Зачеты по алгебре по темам: "Производная", "Применение производной". 10 класс.
учебно-методическое пособие по алгебре (10 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение вечерняя (сменная) общеобразовательная школа №8 городского округа Самара

ЗАЧЕТЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА. 10 КЛАСС.

(Дифференцированный подход)

                                                                           Автор: Колосова Г.В.-

                                                                        учитель математики

                                                                                    МОУ ВСШ №8 г.о. Самара

Самара 2010

Содержание.

Введение________________________________________________________

1.Зачет № 3 по теме «Производная»_________________________________

1.1.Карточки- информаторы к зачету №3. Уровень А.__________________

2. Зачет № 4 по теме «Применение производной»______________________

2.1. Карточки-информаторы к зачету №4. Уровень А.__________________

3. Литература____________________________________________________

Введение.

Зачет имеет большое обучающее и воспитывающее значение для учащихся.

В вечерней школе зачеты проводятся после каждой большой темы или раздела программы. Подготовка к зачетам должна начинаться с первого урока нового зачетного периода.

Во время зачетов учащимся предлагается выполнить следующую работу:

1. Ответить на вопросы устно или письменно (вопросы заранее предлагаются учащимся)

2. Решить примеры и задачи.

Карточки с заданиями предлагаются дифференцированно, с учетом индивидуальных особенностей каждого ученика. Ответы на задания из карточек   группы «А» оцениваются в три балла. К ним дополнительно предлагаются карточки- информаторы, с аналогичными задачами. Ответы на задания группы «В» оцениваются в  четыре балла, группы «С» - в  пять баллов.

Получив задание, учащийся выполняет его письменно, а затем сдает учителю, который тут же проверяет и объявляет оценку.

1. Зачет №3 по теме: « Производная»

Карточка 1. (Уровень А)

І. Приращение функции и аргумента.

ІІ. Производная степенной функции.

ІІІ. Решите примеры:

1). Найдите приращение функции в точке х0, если f(x)=; х0=3; Δх =0,1.

2). Вычислите значение производной функции f(x) = 4x7+6x4+10x при х=1.

3). Решите неравенство f'(x)>0, если f(x)=-6x2-15x.

   Карточка 2. (Уровень А)

І. Правила вычисления производных.

ІІ. Производные элементарных функций.

ІІІ. Решите примеры:

1). Вычислите производную функции f(x)=

2). Найдите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)=2 tgx; x0=0.

3). Решите уравнение: f'(x)=0, если f(x)=-x3+4х2-9x..

Карточка 3. (Уровень А)

І. Понятие о производной.

ІІ.  Основные правила нахождения производных.

ІІІ. Решите примеры:

1). Вычислите  в точке х0, если f(x)=15x2-7,   х0=2, Δх =0,5.

2). Вычислите  значение производной функции f  в данной точке, если f(x)=2х ∙ cosx; x0=0.

3). Найдите значения х, при которых производная функции  f равна нулю, если f(x)=2 x4-16х3.

Карточка 4. (Уровень В)

І. Мгновенная скорость движения. Производная.

ІІ. Таблица производных.

ІІІ. Решите примеры:

1). Найдите мгновенную скорость  точки, движущейся по закону х (t)=t2-4, в момент времени  t0=4.

2). Найдите  f'(x), f'(-2), если  f(x) = (2+)(x-2).

3). Решите неравенство f'(x)>0, если f(x)=sin2x.

   Карточка 5. (Уровень В)

І. Производная частного двух функций.

ІІ. Производная сложной  функции.

ІІІ. Решите примеры:

1). Найдите производную данной функции f(x)=. Вычислите

2f'(-2)+3f (1).

2). Вычислите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)= ()∙ ctgx; x0=.

3). Составьте и решите уравнение: f'(x)= f(x) – 3х, если f(x)=3х+ .

Карточка 6. (Уровень В)

І. Производная произведения двух функций.

ІІ.  Формулы дифференцирования синуса и тангенса сложных функций.

ІІІ. Решите примеры:

1). Найдите производную функции f(x)=(2-)∙tg2x.

2). Решите уравнение  f'(x)=0, если f(x)=1,5sin2x-5sinx-x.

3). Докажите, что при всех допустимых значениях х производная функции g(x) не может принимать отрицательных значений, если: g(x)=tg.

Карточка 7. (Уровень C)

І. Понятие о непрерывности функции и предельном переходе.

ІІ. Основные правила дифференцирования функций.

ІІІ. Решите примеры:

1). Найдите корни уравнения f '(x)=0,  принадлежащие отрезку [], если f(х) = cos (.

2). Найдите  производную функции  f(x) = , в точке х0=.

3). Укажите, какой формулой можно задать функцию у= f(x), если  

f '(x)=-20 (4-5х)3.

   Карточка 8. (Уровень C)

І. Производная сложной  функции.

ІІ. Основные правила дифференцирования.

