РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ПРЕДМЕТУ «АЛГЕБРА» 8 КЛАСС
рабочая программа по алгебре (8 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Красноалександровская основная  общеобразовательная школа Шебекинского района Белгородской области»

Рабочая программа

по предмету

«алгебра»

8 класс

Курлыкина Татьяна Ивановна

учитель математики

2013

Рабочая программа по предмету «Алгебра» для 8 класса составлена на основе авторской программы Макарычевы Ю.Н.и др., составитель Т.А. Бурмистрова. «Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы». Издательство «Просвещение». Москва. 2010 г.

Данная рабочая программа составлена для изучения алгебры по учебнику Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б., под редакцией Теляковского С.А. «Алгебра 8 класс»  (издательство «Просвещение» М. 2012 год).

Изучение алгебры в 8 классе направлено на достижение следующих целей: 

• продолжить овладевать системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
• продолжить интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;
• продолжить формировать представление об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
• продолжить воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Задачи:

В ходе преподавания алгебры в 8 классе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:

• планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;
• решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;
• исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;
• ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
• проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;
• поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

Согласно авторской программе Макарычева Ю.Н. Алгебра.7-9 классы, составитель Т.А. Бурмистрова. «Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы». Издательство «Просвещение». Москва. 2010 г., на изучение алгебры отводится -  3 ч в неделю в I-IV четвертях, всего 102 часа. Согласно приказу МБОУ «Красноалександровская ООШ»  от 15 августа 2013 года № 53 «Об утверждении календарного учебного графика на 2013-2014 учебный год» в 8 классе отводится 35 учебных недель, поэтому в разделе «Повторение» добавлено 3 часа в начале учебного года, с целью повторения материала за 7 класс. Всего -105 часов.

Учебно-методический комплект:

Учебник для общеобразовательных учреждений «Алгебра 8 класс»  (издательство «Просвещение» М. 2012 год), авторов Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И., Суворовой С.Б., под редакцией Теляковского С.А.

Авторская программа Макарычева Ю.Н., составитель Т.А. Бурмистрова. «Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы». Издательство «Просвещение». Москва. 2010 г

Рабочая программа рассчитана на 105 часов.

 Из них текущих контрольных работ – 9:

 -контрольная работа № 1 по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей»;

-контрольная работа № 2 по теме «Умножение и деление рациональных дробей»;

-контрольная работа № 3 по теме «Квадратный корень и его свойства»;

-контрольная работа № 4 по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»;

-контрольная работа № 5 по теме « Квадратные уравнения»;

-контрольная работа № 6 по теме «Решение дробных иррациональных уравнений»;

-контрольная работа № 7 по теме «Свойства числовых неравенств»;

-контрольная работа № 8 по теме «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной»;

-контрольная работа № 9 по теме «Степень с целым показателем, действия над приближенными значениями»

итоговая контрольная работа – 1:

-итоговая контрольная работа № 10.

итоговое тестирование - 1

Формы контроля: контрольная работа, тестирование

Содержание  учебного материала.

Учебно-тематический план

        1.Рациональные дроби.

Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Преобразования рациональных выражений.

        2.Квадратные корни.

Понятие об иррациональном числе. Общие сведения о действительных числах. Квадратный корень, приближенное значение квадратного корня. Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Функция у =  х, ее свойства и график.

3.Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям.

4.Неравенства.

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Применение свойств неравенств к оценке значения выражения. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной.

5. Степень с целым показателем .Элементы статистики.

Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный втд числа. Запись приближенных  значений. (Действия над приближенными значениями).

Сбор и группировка статистических данных. Наглядное представление статистической информации.

6. Повторение. 

Повторение основных вопросов курса. Решение  примеров и задач по основным темам.

Календарно тематическое планирование

Окончание табл.

