Математический кружок в основной школе. Кому и зачем он нужен?
статья (алгебра) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение "Основная общеобразовательная школа села Березовка Петровского района Саратовской области"

ДОКЛАД

" Математический кружок в основной школе. Кому и зачем он нужен?"

ПоповойВалентины Николаевны

с.Березовка,

2012

Доклад «Математический кружок в основной школе. Кому и зачем он нужен?» Программа кружка, поурочные планы занятий и комментарии.

"Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения".

Д. Пойя

В последнее время все больше слышится слов о том, что большая часть математики, впрочем как и остальных знаний, не нужны для повседневной жизни, не востребованы и должны быть отправлены «на свалку истории» вместе с древними римлянами, греками и их наукой. При этом как-то выпускается из виду то, что ценность изучения математики заключается не столько в заучивании некоторого набора правил, теорем и алгоритмов решения задач, сколько в формировании умения строить математические модели, задавать вопросы, искать различные пути решения проблемы,  высказывать гипотезы, опровергать или доказывать их, искать ошибки и неточности в рассуждениях, а также развивать чувство необходимости рефлексии - сравнивать разные способы решения, уметь оценить их преимущества и недостатки, трудоемкость и понятность.

Не стану спорить, что учебники зачастую перегружены однообразным, сложным технически материалом, что программы по математике остались теми же, что и 20 лет назад, а количество базовых часов, отведенных на изучение, сократились практически во всех классах на треть. Все большая часть детей не справляется с усвоением школьного курса, начинает ее тихо ненавидеть, и все большее число учителей и родителей задаются вопросом, нужен ли детям такой объем знаний, умений и навыков. Мы много обсуждаем, что делать тем, кто не успевает, не способен, не хочет или не может, но не нужно забывать и про то, что примерно 20-30% детей мало того что осваивают всю школьную программу, но и способны пройти ее за гораздо меньший срок.  Кроме того, в школьном возрасте, по некоторым оценкам, одаренных детей примерно от3 - 5% до 10%, и вот они, как правило, лишены в школе необходимой поддержки. Если ребенок лишен "пищи для ума", испытывает недостаток интересных задач и общения с близкими ему по уровню интеллектуального уровня людьми, его способности скорее всего не проявятся или угаснут.

Нормальный, здоровый ребенок может очень много. Нужно только показать ему радость творчества, удовлетворение от успеха, научить радоваться своим победам и учиться на ошибках. Размышления над задачами развивают мышление, сообразительность, способствуют повышению уровня математической грамотности. Кроме того, для ребенка это шанс стать победителем!

Пока находятся энтузиасты среди преподавателей, которые могут увлечь детей математикой, пока «соревнования интеллектов» ценны для детей и учителей как средство самовыражения и самооценки, олимпиадное движение, я думаю, не умрет.

Чтобы достигнуть каких-либо успехов, нужно напряженно и достаточно долго тренироваться. Если будет накоплен некоторый "багаж" олимпиадных идей и методов решений, то не будут пугать и незнакомые задачи, появится уверенность в своих силах, а со временем придет и успех.

Часто математику считают сухой и скучной наукой. Так думают те, кто не пошел дальше страниц школьного учебника. Интерес к решению задач может появиться только тогда, когда уже есть некоторые успехи, когда ребенок не испытывает трудностей с основными законами математики и освоил школьную программу. Но очень часто школьники перегружены большим количеством вычислительных упражнений, ориентированных на выработку технических навыков, и испытывают "голод" по интересным, нестандартным задачам. Это приводит к тому, что даже те дети, которые на уроках всегда получают хорошие оценки, на олимпиадах и на вступительных экзаменах в серьезные высшие учебные заведения не могут не только правильно решить, но и понять условие задачи.

Сложилось мнение, что для занятий математикой необходимы особые способности. Приходится признать, что это так, но с одной оговоркой. Если у человека слабо развито логическое мышление, он не может обосновать свои действия, последовательно рассуждать, было бы неразумно требовать от него каких-либо результатов в математике. Но то же самое можно сказать и про все другие занятия, связанные с умственной деятельностью. Тем более что эти способности можно развивать, особенно в первые годы жизни ребенка. Гораздо чаще школьник не желает заниматься математикой, так как это требует от него терпения и усидчивости и на первых порах никак не вознаграждается.

  Ежегодно для школьников проводится множество олимпиад, фестивалей и конкурсов по математике. Как правило, задачи, предлагаемые на этих соревнованиях, резко отличаются от задач школьного учебника. К сожалению, даже учителя не всегда могут решить «олимпиадные» задачи, хотя для их решения часто нужны знания примерно в пределах 5-8 классов средней школы.

На областных олимпиадах часто можно наблюдать такую картину: вывесили результаты первого дня (по математике традиционно проводится два тура, причем на второй тур допускаются все участники независимо от их результатов), в протоколах каждого класса около 5-10 работ из 40 получили от 7 до 15 баллов, 2-3 около 28, остальные 0-3 балла. А приехали вроде бы самые математически подкованные ребята в области!

Если в 10-11 классах такой результат можно объяснить высокой сложностью задач, то задачи 8 и частично 9 класса вполне доступны для даже не очень хорошо владеющего математической техникой человека, но требуют некоторого нестандартного взгляда на проблему, умение действовать творчески, а не «по образцу», чем часто грешит современная школьная методика.

 Кроме того, существует некий набор «олимпиадных идей», без знакомства с которыми решить задачи можно, но грамотно записать решение трудно. И доказательства, логические рассуждения в работах школьников часто заменяются приведением примера или словами «и так понятно…».

Если учитель захочет, чтобы его ученики развивали свои способности математикой, не теряли интерес к решению сложных проблем (а согласитесь, любая задача – это маленькая, а иногда и не очень маленькая проблема, решение которой бросает вызов ребенку, его интеллекту), и к тому же показывали хорошие результаты на математических соревнованиях, он постарается в своей школе открыть математический кружок.