ІІІ. Решите примеры:

1). Найдите точки, в которых  f '(х)=0,  f '(x)>0, если f (x)=4x+cos (4x-).

2).  Найдите значения  аргумента, удовлетворяющие условию f '(х)=g' (x), если f(x)= , g (x) =.

3). Найдите производную функции у=tg(3x-), в точке х0=.

Карточка 9. (Уровень C)

І. Понятие производной. Мгновенная скорость движения.

ІІ.  Формула производной  сложной  функции.

ІІІ. Решите примеры:

1). Дано: f(x) = csin2x+ d cosx,  f '()= 4; f '()=-8. Чему равны c и d?

2). Вычислите скорость изменения функции у= cos ()  в точке х0=.

3). При каких значениях х выполняется равенство  f '(х)=2, если известно, что f (х)=2-5?

1.1 Карточки-информаторы к зачету №3.

1). Найдите приращение функции в точке х0, если f(x)=; х0=1; Δх =0,1.

Решение:

1. Находим значение х0+Δх:   х0+Δх=1+0,1=1,1

2. Вычисляем значение f(x0):  f(1)=

3.Вычисляем значение f(x0+Δх):    f(1,1)=

4. Находим приращение функции Δf(x): Δf(x)= f(1,1)- f(1)=0,605- 0,5=0,105

        Ответ: Δf(x)=0,105

2). Вычислите значение производной функции f(x) = 8x6+5x3+12x при х=1.

Решение:

1. f '(x) = (8x6)' +(5x3)' +(12x)'=8∙6х5+5∙3х2+12∙1=48х5+15х2+12

2. f '(1)= 48∙15+15∙12+12=75

Ответ: 75

3). Решите неравенство f '(x)>0, если f(x)= -10x2-17x.

Решение:

1. f '(x)=(-10x2)'- (17x)'= -10∙2х-17∙1= -20х-17

2. f '(x)>0,  -20х-17>0, -20х >17, х< -

Ответ: f '(x)>0,  при  х<-.

4). Вычислите производную функции f(x)=

Решение:

f '(x)==

5). Найдите значение производной функции при заданном значении аргумента, если f(x)=5 tgx,  x0=.

Решение:

1. f '(x)=( 5 tgx)'=5∙

2. f '()=5∙

Ответ: f '()=20

6). Решите уравнение: f '(x)=0, если f(x)=x3+х2-3x.

Решение:

1. f '(x)=(x3)'+(х2)'-(3x)'=∙3x2+∙2х-3∙1=2х2+х-3

2. f '(x)=0, 2х2+х-3=0, D= в2-4ас=12-4∙2∙ (-3)=25,

х1=

х2=

Ответ: f '(x)=0, при х = -1,5; 1

7). Вычислите значение производной функции в данной точке, если  

f (x)=3х∙sin x, x0=0

Решение:

1. (u∙v)'=u'∙v + u∙v'

f '(x)=(3x)' sin x + 3x ∙(sin x)' = 3 ∙sin x + 3x ∙ cos x

2. f '(0)= 3∙ sin 0 + 3∙ 0 ∙cos 0 = 3 ∙0 + 0 ∙1 = 0

Ответ: f '(0)= 0

2.  Зачёт №4 по теме «Применение производной»

Карточка 1. (Уровень А)

I. Непрерывность функции. Метод интервалов.

II. Производная в физике.

III. Решите примеры:

1). Решите неравенство (3х-6)(2х+4) ≥ 0.

2). Найдите область определения функции  f(х) =  .

3). Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 6t3+2t-3. Найдите скорость в момент времени  t= 2 с.

Карточка 2. (Уровень А)

І. Признак возрастания функции.

ІІ. Точки максимума и минимума функции.

III. Решите примеры:

1). Найдите промежутки возрастания функции f(х) =  7х2-8х+3

2). Найдите критические точки функции f(х) =  8х3-5х2-4.

  Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума.

3). Докажите, что функция f(х) =  6х5+4х не имеет критических точек.

Карточка 3. (Уровень А)

І. Признак убывания функции.

ІІ. Касательная к графику функции.

III. Решите примеры:

1). Найдите промежутки убывания функции f(х) = 4+16х-х2

2). Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) =  х3-6 в точке с абсциссой х0 = -1

3). Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку А (1;2) графика функции  f(х) = х2+4х

Карточка 4. (Уровень В)

І.Приближенные вычисления.

ІІ. Уравнение касательной.

III. Решите примеры:

1). Вычислите приближенное значение 1,005100.

2). На графике функции g(х) = найдите точку, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

3). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

f(х) = (х2+2)(х3-3), в точке х0 = 2.

Карточка 5. (Уровень В)

І. Необходимое условие существования экстремума. Признаки максимума и минимума функции.

ІІ. Производная в технике.

III. Решите примеры:

1). Найдите точки экстремума функции   f(х) = (х+1)2(х+5)2.

2). Найдите критические точки функции f(х) = sin.

3). Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 6 с. Найдите угловую скорость через 40с после начала вращения.

