Урок по теме Последовательности
план-конспект урока по алгебре

Конспект урока по теме «Последовательности»

Цели урока: 

• создание условий для: формирования понятия числовой последовательности и способов её задания;
• развития способности  к обобщению, сравнению; эмоционального восприятия математических объектов;
• формирования представлений о математике как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира, как части общечеловеческой культуры.

личностные: 

• умение понимать смысл поставленной задачи, ясно и чётко излагать свои мысли в устной речи, выстраивать аргументацию, приводить контрпримеры;
• самооценка результатов деятельности;
• умение работать в команде;
• представление о значении математической науки как сфере человеческой деятельности;

 метапредметные: 

• умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогию, выдвигать гипотезы при решении учебных задач;
• осознанное чтение текста;
• способность к интерпретации;
• представление о математике как средстве моделирования явлений окружающего мира;

предметные: 

• понятие числовой последовательности;
• умение использовать индексные обозначения и строить речевые высказывания с использованием специальной терминологии ( ап ;  ап-1; ап+1  и т.п.);
• умение устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько её новых членов;
• умение изображать члены последовательности точками на координатной плоскости;
• использовать различные языки математики (словесный – символический – графический).

 Ход урока 

I этап. Актуализация знаний учащихся 

  1.1. Учитель. Сегодня мы приступаем к изучению новой для вас темы. Эта тема может быть «пройдена» вами, а может быть «прожита». Надеюсь, что сегодняшний урок, выводя вас на смыслы изучаемых понятий,  поможет освоить новую тему с интересом  и хорошими результатами, одним из которых будет яркий образ науки математики как способе познания, сохранения и гармоничного развития мира.

   Одним из основных понятий, изучением которых занимается математика, является понятие числа. Мир чисел таит столько загадок и тайн! В то же время язык чисел  близок и интересен многим людям, даже довольно далёким от математики. Наверное, поэтому числовые головоломки решают и взрослые, и дети. Я предлагаю вам несколько таких головоломок.

1.2. Самостоятельная работа (индивидуально, с разрешением работать в парах).

Задание 1. Вставьте промежуточные числа, если все тройки чисел составлены по одному и тому же правилу:

Задание 2. Найдите закономерность в последовательности чисел и замените вопросительный знак числом:

                    82, 97, 114, 133, ? .

Проверка выполнения (фронтально): ученики называют полученные ответы, объясняя, какую закономерность они установили.

Комментарий. При обсуждении решений следует поощрять разные способы нахождения закономерностей. Таким образом,  вариантов ответов в каждом случае может быть несколько.

1.3. Беседа с элементами дискуссии.

Вопрос.  Можно ли поставить другое число вместо числа 6 в случае 1а)? вместо числа 14 в случае 1б)?

Предполагаемый ответ: Да, если мы найдём иную закономерность между числами 8, 5 и 3 помимо 8 – 5 = 3 (или для второго случая одинаковую закономерность для троек чисел 2, 4, 10 и 3, 5, 17).

Комментарий. В случае положительного ответа ученики  могут показать, например, следующий вариант: 5+8=13, количество единиц 3. Тогда 13+7=20, количество единиц 0, это и  будет искомым числом.

Вопрос Как вы понимаете слово закономерность ?

(Очевидно, что в ходе обсуждения учащиеся  будут оперировать понятиями, известными им из  курса обществознания: правило – закон – норма – право.)

Учитель. Верно, однокоренные слова закономерность и закон – это близкие понятия. Убедимся в этом с помощью философского словаря (познавательные УУД).

Комментарий. На слайде выводится определение: Философский словарь: «Закон – внутренняя существенная и устойчивая связь явлений, обусловливающая их упорядоченные изменения. На основе знания закона возможно достоверное предвидение течения процесса. Понятие «закон» близко к понятию закономерность, которое представляет собой совокупность взаимосвязанных законов, обеспечивающих устойчивую тенденцию или направленность в изменениях системы».

 Вопросы

 Каковы, на ваш взгляд,  главные слова в этом определении?

Как вы думаете, возможно ли существование мира без законов?

А лично вам нужны законы?

Нужно ли изучать законы?

Какую роль математика играет в познании человеком законов  мира?