Как показывает практика, если не начать работать с детьми в 6-7 классе, то потом вызвать интерес и главное побудить ребенка серьезно работать над задачами очень сложно. При этом перед учителем неизбежно встанет несколько проблем, одна из которых – где взять практический материал для работы кружка. С одной стороны, сейчас нельзя пожаловаться на недостаток сборников олимпиадных, занимательных, логических задач и тому подобной литературы. С другой стороны, это в основном именно сборники задач, причем во многих олимпиадных сборниках либо нет решений, либо задачи слишком сложные для начинающих, либо собраны однотипные задачи, которые интересны, удобны для составления олимпиад, но  не позволяют развить широту знаний.

Опыт работы в математических кружках позволил мне выработать некоторые приемы, с которыми будет полезно познакомиться начинающему учителю. Чтобы новые знания, приемы и методы каким-то образом «уложились» в голове у каждого кружковца, нужно несколько занятий подряд решать по нескольку задач определенной темы, разбирая вместе некоторые типичные задачи. При этом нельзя на одном занятии решать все задачи на одну и ту же тему, иначе дети быстро теряют интерес.

Полезно давать домашнее задание из заданий, среди которых есть и совсем легкие, и сложные, чтобы ребенок мог и порадоваться, какой он умный, и понять, что не все так просто. Обязательно нужно разбирать решение всех домашних задач, причем по возможности несколькими способами, если ребята их нашли.

Для расширения кругозора и конструктивных навыков хороши практические задания, связанные с разрезаниями, проведениями построений, расстановкой чисел и букв в таблицы по указанным правилам (например, латинские и магические квадраты), знакомства с некоторыми знаменитыми решенными и даже нерешенными задачами математики. При этом можно познакомить детей с некоторыми интересными фактами из истории математики.

Для тренировки необходимо периодически проводить олимпиады, математические бои или другие соревнования, хорошие результаты дают устные олимпиады, но их организация требует присутствия нескольких проверяющих, что возможно организовать с участием учащихся старших классов.

В своей работе я сделала попытку помочь начинающему преподавателю кружка в организации занятий с учениками 6-7 класса. Все задачи сопровождаются решениями, указаниями или ответами, если они аналогичны ранее разобранным. Подобраны домашние, практические задания, составлены соревнования в конце каждой темы. Приведен список используемой литературы, который будет полезен для руководителя кружка математики основной школы.

Задачи, которые включены в мою работу, предлагались на олимпиадах прошлых лет, а также на различных математических сборах. Большая часть этих задач придумана преподавателями краснодарских кружков, многие являются математическим "фольклором". К сожалению, только в задачах последних лет стало принято указывать авторов задач, в большинстве сборников они «кочуют» как фольклор. Авторов тех немногих задач я указывала. Была бы рада, если бы большая часть задач приобрела своих авторов! Некоторые задачи и большинство решений написаны мною, поэтому буду благодарна всем, кто укажет на ошибки, опечатки и неточности в решениях. В этой статье я предлагаю для обсуждения два раздела своей работы «Математический кружок. Пособие для руководителя» - «Четность» и «Раскраски».

Любая конструктивная критика приветствуется! Если вам известны авторы задач, пишите комментарии.

Программа курса математического кружка

«Решение олимпиадных задач».(34ч)

Место курса: предпрофильная подготовка учеников 6 или 7 классов.

Пояснительная записка.

   Главной целью работы школы я считаю развитие творческого потенциала школьников, их способностей к плодотворной умственной деятельности.

   Поэтому важнейшую роль математических кружков я вижу в индивидуальной работе с одаренными школьниками, направленную на развитие их мыслительных способностей, настойчивости в выполнении заданий, творческого подхода и навыков в решении нестандартных задач.

   Необходимо расширить кругозор школьников, для этого в программу работы математического кружка я включаю темы, которые не входят в базовую программу или не получают там должного внимания. Эти темы, с одной стороны, должны быть доступны обучаемым, с другой стороны, позволять им принимать участие в олимпиадах.

   Человеку нужна мотивация его деятельности, участие в различных конкурсах и олимпиадах, и особенно победа в них побуждает учащихся продолжать изучение данного предмета, дух соревнования поддерживает интерес.

   С другой стороны, отсутствие "наказания" в виде оценок позволяет ребенку чувствовать себя свободнее, чем на традиционных уроках, формирует умение высказывать гипотезы, опровергать или доказывать их, искать ошибки и неточности в рассуждениях.

   Необходимо также заметить, что участие в работе кружка математики создает необходимую базу для успешного изучения других предметов естественно-научного цикла, таких как информатика, физика, химия, астрономия. Поэтому часто занятия математикой, несмотря на отсутствие видимых достижений в математических соревнованиях, приводят к успехам в других дисциплинах.

 Содержание курса разбито на 5 модулей, каждый из которых содержит изучение теории и применение ее при решении задач.

Тема 1. Четность (6ч)

Цели:

• на основе простейших вычислительных навыков развивать умение рассуждать;
• сформировать понимание различия между примером и доказательством;
• развивать навыки поиска одинаковой идеи решения в задачах с различными условиями.

Содержание:

• свойства четности (с доказательством или, в 6 классе, аксиоматически);
• решение задач на чередование;
• разбиение на пары;
• игры - шутки (где результат зависит только от начальных условий).

В результате учащиеся должны изучить свойства делимости на 2, решать простейшие задачи на чередование, понять, что только четные числа можно разбить на пары, научиться понимать разницу между примером и доказательством.

Тема 2. Задачи на проценты и части (4ч)

Цели:

• познакомить учащихся с задачами повышенной сложности на нахождение процентов и дробей от числа;
• показать, что такие задачи часто возникают в жизнедеятельности.

Содержание:

• задачи на проценты;
• задачи на составление уравнений;

В результате учащиеся должны составить представление о процентах как об одном из видов дробей, научиться находить часть и проценты от числа, закрепить навыки составления уравнений по условию задач, познакомиться с понятием банковские проценты.

Тема 3. Принцип Дирихле как приложение свойств неравенств (5ч).

