.
Действительные числа
Рациональное число можно записать в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной.
Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными числами. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Квадратный корень из степени
Теорема 1. Если а и в 0, то =
.
Теорема 1 верна и тогда, когда число множителей под знаком корня больше двух.
=
.
Теорема 2. Если а 0 и в 0, то=
.
Для доказательства достаточно установить, что 1) 0 и 2) (
)2=
.
Теорема 1. | Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел: |
Задания для самостоятельной работы № 2
1. Найдите значение арифметического квадратного корня:
2. Найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен:
3. Вычислите:
4. Найдите значение корня:
5. Найдите значение выражения:
6. Найдите значение произведения:
Зачет № 3 по теме: «Квадратные уравнения».
Цели:
- Систематизировать полученные ранее знания о квадратных уравнениях;
- Выработать умения решать квадратные уравнения; уравнения, сводящиеся к квадратным и применять их к решению задач;
- Познакомить с общим видом квадратного уравнения и формулами для нахождения корней.
Основные понятия и определения:
- квадратное уравнение и его корни;
- неполные квадратные уравнения;
- метод выделения полного квадрата;
- решение квадратных уравнений;
- приведенное квадратное уравнение;
- теорема Виета;
- уравнения, сводящиеся к квадратным;
- решение задач с помощью квадратных уравнений;
- решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени;
- комплексные числа.
Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны знать:
- определение квадратного уравнения, формулы его корней, теорему Виета;
Учащиеся должны уметь:
- решать разнообразные квадратные уравнения, дробные рациональные уравнения, решать задачи с помощью уравнений.
Теоретический материал:
Квадратные уравнения
Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида
где коэффициенты a, b, c — любые действительные числа, причем a ≠ 0.
Коэффициенты a, b, c различают по названиям: a — первый, или старший, коэффициент; b — второй коэффициент, или коэффициент при x; c — свободный член.
Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
Так, уравнение
— неприведенное квадратное уравнение (старший коэффициент равен 2), а уравнение
— приведенное квадратное уравнение.
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Определение 3. Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю.
Обратите внимание: об речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.
Определение 4. Корнем квадратного уравнения называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен
обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения — это такое значение x, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0 = 0.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Теорема Виета
Теорема 1 |
| Пусть x1, x2 — корни квадратного уравнения |
Например, для уравнения , не находя его корней, можно, воспользовавшись теоремой Виета, сразу сказать, что сумма корней равна
, а произведение корней равно
, т. е. - 2. А для уравнения
заключаем: сумма корней равна 6, произведение корней равно 8; между прочим, здесь нетрудно догадаться, чему равны корни: 4 и 2.
Доказательство теоремы Виета. Корни x1 и x2 квадратного уравнения находятся по формулам
где — дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим
Первое соотношение доказано: .
Теперь вычислим произведение корней x1 и x2 Имеем
Второе соотношение доказано:
Замечание. Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень (т. е. когда D = 0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.
Особенно простой вид принимают доказанные соотношения для приведенного квадратного уравнения . В этом случае получаем:
т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
С помощью теоремы Виета можно получить и другие соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пусть, например, x1 и x2 — корни приведенного квадратного уравнения . Тогда
Итак,
Однако основное назначение теоремы Виета не в том, что она выражает некоторые соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Гораздо важнее то, что с помощью теоремы Виета выводится формула разложения квадратного трехчлена на множители, без которой мы в дальнейшем не обойдемся.
Теорема 2. | Если |
Доказательство. Имеем
По теореме Виета, ,
. Значит,
Формулы корней квадратных уравнений
Пусть дано квадратное уравнение . Имеем
Обычно выражение обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения
(или дискриминантом квадратного трехчлена
).
Таким образом,
Значит, квадратное уравнение можно переписать в виде
и далее
(1)
Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.
Теорема 1. | Если |
Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях x принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения x, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Здесь a = 2, b = 4, c = 7,
Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Теорема 2. |
| Если |
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид . Значит,
, т.е.
- единственный корень уравнения.
Замечание 1. Помните ли вы, что — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции
? Почему именно это значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения
? «Ларчик» открывается просто: если D = 0, то, как мы установили ранее,
Графиком же функции является парабола с вершиной в точке
(см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение. Здесь a = 4, b = -20, c = 25,
Так как D =0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле Значит,
.
Ответ: 2,5.
Задания для самостоятельной работы № 3
Уровень 1.
Практическая часть:
- В квадратном уравнении подчеркните одной чертой первый коэффициент, двумя чертами второй и тремя – свободный член:
2. Решите уравнение:
3. Решите уравнение и сделайте проверку:
4. Найдите корни уравнения:
5. Найдите дискриминант квадратного уравнения:
6. Сколько корней имеет уравнение:
7. Решите уравнение:
- Решите уравнение:
- Решите уравнение:
- Решите систему уравнений:
Зачет № 4 по теме: «Квадратичная функция».
Цели:
- Систематизировать полученные ранее сведения о квадратичной функции;
- Сформировать представления о функции y=x2 и ее графике;
- Сформировать представления о функции y=аx2 и ее графике;
- Сформировать представления о функции y=ax2+bx+c;
- Уделить внимание на построение графика с использованием координат вершины параболы, нулей функции и нескольких дополнительных точек;
- Сформировать умения определять по графику промежутки возрастания и убывания функции, нули функции.
Основные понятия и определения:
- определение квадратичной функции;
- построение графика квадратичной функции;
- функция y=x2;
- функция y=аx2;
- функция y=ax2+bx+c
Теоретический материал:
Квадратным уравнением называют уравнение вида , где
— любые числа (коэффициенты), причем
. Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причем различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.