Средства контроля:

СРОКИ  ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

В а р и а н т  1

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                        в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при а = 0,2; b = –5.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях а является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  2

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                    в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при х = –8, у = 0,1.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  3

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                        в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при b = 0,5; c = –14.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях р является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  4

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                        в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при р = –0,35, q = 28.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях х является целым числом значение выражения ?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а) ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при а = 0,2, b = –5:  = 25.

4.

.

5. .

Чтобы исходное выражение принимало целые значения, нужно, чтобы  было целым числом.

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т  2

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

        ;

    б) ;

     в) .

3. ,

при х = –8, у = 0,1:  = –40.

4.

.

5. .

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т  3

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

        ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при b = 0,5; c = –14:  = 4.

4.

.

5.

.

О т в е т: ±1; ±3.

В а р и а н т  4

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

        ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при р = –0,35, q = 28:  = 20.

4.

.

5. .

О т в е т: ±1; ±7.

Контрольная работа № 2

В а р и а н т  1

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях b ≠ ±1 значение выражения не зависит от b.

4. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  2

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?

3. Докажите, что при всех значениях х ≠ ±2 значение выражения  не зависит от х.

4. При каких значениях b имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  3

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?

3. Докажите, что при всех значениях y ≠ ±3 значение выражения  не зависит от у.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  4

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях a ≠ ±5 значение выражения  не зависит от а.

4. При каких значениях у имеет смысл выражение ?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) ;   б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение: .

1)

    ;

2) ;

3)  = 2.

Таким образом, при любом значении b данное выражение равно 2, то есть не зависти от b.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: а ≠ 1,5; а ≠ .

В а р и а н т  2

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение:

.

1)

    ;

2) ;

3)  = 0.

Таким образом, при любом значении х данное выражение равно нулю, то есть не зависит от х.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: b ≠ 0,5; b ≠ 1,5.

В а р и а н т  3

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х (0; +∞).

3. Упростим выражение:

.

1)

    ;

2) ;

3)  = 3.

Таким образом, при любом значении у данное выражение равно 3, то есть не зависит от у.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: х ≠ 2; х ≠ .

В а р и а н т  4

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х (0; +∞).

3. Упростим данное выражение:

.

1)

.

2) .

3)  = 2.

Таким образом, при любом значении а данное выражение равно 2, то есть не зависит от a.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: у ≠ –3; у ≠ .

Контрольная работа № 4

В а р и а н т  1

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                        б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях а дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  2

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                        б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  3

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  4

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях р дробь  принимает наибольшее значение?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а)

          ;

    б)

           = 10 – 6 = 4;

    в) .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

           .

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: при а = 0.

В а р и а н т  2

1. а)

        = 0;

    б)

        = 15 – 10 = 5;

    в)

        .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) + 2.

4. а) ;

    б)

           – 6.

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т  3

1. а)

        ;

    б)

            = 10 – 4 = 6;

    в) .

2. ,

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

           .

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т  4

1. а)

           ;

    б)

           = 12 + 9 = 21;

    в)

           .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

          .

5.

         = –1.

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях р.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при р = 0.

О т в е т: при р = 0.

Контрольная работа № 5

В а р и а н т  1

1. Решите уравнение:

а) 2х2 + 7х – 9 = 0;                        в) 100х2 – 16 = 0;

б) 3х2 = 18х;                                г) х2 – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.

3. В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т  2

1. Решите уравнение:

а) 3х2 + 13х – 10 = 0;                        в) 16х2 = 49;

б) 2х2 – 3х = 0;                                г) х2 – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.

3. Один из корней уравнения х2 + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т  3

1. Решите уравнение:

а) 7х2 – 9х + 2 = 0;                        в) 7х2 – 28 = 0;

б) 5х2 = 12х;                                г) х2 + 20х + 91 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х2 + рх + 56 = 0 один из его корней равен –4. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т  4

1. Решите уравнение:

а) 9х2 – 7х – 2 = 0;                        в) 5х2 = 45;

б) 4х2 – х = 0;                                г) х2 + 18х – 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х2 – 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) 2х2 + 7х – 9 = 0.