Цели:

• сформировать понимание отличия интуитивных соображений от доказательства;
• развивать умение различать в задаче условие и заключение;
• познакомить ученика с задачами, где при расплывчатых формулировках удается получить некоторую достоверную информацию.

Содержание:

• понятие о принципе Дирихле;

• решение простейших задач на принцип Дирихле,
• принцип Дирихле в задачах с "геометрической" направленностью.

В результате учащиеся должны познакомиться с методом доказательства от противного, методом оценки и научиться пользоваться некоторыми свойствами неравенств.

Тема 4. Раскраски (4ч).

Цели:

• развивать творческий потенциал школьников;
• учить высказывать гипотезы, опровергать их и доказывать.

Содержание:

• знакомство с идеей раскрашивания (нумерования) некоторых объектов для выявления их свойств и закономерностей;
• решение задач с помощью идеи раскрашивания.

В результате деятельности учащиеся должны познакомиться с некоторыми стандартными способами раскрасок и приобрести опыт применения этой идеи в различных ситуациях.

Тема 5.  Делимость. (4 ч)

Цели:

• развивать настойчивость при выполнении работы;
• развивать интуицию и умение предвидеть результаты работы.

Содержание:

• задачи на десятичную  запись числа;
• задачи на использование свойств делимости;
• делимость и принцип Дирихле.

В результате учащиеся должны научиться применять основную теорему арифметики, понять возможности полного перебора остатков и научиться использовать свойства делимости.

Тема 6. Конструктивные задачи.(6ч)

Цели:

• показать на примерах, что часто решение проблемы возникает в процессе деятельности;
• познакомить с понятием «контрпример».

Содержание:

• равновеликие и равносоставленные фигуры;
• геометрические головоломки;
• решение задач о взвешивания;
• задачи на переливания.

В результате учащиеся должны привыкнуть к мысли, что часто существует много правильных решений одной и той же задачи, познакомиться с примерами разумной записи решений задач на переливания и взвешивания, приобрести опыт мыслительного, образного и предметно-манипулятивного конструирования.

Участие в олимпиадах и других математических мероприятиях(5ч)

Разработки занятий по темам «Четность» и «Раскраски».

Тема 1. Четность

Занятие 1.Четные и нечетные числа. Признак делимости на два. Свойства четности.

Известно, что числа бывают четные и нечетные. Четные числа можно записать в виде 2k, где k - целое число, а нечетные - в виде 2k+1.

Легко доказать (показать на примерах) такие свойства четности для целых чисел.

1. Сумма четных чисел четна.
2. Сумма 2 нечетных чисел четна.
3. Сумма четного и нечетного чисел нечетна.
4. Произведение любого числа на четное - четно.
5. Если произведение нечетно, то все сомножители нечетны.
6. Сумма четного количества нечетных чисел четна.
7. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна.
8. Разность и сумма 2 данных чисел - одной четности.
9. Если объекты можно разбить на пары, то их количество четно.

Рекомендуется одно из этих свойств доказать учителю, одно всем вместе на доске и одно - самостоятельно.

Задача 1.

Можно ли разменять купюру достоинством 35 рублей на 10 купюр достоинством 1, 3 или 5 рублей?

Решение задачи №1.

Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 купюр, все они нечетного достоинства, значит их сумма должна быть четна. Но 35 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.

Задача 2.

Можно ли 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с 3 другими?

Решение задачи №2.

При решении этой задачи используется такое соображение - если мы рассматриваем объекты типа веревки - провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т. д. - то при любом количестве объектов число концов должно быть четным. Предположим, что мы соединили 7 телефонов между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с 3 другими. Посчитаем количество концов проводов, соединяющих эти телефоны. Понятно, что их число должно быть четным. От каждого из 7 телефонов отходит 3 конца, всего 7•3 = 21 конец, число нечетное, значит нельзя 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с 3 другими.

Задача 3.

137 команд играют однокруговой турнир. Докажите, что в любой момент есть команда, сыгравшая четное число матчей. (Однокруговой турнир – когда каждая команда играет с каждой ровно один раз.)

Указание: в общей сумме всех игр каждая игра учитывается два раза, если же подсчитать сумму игр 137 команд, сыгравших по нечетному числу матчей, результат будет нечетный.

Домашнее задание

1.1. Выполни устно: 1+3+5+...+997+999.

1.2. Вычисли 99-97+95-93+...+7-5+3-1.

1.3. Запишите число 31, пользуясь знаками действий и 1) пятью тройками, 2)пятью пятерками, 3) шестью тройками.

1.4. Может ли сумма 1*2*3*…*М+1*2*3*…*К оканчиваться на 9? (Сумма М!+К!)

1.5. Сколько существует трехзначных чисел, запись которых содержит только цифры 5, 8, 9?

1.6. У Маши было 5 плиток шоколада. Может ли Маша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Занятие 2.  Решение задач.

Рекомендуется разобрать задачи домашнего задания.

Ответы и указания.

1.1. (1+999)*500:2=250000. Разумно разобрать как разбиение на пары, так и сложение двух сумм, одна из которых написана в обратном порядке.

1.2. 2+2+…+2, 25 раз. Ответ:50.

1.3. 33-(3+3):3,  5*5+5+5:5;  3*3*3+3+3:3.

1.4. Нет, оба слагаемые четные.

1.5. Первую цифру можно выбрать 3 способами, вторую тремя и третью тремя. Всего чисел 33=27.

1.6. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четно.

Практическое задание. В тетрадном листке бумаги ножницами прорежьте такую дырку, чтобы туда мог пролезть человек.

Решение. Лист бумаги нужно сложить вдвое (линия сгиба сверху) и разрезать по линиям (рис.1)

Рис. 1.

Найдите закономерность и продолжите ряд:

1) 1, 2, 4, 7, 11…

2) а бб ввв …

3)           ?

Домашнее задание

1.7. Запишите число 100, использовав цифры от 1 до 9, идущие в порядке возрастания, и знаки некоторых действий.

