Нестандартные приемы решения уравнений и задач.
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Цнинская средняя общеобразовательная школа №2»

Тамбовский район Тамбовская область

Рассмотрено                                                                               УТВЕРЖДЕНО

 методическим советом                                              Директор школы___  Черникова С.В

Протокол №____                                                           Приказ №____  

от «___»_____2012г.                                                      от «___»_____2012г

.

Рабочая программа

 курса платного дополнительного образования

«Нестандартные приемы решения уравнений и задач»

для 11 класса

                                                                                       Автор составитель

                                                                                         Ширяева Л.Е 

                                                                                       Учитель математики

                                                                                        первой категории

        2012 год        

Пояснительная записка

Одно из направлений модернизации математического образования, является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

 В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), олимпиадах, конкурсных экзаменах встречаются задачи с параметрами и модулями, задания, решаемые нестандартными методами. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью близкой к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты. При решении их используются не только типовые алгоритмы, но и нестандартные методы, упрощающие решение.

 Анализ результатов ЕГЭ за несколько предыдущих лет показывает, что выпускники с большим трудом решают такие задания, а многие даже не приступают  к ним. Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень  общеобразовательных классов, а в профильных рассматривается недостаточно.

Программа курса предназначена для углубленного изучения данного вопроса и является развитием системы ранее приобретенных знаний. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающей научно-теоретическое и алгоритмическое мышление и направлено на развитие самостоятельной исследовательской деятельности.

Цель программы – способствовать развитию у обучающихся  умений и навыков по решению задач  с параметрами, модулями, и  применению нестандартных приемов решения уравнений и неравенств.

        Задачи программы

- интеллектуальное развитие обучающихся,

- формирование повышенного  уровня абстрактного и логического мышления,

- формирование у обучающихся представления о задачах с параметрами как о задачах исследовательского характера,

- создание условий для самостоятельной творческой работы,

- обеспечение подготовки к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

        Материально-техническое обеспечение

Для реализации программы необходимо наличие компьютерной техники  с выходом в сеть Интернет, проектора, интерактивной доски, презентационных сопровождений, подготовленных учителем.

        Используемые технологии

Программа реализуется в  интерактивном режиме.

Использование интерактивных технологий позволит активизировать индивидуальные мыслительные процессы у обучающихся; пробудить у них внутренний диалог; обеспечить понимание информации, являющейся предметом обмена; индивидуализировать взаимодействие обучающихся и преподавателя и обучающихся между собой; вывести детей  на позицию субъекта обучения.

К числу интерактивных технологий, рекомендуемых к использованию в процессе реализации данного модуля можно отнести: технологию развития критического мышления; технологию проведения дискуссий, технологию «Дебаты»; тренинговые технологии. Данные технологии используются в ходе проведения теоретических и практических занятий.

Также в ходе реализации программы целесообразно использование компьютерных технологий, технологий проблемного обучения, проектной деятельности, разноуровневого обучения

Формы и методы обучения

Курс реализуется на основе практико-ориентированного подхода. Предлагается проведение 17 теоретических и 53 практических занятий

В ходе освоения курса  целесообразно проведение лекций-бесед, содержание которых может варьироваться в зависимости от контингента обучющихся. Возможно проведение лекции в форме дискуссии. Практические занятия целесообразно проводить в форме групповой работы. Возможны два варианта проведения занятия: первый, когда группы выполняют разные задания и в конце занятия делятся своими наработками с аудиторией, и второй, когда обучающиеся в группах выполняют одно задание и обсуждают его результаты в аудитории, остальные задания предлагаются им для самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы затем обсуждаются и анализируются.

Теоретическое освоение курса обязательно должно сопровождаться  направляемой преподавателем профессионально-личностной рефлексией.  

Осуществление контроля

Итоговый контроль проводится в форме  защиты учебного проекта

Учебно-тематический план

Содержание  

Тема 1. Алгебраические уравнения (23ч.)

