методическая разработка по математике на тему "Решение тригонометричесикх уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Тема:  «Решение тригонометрических уравнений».

(2 часа)

Цели: выработать у учащихся навыки решения более сложных тригонометрических уравнений, выделив общую идею решения: приведение уравнения к виду, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию одного аргумента с последующей заменой переменной, или разложение на множители.

Задачи:  Отработка навыков решения тригонометрических уравнений различными способами посредством включения учащихся в самостоятельную познавательную деятельность, воспитание самостоятельности и ответственности за качество своих знаний, развитие умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий, развитие навыков самоконтроля.

Ход урока

1. Актуализация опорных знаний учащихся.

Повторить общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений вида sin t=a,  cos t=a, tg t=a, где а - действительное число.

Вспомнить условие, при котором уравнения sin t=a,  cos t=a не имеют решений.

Повторить формулы для частных случаев, когда а=-1, 0, 1.

2. Изучение нового материала.

Пример1: Решить уравнения:

а) sin 2х=1\2,   б) cos3х=-√2\2,   в) tg(4х-π\6)=√3\3

Решение: а) Введем новую переменную t=2х, тогда заданное уравнение примет вид        sin t=1\2,откуда получаем t=(-1) arcsin1\2+πn.

Имеем arcsin1\2=π\6. Значит, t=(-1) π\6+ πn.

Возвращаясь к переменной х , получаем 2х= (-1) π\6+ πn. Осталось обе части этого равенства разделить почленно на 2, получим х=(-1) π\12+πn\2.

При наличии некоторого опыта можно не вводить промежуточную переменную t=2x, а сразу переходить от уравнения sin 2х=1\2 к записи 2х= (-1) arcsin1\2+πn. Именно так и будем поступать в дальнейшем.

б) Мы знаем , что решения уравнения  cos t=a имеют вид t=+-arccos a +2πn. Для нашего примера это означает, что 3х=+- arcos(-√2\2)+ 2πn. Вычислим                                             arcos(-√2\2),воспользовавшись соответствующей формулой для арккосинуса:

arcos(-√2\2)=π- arcos√2\2=π-π\4=3π\4.

Значит, 3х=+-3π\4+2πn, откуда находим, что х=+-π\4+2πn\3.

в) Мы знаем, что решения уравнения tg t=a имеют вид t=arctg a +πn. Для нашего примера это означает, что 4х-π\6= arctg√3\3+ πn. Вычислив arctg√3\3, получим π\6. Таким образом,

4х-π\6=π\6+ πn,

4х=π\6+π\6+ πn,

4х=π\3+ πn,

Х=π\12+ πn\4.

Пример2: найти те корни уравнения sin 2х=1\2, которые принадлежат отрезку [ 0,π ].

Решение: сначала решим уравнение в общем виде:

Х=(-1) π\12+ πn\2(см.пример 1а). Далее  придадим параметру n последовательно значения 0,1,2,…,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.

Если n=0, то х=(-1) π\12+0=π\12. Это число принадлежит заданному отрезку [ 0, π]  .

Если n=1, то х=(-1) π\12+ π\2=- π\12+ π\2=5 π\12. Это число не принадлежит заданному отрезку  [0, π]  .

Если n=2, то х=(-1) π\12+ π= π\12+ π=13 π\12. Это число не принадлежит заданному отрезку  [0, π ] . Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n=3,4,… .

Пусть теперь n=-1. Тогда

Х=(-1) π\12- π\2=-7 π\12.

Это число не принадлежит заданному отрезку [ 0, π]  . Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n=-2,-3,… .

На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Итак , заданному отрезку  [0, π]  принадлежат те корни уравнения, которые получаются из общей формулы при следующих значениях параметра n: n=0, n=1. Эти корни таковы: π\12, 5 π\12.

Ответ: π\12, 5 π\12.

Пример 3. Найти те корни уравнения cos 3x=-√2\2, которые принадлежат отрезку  [- π\2, π]  .

Решение: сначала решим уравнение в общем виде:  х=+- π\4+2 π n\3 (см. пример 1б). Далее придадим параметру n последовательно значения 0,1,2, …,-1,-2,… и подставим эти значения в общую формулу корней.

Если n=0, то х=+- π\4+0=+- π\4. Оба эти числа (-π\4 и π\4)принадлежат заданному отрезку  [- π\2, π]   .

Если n=1, то х=+- π\4+2 π\3. Это значит, что либо х= π\4+2 π\3=11 π\12, либо х=- π\4+2 π\3=5 π\12. Оба числа 11 π\12 и 5 π\12 принадлежат заданному отрезку  [- π\2, π]  .

Если n=2, то х=+- π\4+4 π\3. Это значит, что либо х=+- π\4+4 π\3=19 π\12, либо                     х=- π\4+ 4 π\3=13 π\12. Числа 19 π\12 и 13 π\12 не принадлежат заданному отрезку              [- π\2, π]  , поскольку оба они больше числа π. Тем более не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n=3,4,… .