1-й  с п о с о б. D = 72 – 4 · 2 · (–9) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 1;

x2 =  = –4,5.

2-й  с п о с о б.  a + b + c = 0,  значит, х1 = 1, х2 = ,  то есть  х1 = 1,

 х2 =  = –4,5.

б) 3х2 = 18х;

    3х2 – 18х = 0;

    3х (х – 6) = 0;

    х = 0      или      х = 6.

в) 100х2 – 16 = 0;

    100х2 = 16;

    х2 = ;

    х2 = ;

    х = ;

    х = ;

    х = ±0,4.

г) х2 – 16х + 63 = 0.

1-й  с п о с о б. D1 = (–8)2 – 63 = 64 – 63 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 8 +  = 9;   x2 = 8 –  = 7.

2-й  с п о с о б. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

х1 + х2 = 16,   х1 · х2 = 63. Подбором получаем: х1 = 9, х2 = 7.

О т в е т: а) –4,5; 1; б) 0; 6; в) ±0,4; г) 7; 9.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (10 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:

х (10 – х) = 24;

10х – х2 – 24 = 0;

х2 – 10х + 24 = 0;

D1 = (–5)2 – 1 · 24 = 25 – 24 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 5 +  = 6;   x2 = 5 –  = 4.  Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 6 см.

3. Пусть х1 = –9 и х2 – корни уравнения х2 + рх – 18 = 0, тогда по теореме Виета: –9 + х2 = –р и –9 · х2 = –18.

Имеем: х2 = ; х2 = 2 и –9 + х2 = –р, отсюда р = 7.

О т в е т: х2 = 2; р = 7.

В а р и а н т  2

1. а) 3х2 + 13х – 10 = 0.

D = 132 – 4 · 3 · (–10) = 169 + 120 = 289, D > 0, 2 корня.

х1 = ;

х2 =  = –5.

б) 2х2 – 3х = 0;

     х (2х – 3) = 0;

     х = 0         или        2х – 3 = 0;

                                х = ;

                                х = 1,5.

в) 16х2 = 49.

    х2 = ;

    х = ±;

    х = ±;

    х = ±1,75.

г) х2 – 2х – 35 = 0.

D1 = (–1)2 – 1 · (–35) = 1 + 35 = 36, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 1 +  = 1 + 6 = 7;

x2 = 1 –  = 1 – 6 = –5.

О т в е т: а) –5; ; б) 0; 1,5; в) ±1,75; г) –5; 7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (15 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 56 см2, составим уравнение:

х (15 – х) = 56;

15х – х2 – 56 = 0;

х2 – 15х + 56 = 0;

D = (–15)2 – 4 · 1 · 56 = 225 – 224 = 1, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 8;     x2 =  = 7.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 7 см; 8 см.

3. Пусть х1 = –7 и х2 – корни уравнения х2 + 11х + q = 0, тогда по теореме Виета: –7 + х2 = –11 и –7 · х2 = q.

Имеем: х2 = –11 + 7, х2 = –4   и   –7 · (–4) = q, отсюда q = 28.

О т в е т: х2 = –4; q = 28.

В а р и а н т  3

1. а) 7х2 – 9х + 2 = 0.

1-й  с п о с о б. D = (–9)2 – 4 · 7 · 2 = 81 – 56 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 1;

х2 = .

2-й  с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = , то есть х1 = 1,

х2 = .

б) 5х2 = 12х.

    5х2 – 12х = 0;

    х (5х – 12) = 0;

    х = 0        или        5х – 12 = 0;

                                5х = 12;

                                х = ;

                                х = 2,4.

в) 7х2 – 28 = 0.

    7х2 = 28;

    х2 = 4;

    х = ±;

    х = ±2.

г) х2 + 20х + 91 = 0.

