Решение иррациональных уравнений
статья по алгебре (10 класс) по теме

Урок математики в 10 классе.

Решение иррациональных уравнений.

Решение иррациональных уравнений изучается в теме « Степенная функция» в 10 классе, на тему отводится 20 часов, обучение ведется по учебнику Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина, Ю.В.Сидорова. Данный урок – третий урок по теме, учащиеся уже познакомились с иррациональными уравнениями, знают традиционные способы решения данных уравнений ( уединение радикала, возведение в степень и т.д.).

Для учащихся решение иррациональных уравнений оказывается сложнее, чем, например, решение показательных и логарифмических уравнений, поскольку здесь появление посторонних корней, как правило, не связано с областью определения уравнений, что создает у учащихся, которые  не сталкивались с этим ранее, некоторый психологический дискомфорт. Иррациональные уравнения, включенные в задания ЕГЭ ( часть В ), являются уравнениями одного из трех типов: « корень нечетной степени равен числу», «корень четной степени равен числу», «арифметический квадратный корень равен линейному выражению». Задания  С5 – одни из наиболее сложных экзаменационных задач. Их решение сводится к перебору и анализу различных вариантов в той или иной алгебраической ситуации. Иногда для облегчения решений заданий с параметрами удобно придать алгебраическим соотношениям геометрический смысл. На данном уроке уделяется внимание различным ситуациям: учет области определения уравнения, наложение дополнительных условий, использование равносильности преобразований, использование графоаналитического метода при решении задач с параметрами.

Цели урока:

 -рассмотреть различные ситуации при  решении иррациональных уравнений; перейти к   решению уравнений с параметрами;

- формировать навыки самостоятельной работы;

- формировать умение действовать в нестандартной ситуации;

- формировать наблюдательность, логическое мышление.

Ход урока

1. Учащимся предложено решить 9 уравнений, 10 минут отводится на решение.

Решить уравнения:

Учащиеся сдают ответы, затем ответы появляются на доске, учащиеся комментируют, полученные ответы.

 сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, когда каждое слагаемое равно нулю, следовательно, решением данного уравнения  является решение системы:    

2.  Нет решений.

 данное уравнение не имеет решений, так как  левая часть- число неотрицательное, а правая часть- число отрицательное

возвели уравнение в третью степень

 следует обратить внимание на дополнительное условие для существования корней:

число -1 является посторонним корнем, несмотря на то, что удовлетворяет области определения уравнения, но не удовлетворяет дополнительны условия

область определения уравнения  , поэтому 3 не является корнем уравнения.

6. Нет решения.

 область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством, так как :    

7.      Условие для существования корней
8. 

Уравнение может быть правильно решено даже при отсутствии

упоминания об области определения уравнения. Более того, верно найденная ООУ и отбор корней по ней не гарантирует появления посторонних корней, и сама задача нахождения ООУ оказывается сложной, ненужной.

ООУ задается системой:  первое неравенство решить сложно,

В то же время исходное уравнение равносильно системе, которая решается устно.

ООУ состоит из двух чисел: . Проверкой убеждаемся, что корнем уравнения является только значение .

Вывод6 универсальных рекомендаций и рецептов, вообще говоря, нет. Например, нахождение ООУ, как правило, не нужно, но может оказаться полезным. Иногда удобнее пользоваться равносильными системами, иногда использовать следствия и проверку.

Обсудив решение уравнений аналитическими способами, переходим к графическому способу. Сначала вспомним графики некоторых уравнений.

2. Поставить в соответствие графики уравнений и формулы, задающие эти графики, записать в таблицу:

1.                                                                           2)

3)                                                                  4)

3. Переходим  к решению уравнений с параметрами. Решить уравнение:

 нет решений          

Графическая иллюстрация

а)

  решений нет

b)

Ответ: при , ;

     при , решений нет.

4. Найти корни уравнения, для каждого значения параметра.

Ответ: при  , ;

   при

5. При каких значениях параметра а уравнение имеет  три корня:

Ответ: уравнение имеет три корня при

6. При каких значениях параметра а уравнение имеет одно значение.

Рассмотрим графическое решение. Построим графики функций.

 полуокружность, с центром в точке (0,0), радиуса 5

      прямая

Одно решение при , кроме этого данное уравнение будет иметь одно решение, когда прямая является касательной к полуокружности.

Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник, находим значение а, при котором данная прямая будет касательной .

Ответ: уравнение имеет одно решение при  

Подведем итоги:

На уроке были рассмотрены различные ситуации при решении иррациональных уравнений: учет области определения уравнения, наложения дополнительного условия, использование равносильных преобразований, использование графоаналитического метода, что позволяет решать задачи повышенного уровня- задачи с параметром.

Домашнее задание:

Решить уравнения:

5. при каких значениях параметра а, уравнение  имеет два корня.

Ответы: 1.4;  2.2;  3.1;  4. ; 5.