Пусть n=-1, то х=+- π\4-2 π\3. Это значит, что либо х= π\4-2 π\3=-5 π\12, либо х=- π\4-2 π\3=-11 π\12. Из этих двух значений заданному отрезку  [- π\2, π ]  принадлежит только -5 π\12, поскольку второе число, т.е. число -11 π\12, меньше числа – π\2.

Не будут принадлежать заданному отрезку те значения х, которые получаются из общей формулы при n=-2,-3,… .

На рисунке представлена геометрическая интерпретация проведенных рассуждений.

Итак, по заданному отрезку [ - π\2, π]  принадлежат следующие корни уравнения: π\4, - π\4, 5 π\12, 11 π\12, -5 π\12.

Ответ: -5 π\12, - π\4, π\4,5 π\12,11 π\12.

Закрепить : №352,354.

Два основных метода решения тригонометрических уравнений.

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используются два метода: введение новой переменной и разложение на множители.

Вернемся к материалу п.16. Там в примере 3 мы решили тригонометрическое уравнение

2sin  t-5sin t+2=0. Как мы это сделали? Ввели новую переменную z=sin t, переписали уравнение в виде 2z -5z+2=0, откуда z1=2, z2=1\2. В результате мы получили два простых уравнения: sin t=2, sin t=1\2. Первое уравнение не имеет решений, а для второго нашли две серии решений: t= π\6+2 πк, t=5 π\6+2 πк, которые можно объединить одной формулой t=(-1) π\6 + π n.

В том же п.16 в примере 4 мы решили тригонометрическое уравнение cos t- sin t- cos t=0. Как мы это сделали? воспользовались тем, что sin t=1- cos t и заданное уравнение переписали в виде cos t-(1- cos t)- cos t=0 и далее 2 cos t- cos t-1=0. Введя новую переменную z= cos t, получили 2 z  - z-1=0, откуда z1=1, z2=-1\2. Значит, либо cos t=1, либо cos t=-1\2. В итоге получили две серии решений : t=2 πк,  t=+-2 π\3+2 πк.

Рассмотрим еще один пример на использование метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений.

Пример 4. Решить уравнение tg x\2+3ctg x\2=4.

Решение. Поскольку ctgх\2=1\( tgх\2), есть смысл ввести новую переменную z= tgх\2. Это позволит переписать уравнение в более простом виде: z+3\ z=4.

Далее, получаем  z  +3=4 z

Z -4 z+3=0

Z1=1, z2=3.

Возвращаясь к переменной х , получаем два уравнения: tgх\2=1 или tgх\2=3. Из первого уравнения находим х\2=arctg1+ π n, т.е.  х\2= π\4+ π n, х= π\2+2 π n. Из второго уравнения находим х\2= arctg3+ π n,  х=2 arctg3+2 π n.

Ответ: х= π\2+2 π n, х=2 arctg3+2 π n.

Теперь поговорим о втором методе решения тригонометрических уравнений – методе разложения на множители. Смысл этого метода вам знаком: если уравнение f(x)=0 удается преобразовать к виду f1(x)*f2(x)=0, то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят – к решению совокупности уравнений):

F1(x)=0? F2(x)=0.

Пример 5. Решить уравнение (sin х-1\3)( cosх+2\5)=0.

Решение: задача сводится к решению совокупности уравнений

sin х=1\3,  cosх=-2\5.

Из этих уравнений находим, соответственно,

Х=(-1) arc sin 1\3+ π n, х=+- arc cos(-2\5)+2 π n.

Пример 6. Решить уравнение 2 sin х*cos5х-cos5х=0.

Решение: имеем  cos5х(2 sinх-1)=0. Значит, приходим к совокупности уравнений

Cos5х=0,   sinх=1\2.

Из первого уравнения находим 5х= π\2+ π n, х= π\10+ π n\5.

Из второго уравнения находим х=(-1) π\6+ π n.

Ответ: х= π\10+ π n\5,  х= (-1) π\6+ π n.

Учтите, что переход от уравнения f1(х)*f2(х)=0  к  совокупности уравнений                               f1(х)=0, f2(х)=0 не всегда безопасен. Рассмотрим , например, уравнение

Tgх(sinх-1)=0. Из уравнения tgх=0 находим х=πn, из уравнения sinх=1 находим х=π\2+2πn. Но включить обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях х=π\2+2πn входящий в заданное уравнение множитель tgх не имеет смысла, т.е. значения х=π\2+2πn не принадлежит области определения уравнения (области допустимых значений-ОДЗ), это посторонние корни.

3. Закрепление изученного материала

№352,354, 355(б), 356(г), 357(а), 358(в), 361(а,в).