1.8. В двузначном числе количество десятков  в 4 раза меньше количества единиц,  а сумма цифр этого числа равна наименьшему  двузначному  числу.  Что это за число?

1.9. Можно ли разложить несколько арбузов а) в 3; б) в 4; в) в 98; г) в 99 корзин, расставленных по кругу, так, чтобы в любых  двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?

1.10. Лена и Маша играют в следующую игру:  каждый  из них записывает на бумажке по  одному  натуральному числу. Потом эти числа  перемножаются, и если в результате получается четное число то выигрывает Лена,  а  если  нечетное, то Маша. Может ли одна  из девочек всегда выигрывать, как бы не играла другая?

Занятие 3. Решение задач на четность.

Повторение свойств четности. Доказательство одного из них. 

Задача 1.

            Можно ли в таблице 15х15 расставить 225 натуральных чисел так, чтобы во всех строках суммы были четные, а во всех столбцах – нечетные?

Указание: Посчитайте сумму чисел во всех строчках и во всех столбцах и сравните.

Задача 2.

В таблице 6x6  за 1 ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли таким образом из таблицы а) рис.1, б)рис. 2) получить таблицу из одних минусов?

рис. 1                                              рис. 2

Решение задачи №2.

а) Рассмотрим, как меняется количество минусов за 1 ход. Допустим, мы меняем знаки в строчке. Заметим, что при этом количество минусов в других строчках остается неизменным. Если в изменяемой строчке было четное количество минусов, то было и четное количество плюсов, и после смены знаков четность общего числа минусов в таблице не изменится. Если там было нечетное количество минусов, то было и нечетное количество плюсов, и после смены знаков четность общего числа минусов в таблице тоже не изменится. Аналогично для столбца. Значит, если вначале было 17 минусов (нечетное число), то получить таблицу из 36 минусов нельзя, так как минусов всегда будет нечетное количество.

б) Во второй таблице (рис. 2) число минусов четное, но получить нужную таблицу все равно нельзя. Рассмотрим верхний правый угол таблицы. Заметим, что количество минусов в этом отдельно взятом кусочке меняется по тем же правилам, что и во всей таблице, причем четность количества минусов в этой табличке 2x2 тоже не меняется - остается нечетной. Значит, даже в этом кусочке нельзя получить все 4 минуса.

Разбор задач домашнего задания.

1.7. 1+2+3+4+5+6+7+8*9

1.8. 4А=В, А+В=10. А=2,В=8. Ответ: 28.

1.9. Заметим, что при этом четное число арбузов в корзине чередуется с нечетным. Значит, количество корзин можно разбить на пары. В 3 и 99 корзин нельзя разложить, а в 4 и 98 можно, например чередуя 1-2-1-2-   …-1-2.

1.10. Выигрывать всегда может Лена, если напишет четное число. Результат при этом будет четный.

Домашнее задание

1.11.  Может  ли  сумма  трех последовательных  натуральных  чисел  быть простым числом?  А  двух?  А четырех?

1.12. Какие две цифры надо поставить на место  звездочек, чтобы пятизначное число 510** делилось на 6, 7, 9?

1.13. С помощью четырех четверок и знаков  действий записать все натуральные числа от 1 до 10.

1.14. Как быстро вычислить: 100+1-2+3-4+...+55-56.

1.15.   Выписать  все  трехзначные числа, которые состоят из цифр 5, 6 и  1, если они делятся на 5 и число сотен не больше числа десятков.

1.16.  Какое натуральное число в 7 раз больше числа его единиц?

Занятие 4.  Решение задач.

Рекомендуется в начале занятия разобрать задачи домашнего задания.

Ответы и указания.

1.11. 1+2=3, К+(К+1)+(К+2)=3К+3=3(К+1) делится на 3 для всех натуральных К. Аналогично сумма  четырех последовательных  натуральных  чисел не может быть простым числом.

1.12. Число 50400 делится на 7, 6, 9 значит 6** должно делиться на 7, 6 и 9. Последняя цифра четная, т.к. делится на 6.

Если последняя цифра 0, то вторая цифра 3 т.к. сумма цифр должна делиться на 9. - 630

Если последняя цифра 2, то вторая цифра 1. - 612

Если последняя цифра 4, то вторая цифра 8. - 684

Если последняя цифра 6, то вторая цифра 6. - 666

Если последняя цифра 8, то вторая цифра 4. - 648

Проверяем делимость на 7 - число 630 подходит. 612, 684, 666, 648 нет.

1.13. (4+4):(4+4), 4:4+4:4, 4*4:4-1, …

1.14. 100-1-1-…-1=100-28=72.

1.15. Последняя цифра 5, числа 115,155,165,565,555,665.

1.16. 7*Х получится число, цифра единиц которого Х. Значит, Х=5. Число 35.

Практическое задание. Вырезать 4 длинных ленты бумаги и склеить их концы. У первого кольца просто соединить концы без перекручивания. У второго и третьего (их называют листами Мёбиуса) концы ленты перекрутить один раз на 1800. У четвертого концы ленты перед склейкой перекрутить на 3600. После высыхания клея на первой, второй и четвертой ленте провести линию вдоль ленты посередине, не отрывая ручки от поверхности, пока не вернется в исходную точку. Посмотреть, что получилось. Лист Мёбиуса – односторонняя поверхность. А четвертое кольцо сколько поверхностей имеет?

После этого можно разрезать эти кольца по линии и посмотреть, что получится. (два отдельных кольца, одно вдвое длиннее, два кольца, сцепленные друг с другом.)

Попробуйте разрезать лист Мёбиуса на расстоянии в одну треть от края. Что при этом получится? (Одно большое кольцо и сцепленное с ним маленькое.)

Домашнее задание

1.17.  В  книге 300 страниц. Найти сумму номеров страниц и количество цифр, потребовавшихся для нумерации.

1.18. 4 пуговицы и 3 булавки стоят 26 рублей, а 2 пуговицы и 2 булавки стоят  14  руб.  Сколько стоят 1) 8 пуговиц и 7 булавок, 2) 8 пуговиц и 4 булавки?