D1 = 102 – 1 · 91 = 100 – 91 = 9, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –10 +  = –10 + 3 = –7;

x2 = –10 –  = –10 – 3 = –13.

О т в е т: а) 1; ; б) 0; 2,4; в) ±2; г) –13; –7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (13 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 36 см2, составим уравнение:

х (13 – х) = 36;

13х – х2 – 36 = 0;

х2 – 13х + 36 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 1 · 36 = 169 – 144 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 9;     х2 =  = 4.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 9 см.

3. Пусть х1 = –4 и х2 – корни уравнения х2 + рх + 56 = 0, тогда по теореме Виета: –4 + х2 = –р и –4 · х2 = 56.

Имеем: х2 = ;   х2 = –14  и  –4 + (–14) = –р,  отсюда р = 18.

О т в е т: х2 = –14; р = 18.

В а р и а н т  4

1. а) 9х2 – 7х – 2 = 0.

1-й  с п о с о б. D = (–7)2 – 4 · 9 · (–2) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 1;

х2 = .

2-й  с п о с о б.  a + b + c = 0,  значит,  х1 = 1,  х2 = ,  то есть  х1 = 1,
х2 = .

б) 4х2 – х = 0.

    х (4х – 1) = 0;

    х = 0         или        5х – 12 = 0;

                                4х – 1 = 0;

                                4х = 1;

                                х = ;

                                х = 0,25.

в) 5х2 = 45.

    х2 = ;

    х2 = 9;

    х = ± ;

    х = ±3.

г) х2 + 18х – 63 = 0.

D1 = 92 – 1 · (–63) = 81 + 63 = 144, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –9 +  = –9 + 12 = 3;

x2 = –9 –  = –9 – 12 = –21.

О т в е т: а) ; 1; б) 0; 0,25; в) ±3; г) –21; 3.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (11 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:

х (11 – х) = 24;

11х – х2 – 24 = 0;

х2 – 11х + 24 = 0;

D = (–11)2 – 4 · 1 · 24 = 121 – 96 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 8;     х2 =  = 3.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 3 см; 8 см.

3. Пусть х1 = 13 и х2 – корни уравнения х2 – 7х + q = 0, тогда по теореме Виета: 13 + х2 = 7 и 13 · х2 = q.

Имеем: х2 = 7 – 13, х2 = –6 и 13 · (–6) = q, отсюда q = –78.

О т в е т: х2 = –6; q = –78.

Контрольная работа № 6

В а р и а н т  1

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

В а р и а н т  2

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

В а р и а н т  3

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

В а р и а н т  4

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 2.

2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) . Общий знаменатель х2 – 9.

          х2 = 12 – х;

          х2 + х – 12 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 3; х2 = –4.

Если х = 3, то х2 – 9 = 0.

Если х = –4, то х2 – 9 ≠ 0.

б)  = 3. Общий знаменатель х (х – 2).

    6х + 5(х – 2) = 3х(х – 2);

    6х + 5х – 10 – 3х2 + 6х = 0;

    –3х2 + 17х – 10 = 0;

    3х2 – 17х + 10 = 0.

D = (–17)2 – 4 · 3 · 10 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 5;

x2 = .

Если х = 5, то х (х – 2) ≠ 0.

Если х = , то х (х – 2) ≠ 0.

О т в е т: а) –4; б) ; 5.

2. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, с которой он ехал из А в В, тогда (х – 3) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил  ч, а обратно  ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 10 мин ( часа) меньше, составим уравнение:

 –  = . Общий знаменатель 6х (х – 3).

162(х – 3) – 120х – х(х – 3) = 0;

162х – 486 – 120х – х2 + 3х = 0;

х2 – 45х + 486 = 0.

D = (–45)2 – 4 · 486 = 81, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 27;

x2 =  = 18.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая скорость для велосипедиста).

О т в е т: 18 км/ч.

В а р и а н т  2

1. а) . Общий знаменатель х2 – 16.