№352а) sin(-х\3)=√2\2,   - х\3=(-1) arcsin√2\2+ π n,    -х\3=(-1) π\4+ π n,  х=(-1)  3 π\4-3 π n.

Б) cos(-2х)=-√3\2,  -2х=+-arccos√3\2+2πn,   -2х=+-π\6+2πn,  х=+-π\12-πn.

В) tg(-4х)=1\√3,   -4х=arctg(1\√3)+ πn,   -4х=π\6+πn,   х=-π\24-πn\4.

Г) сtg(-х\2)=1,   -х\2=arcсtg1+πn,   -х\2=π\4+πn,   х=-π\2-2πn.

№354 а) cos(π\6-2х)=-1,   π\6-2х=+-arccos(-1)+2πn,   π\6-2х=+-π+2πn,   -2х=+-π-π\6+2πn,    

Х=+-π\2+π\12-πn.

Б) tg(π\4-х\2)=-1,   π\4-х\2=arctg(-1)+ πn,   -х\2=-π\4-π\4+πn,  х=π-πn\2.

В)2 sin(π\3-х\4)=√3,    sin(π\3-х\4)=√3\2,    π\3-х\4=(-1)  arcsin√3\2+πn,   -х\4=π\3-π\3+πn,    

-х\4=πn,   х=-4πn

Г)2 cos(π\4-3х)=√2,   cos(π\4-3х)=√2\2,  π\4-3х=+-arccos√2\2+2πn,  -3х=+-π\4-π\4+2πn,  

Х=+-π\12+π\12-2πn\3.

№355(б)3sin 2х+10sin2х+3=0,  z=sin2х, 3z +10 z+3=0,  D=100-4*3*3=64,  z1=-3, z2=-1\3,

Sin2х=-3, решений нет,    sin2х=-1\3,   2х=(-1) arc sin(-1\3)+π n,   х=((-1) arc sin1\3)\2+π n\2.

№356(г) 2 cos х\3+3 cosх\3-2=0,  z= cosх\2,  2 z +3 z-2=0, D=9+4*2*2=25,  z1=-2,  z2=-1\2,

Cosх\3=-2, решений нет, cosх\3=-1\2, х\3=+- arc cos(-1\2)+2π n,  х\3=+-2π\3+2π n,  х=+-6π\3-6π n.

№357(а). 2 sin х+3 cosх=0, 2-2 cos х+3 cos=0,  -2 cos х+3 cosх+2=0,  z=cosx,

-2z +3z+2=0, D=9+4*2*2=25,   z1=2,  z2=-1\2,  cosx=2, решений нет,  cosx=-1\2, x=+-arccos(-1\2)+2πn,   x=+-2π\3+2πn.

№358(в)2tg x+3tgx-2=0,  z=tgx, 2z +3z-2=0,   D=9+4*2*2=25,  z1=-2,   z2=1\2

Tgx=-2, x1=-arctg2+πn, x2=arctg1\2+πn.

 №361(а,в)  а) sinx+√3cos x=0,   sinx=-√3cosx,  sinx\cosx=-√3,  tgx=-√3,  x=arctg(-√3)+πn,

X=-π\3+πn.

В) sinx-3cos x=0, sinx=3cosx,  sinx\cosx=3,  tgx=3,  x=arctg3+πn.

Провести проверочную самостоятельную работу на 2 варианта

Вариант 1. Решите уравнения:

1. А) sinx=1\2,  б) sin2x=1\2,  в) sinx\2=-1\2
2. А) cos x=√2\2,  б) cos x\3=√2\2,  в) cos 2x=-√2\2
3. А) tgx=1,  б) tg(x-π\3)=1,  в) tgx=-1
4. А) sin3x=2,  б) cos x\4=-√3,  в) tgx(2-cos x)=0

Вариант 2.решите уравнения:

1. А) cos x=√3\2,  б) cos2 x=√3\2,  в) cos x=-√3\2
2. А)  sinx=√2\2,  б) sinx\2=√2\2,  в) sin3x=-√2\2
3. А) tgx=√3,  б) tg(х+π\3)=√3,   в) tgx=-√3
4. А) cos 2x=1,5,   б) sinx\3=-√2,  в)сtgx(2+sinx)=0

Задание на дом: п.20, №353,359,360

Литература

1. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. :В двух частях.Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений .-М.:Мнемозина, 2008.
2. А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях.Ч.2:Задачник для общеобразоват. учреждений. –М.:Мнемозина, 2008.
3. Т.И.Купорова. Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы по учебнику А. Г. Мордковича.1 полугодие.-Волгоград: Учитель, 2009.
4. В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа».-М, 2008.

Елецкий государственный колледж искусств им. Т.Н.Хренникова

Методическая разработка по матетике

по теме «Тригонометрические уравнения»

для 1 курса

подготовила  преподаватель

математики и информатики

Фролова О.С.

Елец, 2012