1.19. Расшифруй  АБ*ВГ=БББ.

1.20.  Товар стоил 580 рублей. Он подорожал  на 10%, а затем  еще  на  20%. Сколько рублей стал стоить этот товар?

1.21.На  какое  число нужно разделить 2 чтобы получить 4?

Занятие 5. Решение задач на четность.

Задача 1.

На столе стоят 16 стаканов, один из них вверх дном. Можно ли все стаканы поставить правильно, если можно одновременно переворачивать по 4 стакана?

Указание. Посмотрите, сколько стаканов поставлено правильно в начале, сколько нужно поставить в конце и как меняется четность этого числа при каждом переворачивании. Нужно рассмотреть все 5 вариантов (все вверх дном, 3 из 4 вверх дном и т.д.).

Задача 2.

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 2005, 2006. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

 Решение задачи №2.

Посчитаем сначала сумму всех этих чисел. Она равна

(1 + 2006)•2006:2 = 2007•1003 - нечетному числу. Теперь посмотрим, как меняется эта сумма, если из нее взять два слагаемых и заменить их разностью этих чисел. Если эти два числа были четные, то их сумма была четной, их разность тоже будет четной и четность общей суммы не изменится. Аналогично для двух нечетных чисел. Если же одно число было четное, а другое нечетное, то их сумма была нечетной, их разность тоже будет нечетной и четность общей суммы тоже не изменится. Значит, у нас могут получаться только нечетные суммы, а нуль - число четное, и оно в конце на доске остаться не может.

Разбор задач домашнего задания.

1.17. Сумма номеров страниц 1+2+…+300=45150 и количество цифр: от 1 до 9 нужно 9 цифр, от 10 до 99 нужно 90*2 цифр, от 100 до 300 нужно 3*201 цифр. Всего 792 цифры.

1.18. Ответ: 28руб. и 78 руб. Пуговица 5, булавка 2, ответ а)54 и б)48

1.19. БББ делится на Б, 111=3*37. Значит, ВГ=37, а Б*3=АБ. Находим Б=5, 15*37=555.

Может быть другой вариант, 37*21=777.

1.20. 580*1.1*1.2=765руб.60коп.

1.21. На 0.5.

Практическое задание. Зачеркните все 16 точек, изображенных на рисунке, шестью отрезками, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя отрезков по линиям сетки. (А. Спивак)

Домашнее задание 

1.22. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки "+" и "-" так, чтобы значение полученного выражения было равно 2?

1.23. Рыбак живет на полуострове, который по форме представляет собой острый угол. Рыбак должен дойти до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой. Как он должен идти, чтобы пройти по самому короткому пути?

1.24.Сколько  на лугу коров и гусей, если  у  них  вместе 36 голов и 100 ног?

1.25.Для  приготовления варенья на 2  части сахара берут 3 таких же по весу части ягод. Сколько надо взять сахара  и  ягод,  для 10 кг варенья, если  при  варке  вес уменьшается в 1.5 раза?

1.26.Придумайте 4 целых числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами.

Занятие 6.  Решение задач.

Рекомендуется в начале занятия разобрать задачи домашнего задания.

Ответы и указания.

1.22. Посчитаем сумму всех этих чисел. Она равна 55 - нечетному числу. Теперь посмотрим, как меняется эта сумма, если из нее взять два слагаемых и заменить их разностью этих чисел. (Вместо + поставить -) Если эти два числа были четные, то их сумма была четной, их разность тоже будет четной и четность общей суммы не изменится. Аналогично для двух нечетных чисел. Если же одно число было четное, а другое нечетное, то их сумма была нечетной, их разность тоже будет нечетной и четность общей суммы тоже не изменится. Значит, у нас могут получаться только нечетные суммы, а 2 - число четное, и значение полученного выражения быть 2 не может.

1.23. Нужно отразить дом рыбака симметрично относительно берега и соединить полученные отражения. Этот путь кратчайший, и он равен пути ДБВД.

1.24. Коров 14, гусей 22.

1.25. Пусть одна часть весит Х кг. (2Х+3Х):1.5=10.

Ответ: 6 кг сахара и 9 кг ягод.

1.26. Если произведение целых чисел нечетно, то все эти числа нечетные. Но сумма 4 нечетных чисел четна, значит мы не сможем придумать такие числа.

Практическое задание. Начертите на прямоугольном листе бумаги 10 вертикальных линий одинаковой длины и проведите диагональ, как показано на рис.1. Разрежьте прямоугольник по проведенной диагонали и сдвиньте нижнюю часть влево вниз, как на рис. 2. Линий стало 9. Какая линия исчезла и куда?

Домашнее задание

Перед тем, как выдать домашнее задание, следует сообщить детям, что на следующем занятии у них будет математический бой по предложенным задачам.

Если учащиеся не знакомы с правилами этого соревнования, то разумно разделить их на команды заранее и выдать по 1-2 экземпляра правил на команду, а количество задач для первого боя уменьшить до 6.

Задачи математического боя.

1. В  десятичной записи числа 73 цифры и все они единицы. Делится ли это число на 18?

2. В таблице 4x4 за 1 ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли таким образом получить таблицу из одних плюсов?

  + - - +     + + + -    - + + -

  - + + -     + + + +    + + + +

  - + + -     - - + +    + + + +

  + - - +     + + + +    - + + -

3. Какой цифрой оканчивается сумма

       121 6 +234 6 +16 6?

4. Когда  Оля  прочитала  1/10, а затем  еще  1/8 часть книги, то это было на 33 страницы меньше половины книги. Сколько страниц в книге?

5. Холодильник стоил 7000 рублей. Он  подорожал на 10%, а затем  подешевел на 10%.Как изменилась цена холодильника?

6. В ряд выписаны числа от 21 до 30. Можно ли расставить между ними знаки + и - так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю.