Пример. Решить уравнение .
Решение.
I способ. Построим график функции
1) Имеем: . Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы — прямая x = 1.
2) Возьмем на оси x две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки x = -1 и x = 3. Имеем . Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).
Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения параболы с осью x; значит, корни уравнения таковы: x1 = - 1, x2 = 3.
II способ. Преобразуем уравнение к виду . Построим в одной системе координат графики функций
и
(рис. 69). Они пересекаются в двух точках A (- 1; 1) и B (3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B, значит, x1 = - 1, x2 = 3.
Рассмотрим многочлен , где a,b,c - числа (коэффициенты), причем a ≠ 0. Его обычно называют квадратным трехчленом; при этом одночлен
называют старшим членом квадратного трехчлена, а коэффициент a — старшим коэффициентом.
Функцию , где a,b,c - произвольные числа, причем a ≠ 0, называют квадратичной функцией. Это название можно объяснить тем, что старший член трехчлена
содержит x в квадрате.
Опираясь на результаты, полученные выше, мы сможем построить график любой квадратичной функции. Один такой график мы построили в конце предыдущего параграфа, воспользовавшись методом выделения полного квадрата. Рассмотрим еще один пример.
Пример 1. Построить график .
Решение. Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене . Имеем
.
Для построения графика функции перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1; 4) (пунктирные прямые x = - 1 и y = 4 на рис. 61). Привяжем функцию
к новой системе координат. С этой целью выберем контрольные точки для функции
, например: (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 61). По этим точкам построим параболу - получим требуемый график (рис. 62).
Итак, применив метод выделения полного квадрата, мы преобразовали квадратный трехчлен к виду и использовали алгоритм 2 (заметим, что с равным успехом мы могли бы использовать и алгоритм 1 - кому что нравится). Оказалось, что графиком функции
является парабола, которая получается из параболы
параллельным переносом. А в конце предыдущего параграфа мы установили, что графиком функции
также является парабола; она получается из параболы
параллельным переносом. Оказывается, график любой квадратичной функции
можно получить из параболы
параллельным переносом, причем для доказательства этого факта используется та же идея - выделение полного квадрата.
Теорема | Графиком квадратичной функции |
Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем
.
Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен
к виду
, где
,
.
Чтобы построить график функции , нужно выполнить параллельный перенос параболы
так, чтобы вершина параболы оказалась в точке
(рис. 63). Теорема доказана.
Обратите внимание на следующее важное обстоятельство: из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы служит точка
. Осью параболы является прямая
, т.е.
.
Итак, осью параболы служит прямая
; абсцисса
вершины параболы
вычисляется по формуле
.
Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле , т.е.
). Во-первых, она довольно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса
, то ординату
всегда можно вычислить по формуле
, где
.
Задания для самостоятельной работы № 4
Уровень 1.
1. В одной и той же системе координат постройте графики функций и
Используя построенные графики:
1) выясните, какая из этих функций:
а) возрастает в промежутке
б) убывает в промежутке
2) решите неравенство:
а) б)
в)
г)
2. Принадлежит ли графику функции точка
3. Найдите координаты точки пересечения параболы и прямой:
4. Является ли функция возрастающей (убывающей):
1) на отрезке 2) в интервале
3) на отрезке 4) в интервале
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции где
Уровень 2.
1. Найдите координаты вершины параболы:
2. Найдите координаты точки пересечения параболы с осями координат:
3. Постройте график функции и найдите, используя график:
1) значение функции при
2) значение х, при которых у = 7; –3;
3) нули функции, промежутки, в которых
4) промежутки возрастания и убывания функции;
5) значение х, при котором функция принимает наибольшее или наименьшее значение.
4. Принадлежит ли графику функции точки
Литература
- Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин «Алгебра, учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений». – М.: Просвещение, 2004 г.
- Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров «Изучение алгебры в 7 – 9 классах». – М.: Просвещение, 2004 г.
- Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович «Алгебра. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы». – М.: Дрофа, 2002 г.
- Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова «Математика. Экспериментальная экзаменационная работа 8 класс. Типовые тестовые задания». – М.: Экзамен, 2008 г.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/11/18/picture-147265-1353263984.jpg)
Урок-зачет по теме - Обратная пропорциональность Алгебра 8 класс
Групповая работа на уроке - это деятельность школьников, которая является коллективной. Цель этой деятельности требует объединения усилий всего коллектива.В этом процессе между членами коллектива...
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/18/picture-155780-1361131675.jpg)
Зачеты по алгебре по темам: "Производная", "Применение производной". 10 класс.
Зачет имеет большое обучающее и воспитывающее значение для учащихся.В вечерней школе зачеты проводятся после каждой большой темы или раздела программы. Подготовка к зачетам должна начинаться с п...
![](/sites/default/files/pictures/2014/08/06/picture-272497-1407305665.jpg)
Вопросы к теоретическому зачету по теме "Функция" по алгебре 9 класс.
Представлены вопросы по теоретическому материалу по теме "Функция" для учеников 9 класса....
![](/sites/default/files/pictures/2018/06/16/picture-173524-1529171127.jpg)
Подготовка к зачету по алгебре по теме: "Показательная функция", 11 класс
Предложенный материал содержит теоретические вопросы и примерные задания для подготовки к зачетному занятию по теме: "Показательная функция"...
к тематическому зачету по алгебре 8 класс
вопросы составлены по трем темамм "Неравенства", "Квадратные корни", "квадратные уравнения"...
зачеты по алгебре 8 класс
вопросы к зачетам...