Теоретические занятия (6)

Нестандартный способ решения квадратного уравнения с применением циркуля и линейки. Квадратные уравнения при особых условиях.

Метод неопределенных коэффициентов.

Использование ограниченности функций при решении уравнений.

Использование производной для решения уравнений.

Симметрические и возвратные  уравнения.

Искусственные способы решения алгебраических уравнений. Исследование уравнения на промежутках действительной оси.  Искусственные методы решения алгебраических уравнений: умножение уравнений на функцию; использование симметричности уравнений; исследование уравнения на промежутках действительной оси.

Практические занятия (17)

1. Решение кубических уравнений по формуле Кардано.

2. Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари.

3. Метод неопределенных коэффициентов.

4-5. Решение трансцендентных уравнений. 

6-7. Решение уравнений с использованием неотрицательности функций.

8. Использование ограниченности функций при решении уравнений. Решение уравнений с использованием ограниченности функций.

9. Использование производной для решения уравнений. Решение уравнений с использованием производной.

10-11. Симметрические и возвратные  уравнения. Решение симметричных и возвратных уравнений.

12-13. Умножение уравнения на функцию. Решение уравнений с умножением на функцию.

14-15. Использование симметричности уравнения. Нахождение способов практического применения симметричности уравнений.

16-17. Искусственные способы решения алгебраических уравнений. Исследование уравнения  на промежутках действительной оси. Решение алгебраических уравнений искусственными способами.

Тема 2. Применение метода проектов при обучении математики (4ч.)

Теоретические занятия (2)

Основные этапы организации проектной деятельности обучающихся.  Организация рабочего пространства  проекта. Образовательные ресурсы сети  Internet

Практические занятия (2)

1. Основные этапы организации проектной деятельности обучающихся.  Планирование обучающимися исследовательского проекта.

2. Использование метода проектов в организации исследовательской деятельности обучающихся. Создание продуктов проектной деятельности обучающихся. Создание материалов по сопровождению и поддержке проекта.

Примерные темы  проектов.

1. Формулы Кардана.
2. Метод Феррари для решения уравнений четвертой степени.
3. Теорема Безу.
4. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
5. Основная теорема алгебры многочленов.
6. Франсуа Виет, жизнь и творчество.
7. Квадратный трёхчлен, расположение корней квадратного трёхчлена.
8. Конструирование задач на изучаемую тему курса.
9. Графический способ решения уравнений и неравенств.  
10.  Проект опорных сигналов по способам решения уравнений и неравенств с модулем.

Тема 3. Тригонометрические уравнения и неравенства (9)

Теоретические занятия (2)

Искусственные приемы при решении тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения и неравенства, содержащие параметры, знак модуля или арифметического корня.

Практические занятия (7)

1-2 Решение тригонометрических уравнений с использованием искусственных приемов.

3-5 Решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, знак модуля или арифметический корень

6-7 Решение  систем тригонометрических неравенств методом концентрических  окружностей

Тема 4. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы (10 ч.)

Теоретические занятия (4)

Сведение иррационального уравнения к системе уравнений. Методы решения иррациональных уравнений: метод исследования области определения функций, входящих в данное иррациональное уравнение; метод исследования множества значений функций, входящих в данное иррациональное уравнение (метод оценки); сведение иррационального уравнения к системе уравнений.

Сведение иррационального уравнения к тригонометрическому.  

Искусственные приемы при решении иррациональных уравнений.

 Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами. Иррациональные неравенства. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами. Системы иррациональных уравнений и неравенств.

Практические занятия (6)

1. Сведение иррационального уравнения к системе уравнений. 

2. Сведение иррационального уравнения к тригонометрическому.  

3-4. Решение уравнений с использованием искусственных приемов

5-6. Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами

Тема 5. Уравнения и неравенства, содержащие степени и логарифмы. (8 ч.)