          3х + 4 = х2;

          х2 – 3х – 4 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета х1 = 4; х2 = –1.

Если х = 4, то х2 – 16 = 0.

Если х = – 1, то х2 – 16 ≠ 0.

б)  = 2. Общий знаменатель х (х – 5).

    3х + 8(х – 5) = 2х(х – 5);

    3х + 8х – 40 – 2х2 + 10х = 0;

    –2х2 + 21х – 40 = 0;

    2х2 – 21х + 40 = 0.

D = (–21)2 – 4 · 2 · 40 = 441 – 320 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 8;

x2 =  = 2,5.

Если х = 8, то х (х – 5) ≠ 0.

Если х = 2,5, то х (х – 5) ≠ 0.

О т в е т: а) –1; б) 2,5; 8.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл  со  скоростью  (х – 3) км/ч,  по  течению – (х + 3) км/ч  и  по  озеру – х км/ч. Против течения он шёл  ч, по течению  ч, а по озеру он шёл бы  ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

 +  = . Общий знаменатель х (х – 3)(х + 3).

12х(х + 3) + 5х(х – 3) = 18(х – 3)(х + 3);

12х2 + 36х + 5х2 – 15х – 18х2 + 162 = 0;

х2 – 21х – 162 = 0.

D = (–21)2 – 4 · 162 = 441 + 648 = 1089, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 27;

x2 =  = –6.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = –6 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 27 км/ч.

В а р и а н т  3

1. а) . Общий знаменатель х2 – 1.

          х2 = 4х + 5;

          х2 – 4х – 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –1.

Если х = 5, то х2 – 1 ≠ 0.

Если х = –1, то х2 – 1 = 0.

б)  = 3. Общий знаменатель х (х – 3).

    5х – 8(х – 3) = 3х(х – 3);

    5х – 8х + 24 – 3х2 + 9х = 0;

    3х2 – 6х – 24 = 0;

    х2 – 2х – 8 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 4; х2 = –2.

Если х = 4, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –2, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 5; б) –2; 4.

2. Пусть х км/ч – скорость, с которой велосипедист ехал из А в В, тогда (х + 4) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил  ч, а обратно  ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 1 ч меньше, составим уравнение:

 –  = 1. Общий знаменатель х (х + 4).

48(х + 4) – 40х – х(х + 4) = 0;

48х + 192 – 40х – х2 – 4х = 0;

х2 – 4х – 192 = 0.

D1 = (–2)2 + 192 = 196, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 2 +  = 2 + 14 = 16;

x2 = 2 –  = 2 – 14 = –12.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 16 км/ч.

В а р и а н т  4

1. а) . Общий знаменатель х2 – 4.

        5х + 14 = х2;

        х2 – 5х – 14 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 7; х2 = –2.

Если х = 7, то х2 – 4 ≠ 0.

Если х = –2, то х2 – 4 = 0.

б)  = 2. Общий знаменатель х (х – 3).

     8х – 10(х – 3) – 2х(х – 3) = 0;

     8х – 10х + 30 – 2х2 + 6х = 0;

     2х2 – 4х – 30 = 0;

     х2 – 2х – 15 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –3.

Если х = 5, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –3, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 7; б) –3; 5.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл  со  скоростью (х – 2)  км/ч,  по  течению – (х + 2)  км/ч  и  по  озеру – х км/ч. Против течения он шёл  ч, по течению  ч, а по озеру он шёл бы  ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

 +  = . Общий знаменатель х (х – 2)(х + 2).

15х(х + 2) + 6х(х – 2) – 22(х – 2)(х + 2) = 0;

15х2 + 30х + 6х2 – 12х – 22х2 + 88 = 0;

х2 – 18х – 8 = 0.

D1 = (–9)2 + 88 = 169, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 9 +  = 9 + 13 = 22;

x2 = 9 –  = 9 – 13 = –4.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –4 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 22 км/ч.