Предполагаемый ответ: Математика является верным союзником человека на пути познания законов природы и человеческого общества: она и инструмент моделирования реальных объектов и явлений, и универсальный язык науки и техники. И наоборот, идеи математики способствуют развитию всех наук, экономики, человеческого общества.

II  этап  Освоение основного материала

2.1. Учитель. Отражая существенные и устойчивые связи явлений реального мира, математика и сама соткана из законов и закономерностей. Многие закономерности, существующие в мире чисел, были известны ещё в древности

2.2. Работа в микрогруппах.

Задание 3. Попробуйте по первым числам из серий чисел догадаться, по какому правилу построены эти серии:

1. 1, 2, 3, 4,…
2. 2, 4, 6, 8, …
3. 1, 3, 5, 7, …
4. 1, 4, 9, 16, …
5. 2, 3, 5, 7, 11, …

Проверка выполнения: устное представление каждой микрогруппой результатов выполнения задания.

Комментарий: По ходу обсуждения на слайде появляются следующие  члены последовательностей и названия этих числовых множеств.

Задание 4.  Попробуйте определить, что является общим и главным для всех этих серий чисел.

Проверка выполнения: устное представление каждой микрогруппой своих гипотез.

Комментарий: Предоставляется хорошая возможность для развития умений слушать друг друга (коммуникативные УУД), выстраивать аргументацию, приводить контрпримеры (например, кто-то выскажет мысль о возрастании чисел в каждом из рядов – в этом случае шестой пример будет хорошим контрпримером). В ходе обсуждения  должны появиться следующие слова: очерёдность, порядок и т.п.

Задание 5.  Попробуйте сформулировать определение понятия «числовая последовательность».

2.3. Фронтальная работа.

Учитель. В общем случае числовые последовательности могут быть конечными и составлены из произвольных чисел. Числовыми последовательностями, например, являются выписанные по порядку отметки каждого из вас в классном журнале по алгебре или результаты каких-либо измерений: например, температуры воздуха. Главным является именно порядок: каждое число стоит на своём месте. Запишем числовую последовательность в  общем виде.

На 1 месте а1         на 2 месте а2                  на 3 месте а3 

Вопросы: 

– Как записать член последовательности с номером 4?

– С номером n?

– Какой номер будет у члена последовательности, предшествующего аn?

– А у следующего за ним?

– Как записать член последовательности, предшествующий аn?

– Следующий за ним?

Комментарий: Хорошо, если будет задействована анимация: на этом же слайде одновременно с каждой строчкой появляется каждый следующий член последовательности.

 2.4. Работа в микрогруппах.

Учитель. Очевидно, что номера – это натуральные числа. Таким образом, числовая последовательность представляет собой функцию натурального аргумента: аn=f(n).

Задание 6. Вы умеете строить графики многих элементарных функций, изучаемых в школьном курсе математики. Используя этот опыт, изобразите точками на координатной плоскости несколько первых членов числовой последовательности (любой из шести, с которыми мы уже работали или вами придуманной).

 2.5. Фронтальная работа.

Задание 7. Итак, там, где каждому натуральному п соответствует своё число ап, мы говорим  о числовой последовательности. Приведите свои примеры числовых последовательностей.

Учитель. Вот мы и опять вернулись к  понятию  «закономерность». Слово закономерность состоит из двух корней: закон и мера, значит, закономерность предполагает возможность измерить что-то неким законом. В нашем случае: постичь взаимосвязь между числами-членами  последовательности.

Вопрос.  А как соотносятся с изучаемой нами  темой наши рассуждения о необходимости знать закон?

Предполагаемый ответ: Если установить, по какому закону установлена взаимосвязь между членами последовательности, можно определить любой член последовательности.

2.6. Работа в микрогруппах.

Учитель. Существует несколько способов задания числовых последовательностей.  

1-й способ. Самый удобный, когда по номеру можно вычислить соответствующий член последовательности.

Задание 8.  Попробуйте для вышеперечисленных последовательностей связать  в формулу переменные n и ап.

III  этап  Рефлексия  Вопросы.

• Какой синоним наиболее отвечает вашему представлению о последовательностях?
• С чем лично  у вас ассоциируется понятие последовательности?
• Что вам дало изучение понятия числовой последовательности?
• Что вызвало наибольшие затруднения?
• Каков для вас смысл сегодняшнего урока?