Теоретические занятия (1)

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с модулями и параметрами. Метод почленного деления при решении показательного уравнения. Показательно-степенное уравнение. Метод логарифмирования при решении показательно-степенных уравнений. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифма.

Практические занятия (7)

1-2. Решение показательных уравнений с применением искусственных методов.

3-7. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с модулями и параметрами

Тема 6. Комбинированные уравнения и неравенства (9ч.)

Теоретические занятия (3)

Решение уравнений и неравенств с использованием монотонности  и ограниченности входящих в них функций. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций:  использование ОДЗ, использование ограниченности функции, использование монотонности функции.

Решение уравнений и неравенств  с использованием графиков входящих в них функций. Использование графиков различных функций для решения уравнений и неравенств.  Метод интервалов для непрерывных функций

 Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных. Способы решений уравнений и неравенств сведением их к системе уравнений или неравенств относительно другой неизвестной. Применение производной для решения  уравнений.

Практические занятия (6)

1-2 Решение уравнений и неравенств с использованием монотонности  и ограниченности входящих в них функций

 3-4 Решение уравнений и неравенств  с использованием графиков входящих в них функций.

5-6 Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

Тема 7. Задачи с параметрами  и модулями в заданиях Единого Государственного  экзамена (6 ч.)

Практические занятия

1-3 Решение текстовых задач с параметрами нестандартными методами.

4-6 Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с модулями и параметрами из различных вариантов КИМов ЕГЭ.

Тема 8. Итоговое занятие (1ч.)

Практическое занятие

Защита исследовательских проектов.

Требования к уровню подготовки обучающихся

В результате изучения программы  курса учащиеся получают возможность

узнать:

• алгоритмы решения уравнений, неравенств,  их систем с модулями и параметрами;
• различные нестандартные приемы  решения задач, тригонометрических, иррациональных, показательных и комбинированных уравнений, неравенств и их систем;
• нестандартные приемы решения прикладных задач  

научиться:

• обобщать и систематизировать сведения об уравнениях, неравенствах, системах уравнений и неравенств и методах их решения;
• решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;

• решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, содержащих параметр;
• применять различные приемы при решении тригонометрических, иррациональных, показательных и комбинированных уравнений и неравенств;
• выбирать наиболее рациональные способы решения математических задач;
• извлекать необходимую информацию из учебной, справочной, научной литературы.
• применять теорию многочленов к нахождению корней рационального уравнения с целыми коэффициентами; усвоить основные методы решения алгебраических уравнений
• применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач.

Информационные источники для учителя:

1. Айвазян, Д.Ф. Математика.10-11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс/Д.Ф. Айвазян. Волгоград: Учитель, 2009. -204с. В.И. Голубев Решение сложных задач по математике. - М.: Илекса, 2007
2. Горштейн, П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами/ Горштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.  М.:Просвещение, 2007г.
3. Севрюков, П.Ф., Смоляков А.Н. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства, 2006г.
4. Цыпкин, А.Г.Справочник по методам решения задач по математике/ А.Г. Цыпкин, А.И, Пинский -М.:Наука. Гл.ред. физ.-мат. Лит., 1989.-576с.
5. Иррациональные уравнения и неравенства/ А.Х. Шхмейстер М: МЦНМО 2011.-216с.
6. Шахмейстер,  А.Х. Задачи с параметрами на экзаменах/ А.Х. Шахмейстера М: МЦНМО 2011.-248с.
7. Материалы ЕГЭ, допущенные ФИПИ 2009-2012

Информационные источники для обучающихся:

 1. Амелькин, В.В. Задачи с параметрами./ В.В, Амелькин, В.Л. Рабинович В.Л.: Минск, «Асар»,1996г.

2. Олехник, С.Н.  Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения./ С.Н. Олехник.: Москва, «Дрофа», 2001-189с.

3. Жафяров, А.Ж. Математика ЕГЭ. Решение задач  повышенного уровня С3/А.Ж. Жафяров. - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во,2010-181с.

Календарно-тематическое планирование