Контрольная работа № 7

Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить первые два задания. Для получения отметки «5» необходимо выполнить любые четыре задания. Если выполнены все пять заданий, учащийся может получить дополнительную оценку.

В а р и а н т  1

1. Докажите неравенство:

а) (x – 2)2 > x(x – 4);            б) a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что а < b. Сравните:

а) 21а и 21b;            б) –3,2а и –3,2b;            в) 1,5b и 1,5а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 2,6 << 2,7. Оцените:

а) 2;            б) –.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 2,6 < а < 2,7,   1,2 < b < 1,3.

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

В а р и а н т  2

1. Докажите неравенство:

а) (x + 7)2 > x(x + 14);            б) b2 + 5 ≥ 10(b – 2).

2. Известно, что а > b. Сравните:

а) 18а и 18b;            б) –6,7а и –6,7b;            в) –3,7b и –3,7а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,1 << 3,2. Оцените:

а) 3;            б) –.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6,   3,2 < b < 3,3.

5. Даны  четыре  последовательных  натуральных  числа.  Сравните  произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.

В а р и а н т  3

1. Докажите неравенство:

а) (x – 3)2 > x(x – 6);            б) у2 + 1 ≥ 2(5у – 12).

2. Известно, что х < у. Сравните:

а) 8х и 8у;            б) –1,4х и –1,4у;            в) –5,6у и –5,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,6 << 3,7. Оцените:

а) 3;            б) –2.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 < х< 1,2,   1,5 < у < 1,6.

5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

В а р и а н т  4

1. Докажите неравенство:

а) (x + 1)2 > x(x + 2);            б) a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что х > у. Сравните:

а) 13х и 13у;            б) –5,1х и –5,1у;            в) 2,6у и 2,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,3 << 3,4. Оцените:

а) 5;            б) –2.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами с см и b см, если известно, что 4,6 < с < 4,7,   6,1 < b < 6,2.

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число т. Сравните произведение средних членов получившейся последовательности с произведением крайних членов.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) (x – 2)2 – x(x – 4) = x2 – 4x + 4 – x2 + 4x = 4 > 0, значит,

        (x – 2)2 > x(x – 4).

б) a2 + 1 – 2(3a – 4) = a2 + 1 – 6a + 8 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 ≥ 0,

    значит, a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

О т в е т: а) 21а < 21b; б) –3,2а > –3,2b; в) 1,5b > 1,5а.

3. а) 2,6 << 2,7;                        б) 2,6 << 2,7

           5,2 < 2< 5,4;                            –2,7 < –< –2,6.

О т в е т: а) 5,2 < 2< 5,4; б) –2,7 < –< –2,6.

4.      S = a ∙  b см2;                               P = 2(a + b) см;

            2,6 < а < 2,7                                  2,6 < а < 2,7

            1,2 < b < 1,3                                           1,2 < b < 1,3               

2,6 · 1,2 < a · b < 2,7 · 1,3                  2,6 + 1,2 < a + b < 2,7 + 1,3

         3,12 < ab < 3,51                          2 · 3,8 < 2(a + b) < 2 · 4

         3,12 < S < 3,51                            7,6 < 2(a + b) < 8,0

                                                        7,6 < Р < 8,0

О т в е т: 3,12 < S < 3,51; 7,6 < Р < 8,0.

5. Пусть 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а – полученная последовательность.

(2 + а)(5 + а) – (3 + а)(4 + а) = 10 + 2а + 5а + а2 – 12 – 3а – 4а – а2 =
= –2 < 0, значит, произведение крайних членов последовательности меньше произведения её средних членов.

В а р и а н т  2

1. а) (x + 7)2 – x(x + 14) = x2 + 14x + 49 – x2 – 14x = 49 > 0,

        значит, (x + 7)2 > x(x + 14).

б) b2 + 5 – 10(b – 2) = b2 + 5 – 10b + 20 = b2 – 10b + 25 = (b – 5)2 ≥ 0,

    значит, b2 + 5 ≥ 10(b – 2).