Карточка 6. (Уровень В)

І. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

ІІ. Исследование квадратичной функции с помощью производной.

III. Решите примеры:

1). Найдите наибольшее значение функции f(х) = (х+1)2(х+4) на данном промежутке [-5;0]

2). Исследуйте функцию у= 2х2+3х-5 и  постройте её график.

3). При каких значениях n функция f(х) =   непрерывна на всей числовой прямой.

Карточка 7. (Уровень С)

І. Исследование функции с помощью производной.

ІІ. Практические задачи на нахождение наибольшего  и наименьшего  значений функции.

III. Решите примеры:

1). Исследуйте функцию и постройте её график:

у = .

2). Среди всех равнобедренных треугольников с боковой стороной 5 см найдите треугольник наибольшей площади.

Карточка 8. (Уровень С)

1. Исследование функции с помощью производной.

2. Точки экстремума функции.

3. Решите примеры.

1). Исследуйте функцию у=х2 и постройте её график.

2. Найдите точки экстремума функции f(х) = cos 2х+2sin х .

Карточка 9. (Уровень С)

1. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке

2. Уравнение касательной к графику функции.

3. Решите примеры.

1. Известно, что наименьшее значение функции f(х) = 3х2-х3 на промежутке

 [-2; в] равно нулю. При каком максимальном значении в выполняется это условие?

2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х) = , если её угловой коэффициент равен к= .

2.1 Карточки-информаторы к зачету №4.

1). Решите неравенство (4х-6)(5х+10) ≥ 0.

Решение:

1. Рассмотрим функцию у= (4х-8)(5х+10)

2. Найдем нули функции: у=0, (4х-8)(5х+10) = 0, 4х-8=0 или 5х+10=0

                                                                                      4х=8           5х=-10

            +                  -                        +                           х=2              х= -2

3.   """"∙                                  ∙"""""           х

             -2                                 2

Ответ: (],

2). Найдите область определения функции  f(х) =  .

Решение:

1. Решим неравенство: 2х2+х-3≥ 0

2. Рассмотрим функцию у=2х2+х-3 и найдем ее  нули:

2х2+х-3=0, D= в2-4ас=12-4∙2∙ (-3)=25,

х1=

х2=

            +                  -                        +                          

3.   """"∙                                  ∙"""""           х

             -1,5                               1

Ответ: (],

3). Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 5t3+30t-7 (м). Найдите скорость в момент времени  t= 1 с.

Решение:

1. v(t)= х '(t) =(5t3+30t-7)'=5∙3t2+30∙1-0=15 t2+30

2. v(1)= 15 ∙12+30= 45 (м/с)

Ответ: v(1)=  45 м/с.

4). Найдите промежутки возрастания и убывания  функции f(х) =  10х2-2х+1

Решение:

1. Область определения функции: D(f)=R

2. Найдем производную функции: f '(х) =  (10х2-2х+1)'=10∙2х-2∙1+0=20х-2

3. Решим неравенства: а) f '(х)>0,                      б) f '(х)<0.

                                           20х-2>0                          20х-2<0

                                            20х>2                              20х<2

                                             х >                              х <

Ответ: функция f(х) =  10х2-2х+1 возрастает при х >, убывает при х < .

5). Найдите критические точки функции f(х) =  5х3+3х2-1

  Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума.

Решение:

1. Найдем производную данной функции: f (х) =  (5х3+3х2-1)'=

=5∙3х2+3∙2х-0=15х2+6х

2. Найдем критические точки: f '(х)=0, 15х2+6х=0, 3х (5х+2)=0, х=0 или 5х+2=0,  5х = -2, х = -0,4

            +                  -                        +                          

3.   """"∙                                  ∙"""""           х

            -0,4                               0

            max                             min

Ответ: хmax= -0,4, xmin=0.

6). Напишите уравнение касательной к графику функции f(х) =  3х3+4 в точке с абсциссой х0 = 2.

Решение:

1. Найдем у0= f (х0):  f(2)= 3∙23+4=28

2. Найдем f '(х): f '(х)= (3х3+4)'=3∙3х2+0=9х2

3.Найдем f '(х0): f '(2)=9∙22=36

4. Подставим полученные результаты в уравнение касательной:

у= у0 + f '(х0)∙ (х-х0):

у=28+36(х-2), у=28+36х-72, у=36х-44- искомое уравнение касательной.        

7). Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку А (2;-3) графика функции  f(х) =х3+2х.

Решение:

1. Найдем производную: f '(х) =(х3+2х)'=3х2+2

2. Найдем  f '(х): f '(2)= 3∙22+2=14

3. tg= f '(2)=14

Ответ: 14

3.Литература.

1.Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений./[А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]: под редакцией А.Н. Колмогорова.-19-е изд.- М.: Просвещение, 2010.

2. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.

3.Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Галашвили. Тесты по алгебре и началам анализа. 10 класс. Издательство «Экзамен». Москва,2010.