Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы.
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы , приемы, равносильные переходы учитель математики МБОУ СОШ № 143 Князькина Т. В .

Слайд 2

Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе : log k ( x ) f ( x ) ∨ log k ( x ) g ( x ) ⇒ ( f ( x ) − g ( x )) · ( k ( x ) − 1) ∨ 0 Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми. Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Не забывайте ОДЗ логарифма ! Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно: f ( x ) > 0; g ( x ) > 0; k ( x ) > 0; k ( x ) ≠ 1. Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.

Слайд 3

Решите неравенство: Решение Для начала выпишем ОДЗ логарифма Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем : x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0 . Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: x ∈ ( −∞0 )∪(0 ;+ ∞). Теперь решаем основное неравенство : Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше».

Слайд 4

Имеем: (10 − ( x 2 + 1)) · ( x 2 + 1 − 1) < 0; (9 − x 2 ) · x 2 < 0; (3 − x ) · (3 + x ) · x 2 < 0. Нули этого выражения: x = 3; x = −3 ; x = 0. Причем x = 0 — корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем : Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ . Ответ: x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞)

Слайд 5

Преобразование логарифмических неравенств Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами. А именно: Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием; Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом. Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая: Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство; Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов; Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.

Слайд 6

Решите неравенство: Решение Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма : Решаем методом интервалов. Находим нули числителя: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Затем — нули знаменателя: x − 1 = 0; x = 1. Отмечаем нули и знаки на координатной прямой:

Слайд 7

Получаем x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка: Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их : log 2 ( x − 1) 2 < 2; log 2 ( x − 1) 2 < log 2 2 2 . Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:

Слайд 8

( f ( x ) − g ( x )) · ( k ( x ) − 1) < 0; (( x − 1) 2 − 2 2 )(2 − 1) < 0; x 2 − 2 x + 1 − 4 < 0; x 2 − 2 x − 3 < 0; ( x − 3)( x + 1) < 0; x ∈ (−1; 3). Получили два множества: ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞); Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3). Осталось пересечь эти множества — получим настоящий ответ:

Слайд 9

Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) —все точки выколоты. Ответ: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Слайд 10

Решение заданий ЕГЭ-2014 типа С3

Слайд 11

Решите систему неравенств Решение . ОДЗ :  1) 2)

Слайд 12

Решите систему неравенств 3) -7 -3 - 5 х -1 + + + − − ( продолжение)

Слайд 13

Решите систему неравенств 4) Общее решение: и -7 -3 - 5 х -1 -8 7 log 2 129 ( продолжение)

Слайд 14

Решите неравенство Решение . ОДЗ : 

Слайд 15

Решите неравенство ( продолжение) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4

Слайд 16

Решите неравенство Решение . ОДЗ : 

Слайд 17

Решите неравенство ( продолжение)

Слайд 18

Решите неравенство Решение . ОДЗ :  -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2