О т в е т: а) 18а > 18b; б) –6,7а < –6,7b; в) –3,7b > –3,7а.

3. а) 3,1 << 3,2                        б) 3,1 << 3,2

           9,3 << 9,6;                            –3,2 < –< –3,1.

О т в е т: а) 9,3 << 9,6; б) –3,2 < –< –3,1.

4.      S = a ∙  b см2                        P = 2(a + b) см.

            1,5 < а < 1,6                          1,5 < а < 1,6

            3,2 < b < 3,3                               3,2 < b < 3,3            

     4,80 < ab < 5,28                1,5 + 3,2 < a + b < 1,6 + 3,3

      4,80 < S < 5,28.                 2 · 4,7 < 2(a + b) < 2 · 4,9

                                              9,4 < 2(a + b) < 9,8

                                                9,4 < Р < 9,8.

О т в е т: 4,80 < S < 5,28; 9,4 < Р < 9,8.

5. п, п + 1, п + 2, п + 3 – последовательные натуральные числа.

п (п + 3) – (п + 1) (п + 2) = п2 + 3п – п2 – 2п – п –2 = –2 < 0, значит, произведение первого и последнего числа меньше произведения двух средних чисел.

В а р и а н т  3

1. а) (x – 3)2 – x(x – 6) = x2 – 6x + 9 – x2 + 6x = 9 > 0,

        значит, (x – 3)2 > x(x – 6).

б) у2 + 1 – 2(5у – 12) = у2 + 1 – 10у + 24 = у2 – 10у + 25 = (у – 5)2 ≥ 0,

    значит, у2 + 1 ≥ 2(5у – 12).

О т в е т: а) 8х < 8у; б) –1,4х > –1,4у; в) –5,6у < –5,6х.

3. а) 3,6 << 3,7                        б) 3,6 << 3,7

           10,8 < 3< 11,1.                     7,2 < 2< 7,4

                                                     –7,4 < –2< –7,2.

О т в е т: а) 10,8 < 3< 11,1; б) –7,4 < –2< –7,2.

4.      S = х ∙  у см2                              P = (х + у) см.

         1,1 < х < 1,2                               1,1 < х < 1,2

         1,5 < у < 1,6                                   1,5 < у < 1,6              

 1,1 · 1,5 < ху < 1,2 · 1,6                1,1 + 1,5 < х + у < 1,2 + 1,6

          1,65 < ху < 1,92                        2 · 2,6 < 2(х + у) < 2 · 2,8

          1,65 < S < 1,92.                          5,2 < 2(х + у) < 5,6.

                                                       5,2 < Р < 5,6.

О т в е т: 1,65 < S < 1,92; 5,2 < Р < 5,6.

5. п, п + 1, п + 2 – последовательные натуральные числа.

(п + 1)2 – п (п + 2) = п2 + 2п + 1 – п2 – 2п = 1 > 0, значит, квадрат среднего числа больше произведения двух других чисел.

В а р и а н т  4

1. а) (x + 1)2 – x(x + 2) = x2 + 2x + 1 – x2 – 2x = 1 > 0,

        значит, (x + 1)2 > x(x + 2).

б) a2 + 1 – 2(3a – 4) = a2 + 1 – 6a + 8 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 ≥ 0,

    значит, a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

О т в е т: а) 13х > 13у; б) –5,1х < –5,1у; в) 2,6у < 2,6х.

3. а) 3,3 << 3,4                        б) 3,3 << 3,4

           16,5 < 5< 17,0;                    –6,6 > –2> –6,8;

                                                    –6,8 < –2< –6,6.

О т в е т: а) 16,5 < 5< 17,0; б) –6,8 < –2< –6,6.

