Урок по алгебре "Числовая последовательность", 9 класс
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

                         Конспект урока алгебры, 9 класс.

Тема  «Числовые последовательности».

Цели урока:

- закрепить знание способов задания числовой последовательности;

- изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в  

                                                                                  ходе выполнения упражнений;

     - развить логическое мышление учащихся;

     - проверить знания учащихся (самостоятельная работа в виде теста).

Оборудование: мультимедиапроектор, ПК, презентация, доска, мел, указка.

Урок - закрепления  по теме «Числовые последовательности. Определение числовой последовательности и способы её задания», поэтому ведущая роль принадлежит учащимся.

Ход урока.

 I. Сообщение темы и цели урока.

1).  закрепить знание способов задания числовой последовательности;

   2). изучить свойства числовых последовательностей и научиться применять их в  ходе выполнения упражнений;

 3).  Самостоятельная работа в виде теста.

II.Вопросы.

Вопросы проектируются на экран мультимедиапроектором:

     1. Назовите способы задания числовой последовательности и опишите каждый из способов

Ответ: - Аналитический (Последовательность задана аналитически, если указана формула её n-го члена уn = f(n)

                -  Словесный (Последовательность описана словами, а не формулами)

                - Рекуррентный (Он состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член последовательности, если известны её предыдущие члены)

Тест    (Тест выполняется в течении урока на листочках. В ответ записывать букву, которая соответствует правильному решению. В результате получится  задуманное слово)

Вопросы проектируются на экран мультимедиапроектором:

1. Найти второй член последовательности, заданной рекуррентным способом

  уn  = 1,         yn = yn-1 + 2      (n = 2,3,4, …)

И  (2)                   Ф  (3)                М  (5)

2. Выберите член последовательности (уn ), который следует за  yn+9 

Е  (у10)                    О  (уn+8)                     И  (yn+10)

3. Выберите член последовательности (уn ), который предшествует члену y2n 

Б  (у2n -1)              О  (у2n +1)                      Р  (уn)

III. Устные упражнения.

Работа устно с мультимедиапроектором. 

Задание 1  Составьте математическую модель следующей задачи.

  Сосулька  тает со скоростью 5 капель в минуту. Сколько капель упадёт на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки?  Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?  

Ответ: y = 5n

y1 = 5*1 = 5

y2 = 5*2 = 10

y3 = 5*3 = 15

y4 = 5*4 = 20 эта математическая модель является последовательностью

Задание 2  Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите её восьмой, десятый, тридцать седьмой, n-ый члены.  

Ответ: х = 7n

х1 = 7*1 = 7                                                 х8 = 7*8 = 56

х2 = 7*2 = 14                                               х10 = 7*10 = 70

х3 = 7*3 = 21                                               х37 = 7*37 = 256

             х4 = 7*4 = 28

Тест    

4. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые 3 члена последовательности              yn = n2 – 4

О  (-3, 0, 5)               Н  (-2, 0, 2)                    Д  (3, 0, 5)

5. Найти третий член последовательности

              yn = n + 1

                      n2 – 8

Н  (4)                         О  (-2)                  К   1

                                                                     4

6. Найти четвёртый член последовательности    уn  = 2n

О  (8)                А  (16)                С  (20)

 Задание 3    Подобрать формулу n-го члена последовательности  2, 3, 4, 5, …

Ответ: yn = n  + 1

y1 = 1 + 1 = 2

y2 = 2 + 1 = 3

            y3 = 3 + 1 = 4

            y4 = 3 + 1 = 5

Тест    

7. Подберите формулу n-го члена последовательности  3, 6, 9, 12, 15, …

Ч  (3n)               В  (n + 3)             Т  (2n + 1)

IV. Работа по теме урока. (отображается на проекторе)

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций рассматривают и для последовательностей. Ограничимся свойством монотонности.

Н-р:    1, 3, 5, 7, … ,2n – 1, …              последовательность возрастающая

Вопрос: Какая последовательность называется возрастающей?

Опр.1 Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый её член (кроме первого) больше предыдущего: y1 < y2 < y3 < . . . < yn < yn+1 < . . .