7. На острове Серобур обитает 13 серых и 15 бурых хамелеонов. При встрече двух хамелеонов они одновременно меняют свой цвет. Может ли оказаться, что все хамелеоны станут одного цвета?

8. Четное или нечетное число 1+2+3+...+1000?

Занятие 7.  Математический бой по задачам домашнего задания.

1. Сумма цифр этого числа равна 73, она не делится на 3, значит число тоже не делится на 3 и на 18.

2. В первой таблице можно, во второй и третьей нет, решение аналогично задаче №2 занятия 3.

3. 121 в любой степени оканчивается на 1, 16 на 6, а 234 в нечетных степенях оканчивается на 4, в четных – на 6. Сумма заканчивается на 3.

4. Ответ: 120 страниц.

5. Ответ: 6930рублей.

6. Сумма 255, а при замене + на – четность выражения не меняется. Ответ: Нельзя получить 0.

7. Нет, не смогут. Рассмотрим число серых хамелеонов. Если встретились два серых, они станут бурыми, и число серых уменьшится на 2. Если встретились два бурых, они станут серыми, и число серых увеличится на 2. Если встретились бурый и серый, число серых останется тем же. Значит, четность числа серых хамелеонов не изменится, а в начале их было нечетное количество. 0 или 30 серых хамелеонов получиться не может.

8. 1001*500 четное.

Тема 4. Раскраски.

Занятие 19.Раскраски

 На олимпиадах последних лет часто встречаются задачи, объединенные одной и той же идеей - раскрасить в несколько цветов таблицу так, чтобы было видно, что какое-то условие задачи не может выполняться.

Задача 1.

Гостиница имеет форму квадрата 3x3 клетки, каждая клетка - комната. Все 9 постояльцев недовольны своей комнатой и считают, что любая комната через стенку лучше, чем та, в которой они живут. Может ли хозяйка переселить их так, чтобы каждый постоялец переехал в соседнюю комнату?

Решение задачи №1.

Раскрасим комнаты в шахматном порядке. Соседние комнаты при этом окрасятся в разный цвет. При переезде цвет комнаты меняется, значит те постояльцы, которые живут в 5 белых комнатах, должны переехать в черные комнаты, а их всего 4. Значит, такой обмен невозможен.

Задача 2.

Можно ли разрезать прямоугольник 10х6 на фигурки вида  ?

Решение задачи №2.

Раскрасим клетки прямоугольника в диагональном порядке в четыре цвета. При такой раскраске при любом расположении фигурки она закрывает по одной клетке разного цвета, значит если бы мы смогли разрезать прямоугольник на фигурки 1x4, то квадратиков каждого цвета было бы равное количество, а у нас цвета 1 и 3 - по 15 клеток, цвета 2 - 16 клеток и цвета 4 - 14 клеток. Значит, нельзя разрезать.

Задача 3.

На доске размером 8x8 клеток в левом нижнем углу в виде квадрата 3x3 стоят 9 фишек (рис. 1). За один ход разрешается какой-нибудь одной фишке перепрыгнуть через любую другую фишку на клетку, симметричную первой фишке относительно второй (если эта клетка свободна). Можно ли после нескольких таких ходов собрать все фишки в виде квадрата 3x3 в правом верхнем углу доски?

рис. 1                                        рис. 2

Решение задачи №3.

Раскрасим клетки квадрата как показано на рис 2. При такой раскраске при любом разрешенном перемещении фишка остается на поле того же цвета (нужно рассмотреть перемещения по вертикали и горизонтали). Сначала шесть фишек стояли на белых клетках, значит и в конце они должны будут стоять на белых клетках, а в правом верхнем углу у нас только три белых клетки. Значит, переставить нельзя.

Задача 4.

Дворец имеет форму прямоугольника размером 13x15 клеток. Каждая клетка, кроме центральной, - комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, есть дверь. Можно ли, не выходя из дворца и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по 1 разу?

Решение задачи №4.

Раскрасим прямоугольник в шахматном порядке так, чтобы центральная клетка была черная. При этом клеток черного цвета будет на 1 меньше, чем белых клеток. Если выбросить еще и центральную (бассейн), то их станет на 2 меньше. При переходе через дверь мы попадаем в комнату другого цвета, т.е. цвет комнат чередуется. Поэтому разность между количеством пройденных комнат разного цвета не более 1 (т.к. путь распадается на пары клеток разного цвета, исключая, может быть, последнюю).

Домашнее задание

4.1. От шахматной доски 8х8 отрезали а) клетку а1; б) клетки а1 и h1; в) клетки а1 и h8. Можно ли остаток доски разрезать на доминошки 2х1?

4.2. В дачном поселке 25 участков, расположенных в виде квадрата 5х5. Каждому из дачников, владеющих этими участками, нравится участок соседа (соседи – те, кто имеет общий забор). Могут ли они поменяться так, чтобы все 25 дачников получили нравящиеся им участки?

4.3. Докажите, что для любого натурального числа k найдется число вида 1111...110000..00, делящееся на k.

4.5. Имеется 150 г уксусной кислоты крепостью 80%. Сколько граммов воды в нее нужно добавить, чтобы получить уксус крепостью 6%?

4.5.Найдите последнюю цифру числа  285376 +373285 + 1999.

Занятие 20.  Решение задач.

Рекомендуется разобрать задачи домашнего задания.

Ответы и указания.

4.1. а) нет, т.к. осталось нечетное число клеток, а доминошка занимает 2 клетки;

б) да, легко можно найти один из вариантов;

в) нет, нельзя. Раскрасим клетки в шахматном порядке. Клетки а1 и h8 одного цвета – черные. Осталось 32 белых и 30 черных клеток, а покрыть доминошками, каждая из которых занимает 1 белую и 1 черную клетку, возможно только равное число белых и черных клеток.

4.2. Ответ: нельзя. Решение аналогично решению задачи №1 про гостиницу занятия 19.