4.      S = с ∙  b см2                               P = 2(с + b) см

         4,6 < с < 4,7                                  4,6 < с < 4,7

         6,1 < b < 6,2                                       6,1 < b < 6,2              

4,6 · 6,1 < с · b < 4,7 · 6,2                  4,6 + 6,1 < с + b < 4,7 + 6,2

     28,06 < сb < 29,14                        2 · 10,7 < 2(с + b) < 2 · 10,9

     28,06 < S < 29,14.                             21,4 < 2(с + b) < 21,8

                                                        21,4 < Р < 21,8.

О т в е т: 28,06 < S < 29,14; 21,4 < Р < 21,8.

5. 6 + т, 5 + т, 4 + т, 3 + т – полученная последовательность.

(5 + т)( 4 + т) – (6 + т)(3 + т) = 20 + 5т + 4т + т2 – 18 – 6т – 3т –
– т2 = 2 > 0, значит, произведение средних членов последовательности больше произведения её крайних членов.

Контрольная работа № 8

В а р и а н т  1

1. Решите неравенство:

а) x < 5;           б) 1 – 3х ≤ 0;           в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1.

2. При каких а значение дроби  меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях х имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 3x – 7 < является числовой промежуток (–∞; 4)?

В а р и а н т  2

1. Решите неравенство:

а) х ≥ 2;           б) 2 – 7х > 0;           в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4.

2. При каких b значение дроби  больше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 4х + 6 > является числовой промежуток (3; +∞)?

В а р и а н т  3

1. Решите неравенство:

а) х > 1;           б) 1 – 6х ≥ 0;           в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5.

2. При каких т значение дроби  меньше соответствующего значения выражения т – 6?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 5х – 1 < является числовой промежуток (–∞; 2)?

В а р и а н т  4

1. Решите неравенство:

а) х ≤ 2;           б) 2 – 5х < 0;           в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5.

2. При каких а значение выражения а + 6 меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях т имеет смысл выражение +
+?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 6х + 11 >
>  является числовой промежуток (1; +∞)?

Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю.

Задания 1 и 3 соответствуют уровню обязательной подготовки. Для получения отметки «3» достаточно решить любые 2 задания. Для получения оценки «5» необходимо решить любые 5 заданий.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) x < 5;

        х < 30;        (–∞; 30).

б) 1 – 3х ≤ 0;

    – 3х ≤ 1;

    х ≥ ;        .

в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1;

    5y – 6 – 4,6 > 3y + 1;

    5y – 3y > 1 + 6 + 4,6;

    2y > 11,6;

    y > 5,8;        (5,8; +∞).

О т в е т: а) (–∞; 30); б) ; в) (5,8; +∞).

2. < ;

    2(7 + a) < 3(12 – a);

    14 + 2a < 36 – 3a;

    2a + 3a < 36 – 14;

    5a < 22;

        a < 4,4.

О т в е т: при a < 4,4.

3. а)

         (1,5; +∞).

б)

         (1; 1,3).

О т в е т: а) (1,5; +∞); б) (1; 1,3).

4.

О т в е т: 2; 3; 4.

5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:

 ≤ x ≤ 6.

О т в е т: при  ≤ x ≤ 6.

6. 3x – 7 <;

    9х – 21 < a;

    9x < a + 21;

    x < ;        .

Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 4), если:

 = 4;

а + 21 = 36;

а = 15.

О т в е т: при а = 15.

В а р и а н т  2

1. а) х ≥ 2;

        х ≥ 6;        [6; +∞).

б) 2 – 7х > 0;

    –7x > –2;

    x < ;        .

в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4;

    6y – 9 – 3,4 > 4y – 2,4;

    6y – 4y > 9 + 3,4 – 2,4;

    2y > 10;

    y > 5;        (5; +∞).

О т в е т: а) [6; +∞); б) ; в) (5; +∞).

2.  > ;

    3(b + 4) >2(5 – 2b);

    3b + 12 > 10 – 4b;

    3b + 4b > 10 – 12;

    7b > –2;

    b > .

О т в е т: при b > .