Пример 1 (на доске) Доказать, что последовательность является возрастающей yn = 2n

Ответ: 2, 4, 8, 16, 32, …

Н-р:    1, 1 , 1 , 1 , … , 1 , …  последовательность убывающая

               2   3   4          n

Опр.2 Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый её член (кроме первого) меньше предыдущего: y1 > y2 > y3 > . . . >yn > yn+1 > . . .

Пример 2 (на доске)Доказать, что последовательность является убывающей

 yn=  1   n

      3

Ответ: 1,  1 ,   1 ,   1 ,    1 , …  

                        3     9     27   81

Н-р:    1, _  1 ,  1 ,  _  1 , … , (- 1)n-1 1 , …  немонотонная последовательность

                        2    3        4                      n

Вывод: (обобщим примеры 1 и 2и сделаем вывод)

1. Если n >1, то последовательность    yn = an возрастает

2. Если 0< n < 1, то последовательность   yn = an убывает.

№387 (стр.88)(Работа оформляется на доске и в тетрадях.)

Ответ: простые числа:    2, 3,  5,   7,   11,   13,   17

Квадраты простых чисел: 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289

№385(а,в) (Работа оформляется на доске и в тетрадях.)

   а). Решение: yn = 3n  + 4                              в). Решение: yn = 7n  - 2

   y1 = 3*1 + 4 = 7                                                       y1 = 7*1 - 2 = 5

    y2 = 3*2 + 4 = 10                                                     y2 = 7*2 - 2 = 12

                 y3 = 3*3 + 4 = 13                                                      y3 = 7*3 - 2 = 19

                 y4 = 3*4 + 4 = 16                                                      y4 = 7*3 - 2 = 26

Ответ: 7, 10, 13, 16, … возрастающая        Ответ: 5, 12, 19, 26, … возрастающая       

№385(а,в) (самостоятельно с проверкой)

   а). Решение: yn = - 2n  - 3                              в). Решение: yn = 4 - 5n  

   y1 = - 2*1 - 3 = - 5                                                       y1 = 4 - 5*1 = - 1

    y2 = - 2*2 - 3 = - 7                                                     y2 = 4 - 5*2 = - 6

                 y3 = - 2*3 - 3 = - 9                                                      y3 = 4 - 5*3 = - 11

                 y4 = - 2*4 - 3 = - 11                                                    y4 = 4 - 5*3 = - 16

Ответ: - 5, - 7, - 9, -11, … убывающая      Ответ: - 1, - 6, - 11, - 16, … убывающая       

Задание  Исследовать на монотонность числовые последовательности

   а). хn = n2  + 1

          Ответ: 2, 5, 10, 17, …   возрастающая

   б). хn = - 6n  + 3

          Ответ: - 3, - 9, - 15, - 21, …   убывающая      

   в). хn = (- 1)n  

          Ответ: - 1, 1, - 1, 1, …   немонотонная    

Тест    

8. Исследовать на монотонность последовательность  yn = 2n - 2

Ь  (убывающая)          И  (немонотонная)           Ч  (возрастающая)

9. Какая из следующих последовательностей является убывающей

И   n + 1             М  1 -  1              Ч    5n  

         n                             2n                  n + 1

ОТВЕТЫ ТЕСТА  ФИБОНАЧЧИ

            Леонардо Фибоначчи - Это итальянский математик XIII в.

Автор «Книги абака» (1202г.), в которой говорилось о десятичной системе счисления.

  Позже он установил связь с последовательностью чисел, которую он рассмотрел при решении задачи о размножении кроликов.  Здесь первые два числа единицы, а каждое последующее равно сумме двух предыдущих.

  Поэтому рекуррентную последовательность ещё называют последовательностью Фибоначчи.

Дополнительно № 404(а) , № 405(а)

VI. Рефлексия

Учитель предлагает ученикам ответить письменно на вопросы:

- Мои чувства во время урока?

- Где испытывали трудности?

 - Ваше настроение после урока?

- Что на уроке вам понравилось?

VII. Домашнее задание.

№ 922(в,г), № 923(в,г), 924(2, 3) стр. 233,234