4.3. Рассмотрим k чисел с разным количеством цифр:1, 11, 111, 1111, ... Предположим, что ни одно из них не делится на k. При этом могут получаться k-1 различных остатков: 1, 2, 3, ..., k-1. Значит, среди наших чисел есть два числа с одинаковым остатком при делении на k. Разность этих чисел делится на k и это число вида 111...000...(сначала несколько единиц, потом нули). Значит, мы нашли искомое число. Заметим, если одно из начальных чисел делилось на k, то если приписать к нему нули, то получившееся число тоже будет делиться на k.

4.4. Ответ: 1850г. Раствор содержал 0,8*150г уксусной кислоты. Если добавить Х г воды, то раствор будет содержать 0,06 (Х+150) г уксусной кислоты. Но количество уксусной кислоты не изменилось. Решив уравнение 0,06 (Х+150)= 0,8*150, получим Х=1850г.

4.5. Ответ: 7. Последняя цифра числа 285376 это 5, в степени числа 373 последняя цифра повторяется через 4 степени, 31 – 3, 32 – 9, 33 – 7, 34 – 1, 35- 3,… 373285 имеет такую же последнюю цифру, что и 3285 , а оно ту же последнюю цифру, что и 31=3.(285 делится на 4 с остатком 1). У числа 19 при возведении в степень последняя цифра умножается на 9, и они чередуются – 9,1,9,1, … 19 в нечетной степени имеет последнюю цифру 9. Последняя цифра суммы такая же, как у суммы последних цифр слагаемых 5+3+9=17, т.е. 7.

Практическое задание. Начертите квадратную сетку 4х4 и пронумеруйте клетки от 1 до 16 в естественном порядке (заполнили по порядку верхнюю строку, потом по порядку вторую и т.д.) Произвольно выберите (обведите кружочком) любое число. Затем вычеркните все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбце. Потом обведите кружочком любое число, оставшееся не зачеркнутым. После этого вычеркните все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбце со вторым обведенным числом. Так же выберите третье число, а соответствующие столбец и строку вычеркните. Оставшееся число тоже обведите кружочком. Если теперь взять сумму обведенных чисел, то у всех она должна получиться одинаковая, независимо от выбранных чисел. Какая получилась сумма и почему?

Получается сумма 34. Этот принцип можно демонстрировать на квадратах с любым числом клеток. Сумму можно получить, сложив два числа на двух диагонально противоположных углах квадрата, полученную сумму умножить на количество чисел на диагонали и поделить на два.

Заметим, что сумма чисел, выбранных из каждой строки и из каждого столбца квадрата, равна сумме чисел на диагонали. А эти последние образуют арифметическую прогрессию. Прогрессии ученики 6-7 классов не проходили, но складывать суммы чисел с постоянной разностью могут.

Домашнее задание

4.6. Из доски 8х8 вырезали угловую клетку. Можно ли получившийся остаток разрезать на прямоугольники 3х1?

4.7. Может ли Карлсон на спор с Малышом обойти шахматным конем всю шахматную доску 7х7 так, чтобы конь побывал на каждой клетке по одному разу и вернулся на начальную клетку? А доску 8х8?

 4.8. Докажите, что из 82 кубиков, каждый из которых окрашен в определенный цвет, можно выбрать либо 10 одноцветных кубиков, либо 10 кубиков, окрашенных в 10 разных цветов.

4.9. Какое наибольшее количество королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

 4.10. Представьте в виде суммы 3 квадратов числа: а) 35, б) 149; в)  10346.

Занятие 21.  Решение задач.

Рекомендуется разобрать задачи домашнего задания.

Ответы и указания.

4.6. Ответ: нельзя.

Раскрасим клетки доски в диагональном порядке в три цвета. При такой раскраске при любом расположении фигурки 3х1 она закрывает по одной клетке разного цвета, значит если бы мы смогли разрезать прямоугольник на фигурки 3х1, то квадратиков каждого цвета было бы равное количество, а у нас цвета 1 - 21 клетка, цвета 2 - 22 клетки. Значит, нельзя разрезать.

4.7. Ответ: 7х7 не может. Пусть конь стоит на черном поле. После очередного хода он окажется на белом поле (см. рис.), т.е. цвета поля чередуются при движении коня. Если конь обойдет все клетки доски по 1 разу, он сделает 48 ходов и окажется на клетке того же цвета, с которого вышел. С нее на клетку начальную, того же цвета, он за ход не попадет. Для доски 8х8 решение находится.

4.8. Пусть кубики окрашены не более чем в 9 цветов, иначе мы могли бы выбрать 10 кубиков разного цвета. Пусть при этом кубиков каждого цвета не более 9. Тогда всего кубиков не более 81, что противоречит условию. Значит, можно выбрать либо 10 одноцветных кубиков, либо 10 кубиков, окрашенных в 10 разных цветов.

4.9. Разобьём доску на 16 клеток 2х2. Предположим что можно поставить 17 или больше королей, тогда хотя бы в одной клетке 2х2 есть 2 короля, которые бьют друг друга. Пример как поставить 16 королей на рисунке.

4.10. 35=12+32+52,  149=52+62+72, 10346=1002+152+112.

Практическое задание. В 1742г. в письме к Эйлеру Христиан Гольдбах высказал предположение, которое до сих пор не смогли ни доказать, ни опровергнуть. «Всякое четное число есть сумма двух простых чисел».

Проверьте гипотезу Гольдбаха для чисел до 20.

Домашнее задание

4.10. Из доски 8х8 вырезали а) клетку а1; б) клетки а1 и h8. Можно ли остаток доски обойти шахматным конем, побывав на каждой клетке по одному разу и вернувшись на прежнее место?

4.11. Все числа от 1 до 10 выписали в произвольном порядке. Затем каждое из них сложили с номером места, на котором оно находится в строке. Докажите, что по крайней мере у двух из полученных сумм совпадает последняя цифра.

4.12. Может ли прямая пересечь все стороны 13-угольника ровно по 1 разу (не проходя через вершины)?

4.13. Картошку разложили в 24 пакета по  5 кг и 3 кг. Масса всех пакетов по 3 кг равна массе всех пакетов по 5 кг. Сколько пакетов по 5 кг?

4.14. Что больше: 376 или 549?

Занятие 22. Олимпиада.

1. Докажите, что из любых 65 целых чисел можно выбрать 9 так, что их сумма будет делиться на 9.
2. Первый член последовательности - 439, каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13. Чему   равен   99  член  последовательности?
3. Что больше: 1234567*1234569 или 12345682?
4. 10 подружек собрали 44 яблока. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое число яблок.
5. Зарплату сначала увеличили на 30%, а потом новую повышенную зарплату уменьшили на 30%. На сколько процентов изменилась зарплата?
6. Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто победит – начинающий или второй игрок?

    Занятие 23. Разбор задач олимпиады и домашнего задания.

Решение задач олимпиады.

1. Докажем что из 65 целых чисел можно выбрать либо 9 чисел с одинаковым остатком от деления на 9. Либо 9 чисел с различными остатками. Предположим что это невозможно т.е. существует не более 8 чисел с различными остатками и не более 8 чисел с одинаковым остатком тогда чисел будет не более 64, что противоречит условию. Легко проверить, что сумма 9 чисел с одинаковыми остатками, так же как и сумма 9 чисел с разными остатками (от 0 до 8) делится на 9.

2. Найдем следующие члены последовательности:

2 - 4+3+9=16; 16*17=272

3 - 2+7+2=11; 11*17=187

4 - 1+8+7=16; 16*17=272

Далее члены последовательности будут повторяться четные 272, нечетные – 187.

Таким образом, 99 член последовательности – 187.

3. 12345682 >12345682 –12=(1234568-1)*(1234568+1)=1234567*1234569

4. Предположим что все собрали различное количество яблок. Пронумеруем подружек в порядке возрастания количества собранных яблок тогда:

1 подружка собрала 0 яблок или больше

2 подружка собрала 1 яблоко или больше

………………………….

10 подружка собрала 9 яблок или больше

А все вместе они собрали 45 яблок или больше, что противоречит условию.

5. После увеличения зарплаты она с А рублей повысилась до 1,3А руб. После понижения зарплата стала 0,7(1,3А) = 0,91А. По сравнению с первоначальной зарплата уменьшилась на (1-0,91)*100% = 9%.
6. После каждого хода количество кучек увеличивается на 1. Сначала их было 3, в конце – 45. Всего будет сделано 43 хода, последний сделает ход второй игрок и выиграет.

Решение задач домашнего задания.

4.10.Ответ: не может в обоих случаях. а) Решение аналогично решению задачи 4.7.

б) Клетки а1 и h8 черного цвета. При ходе коня цвет его клетки меняется, значит оставшиеся 62 клетки последовательность ходов разбивает на пары белый-черный, что невозможно при неравном количестве белых – 32 и черных – 30 клеток. Значит, нельзя остаток доски обойти шахматным конем, побывав на каждой клетке по одному разу.

4.11. Если ни у одной из полученных 10 сумм не совпадает последняя цифра, то все цифры разные и сумма 5 четных и 5 нечетных чисел нечетна. Но если посчитать эту сумму, просто сложив все числа и номера их мест в строке, то получится четное число. Получили противоречие, таким образом по крайней мере у двух из полученных сумм совпадает последняя цифра.

4.12. Нет, не может. Представим себе, что она смогла это сделать. Когда прямая находится вне многоугольника, при пересечении стороны она попадает внутрь многоугольника, а пересекая еще одну сторону, опять выходит наружу. Когда она пересечет 13 сторон, она попадет внутрь, но прямая бесконечна, значит она пересечет какую-то сторону еще раз.

4.13. Пусть пакетов по 5 кг Х. Масса  всех пакетов по 5 кг равна 5Х кг, масса всех пакетов по 3 кг равна 3(24-Х) кг. Эти массы равны. Получается 9 пакетов по 5 кг

4.14. 376 > 549, т.к. 376 = 9*(33 )24 = 9*(27)24 > 549 = 5*(52)24 =5*(25)24.

Практическое задание. Расположите первые 9 чисел натурального ряда в клетках квадрата 3х3 так, чтобы суммы чисел по столбцам, строкам и диагоналям оказались равными. Это простейший магический квадрат. Один из вариантов расположения чисел показан на рисунке. Придумайте как можно больше своих вариантов.

  СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ф. Ф. Нагибин. Математическая шкатулка. -М.: Просвещение,1988
2. 2. С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В.Фомин.  Ленинградские математические кружки.- Киров:"АСА",1994

3. . Н.Б. Васильев, В.Л.Гутенмахер, Ж.М.Раббот, А.Л.Тоом  Заочные математические олимпиады. -М.:Наука,1986
4. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра 8.-М.:Просвещение, 2004
5. М.И. Башмаков, Б.М.Беккер, В.М. Гольховой. Задачи по математике алгебра и анализ –М. .:Наука,1982
6. И.Я Депман. История арифметики –М.: ГУПИ МП РСФСР, 1959
7. М.Гарднер. Математические чудеса и тайны.-М.:Наука,1986
8. А.А. Свечников Путешествие в историю математики, или как люди учились считать. - Педагогика-Пресс,1995.
9. В.О. Бугаенко. Турниры им. Ломоносова –МЦНМО, ЧеРо,1998
10. А.Я. Канель-Белов, А.К. Ковальджи, Н.Б. Васильев Подготовительные задачи к LVII Московской олимпиаде 1994 года для 8-11 классов. –М.: «TREADE PUBLISHERS», 1994.
11. И.Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад. –М.:Наука, 1975.
12. Под ред. В.М. Тихомирова. LXVIII московская математическая олимпиада, задачи и решения. –М.: МЦНМО, 2005.
13. С.Н. Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К. Потапов. Старинные занимательные задачи. –М.: Вита-Пресс, 1994.
14. И.Л. Никольская  Факультативный курс по математике 7-9.-М.:Просвещение,19
15. И.С. Петраков Математические кружки в 8-10 классах. - М.:Просвещение,1987