Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, приемы, равносильные переходы.
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе. В презентации представлены решения заданий С3 ЕГЭ - 2014 по математике.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 299.66 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Среди всего многообразия логарифмических неравенств отдельно изучают неравенства с переменным основанием. Они решаются по специальной формуле, которую почему-то редко рассказывают в школе : log k ( x ) f ( x ) ∨ log k ( x ) g ( x ) ⇒ ( f ( x ) − g ( x )) · ( k ( x ) − 1) ∨ 0 Вместо галки «∨» можно поставить любой знак неравенства: больше или меньше. Главное, чтобы в обоих неравенствах знаки были одинаковыми. Так мы избавляемся от логарифмов и сводим задачу к рациональному неравенству. Последнее решается намного проще, но при отбрасывании логарифмов могут возникнуть лишние корни. Чтобы их отсечь, достаточно найти область допустимых значений. Не забывайте ОДЗ логарифма ! Все, что связано с областью допустимых значений, надо выписать и решить отдельно: f ( x ) > 0; g ( x ) > 0; k ( x ) > 0; k ( x ) ≠ 1. Эти четыре неравенства составляют систему и должны выполняться одновременно. Когда область допустимых значений найдена, остается пересечь ее с решением рационального неравенства — и ответ готов.
Решите неравенство: Решение Для начала выпишем ОДЗ логарифма Первые два неравенства выполняются автоматически, а последнее придется расписать. Поскольку квадрат числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю, имеем : x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0 . Получается, что ОДЗ логарифма — все числа, кроме нуля: x ∈ ( −∞0 )∪(0 ;+ ∞). Теперь решаем основное неравенство : Выполняем переход от логарифмического неравенства к рациональному. В исходном неравенстве стоит знак «меньше», значит полученное неравенство тоже должно быть со знаком «меньше».
Имеем: (10 − ( x 2 + 1)) · ( x 2 + 1 − 1) < 0; (9 − x 2 ) · x 2 < 0; (3 − x ) · (3 + x ) · x 2 < 0. Нули этого выражения: x = 3; x = −3 ; x = 0. Причем x = 0 — корень второй кратности, значит при переходе через него знак функции не меняется. Имеем : Получаем x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Данное множество полностью содержится в ОДЗ логарифма, значит это и есть ответ . Ответ: x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞)
Преобразование логарифмических неравенств Часто исходное неравенство отличается от приведенного выше. Это легко исправить по стандартным правилам работы с логарифмами. А именно: Любое число представимо в виде логарифма с заданным основанием; Сумму и разность логарифмов с одинаковыми основаниями можно заменить одним логарифмом. Отдельно хочу напомнить про область допустимых значений. Поскольку в исходном неравенстве может быть несколько логарифмов, требуется найти ОДЗ каждого из них. Таким образом, общая схема решения логарифмических неравенств следующая: Найти ОДЗ каждого логарифма, входящего в неравенство; Свести неравенство к стандартному по формулам сложения и вычитания логарифмов; Решить полученное неравенство по схеме, приведенной выше.
Решите неравенство: Решение Найдем область определения (ОДЗ) первого логарифма : Решаем методом интервалов. Находим нули числителя: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Затем — нули знаменателя: x − 1 = 0; x = 1. Отмечаем нули и знаки на координатной прямой:
Получаем x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). У второго логарифма ОДЗ будет таким же. Не верите — можете проверить. Теперь преобразуем второй логарифм так, чтобы в основании стояла двойка: Как видите, тройки в основании и перед логарифмом сократились. Получили два логарифма с одинаковым основанием. Складываем их : log 2 ( x − 1) 2 < 2; log 2 ( x − 1) 2 < log 2 2 2 . Получили стандартное логарифмическое неравенство. Избавляемся от логарифмов по формуле. Поскольку в исходном неравенстве стоит знак «меньше», полученное рациональное выражение тоже должно быть меньше нуля. Имеем:
( f ( x ) − g ( x )) · ( k ( x ) − 1) < 0; (( x − 1) 2 − 2 2 )(2 − 1) < 0; x 2 − 2 x + 1 − 4 < 0; x 2 − 2 x − 3 < 0; ( x − 3)( x + 1) < 0; x ∈ (−1; 3). Получили два множества: ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞); Кандидат на ответ: x ∈ (−1; 3). Осталось пересечь эти множества — получим настоящий ответ:
Нас интересует пересечение множеств, поэтому выбираем интервалы, закрашенные на обоих стрелах. Получаем: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) —все точки выколоты. Ответ: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)
Решение заданий ЕГЭ-2014 типа С3
Решите систему неравенств Решение . ОДЗ : 1) 2)
Решите систему неравенств 3) -7 -3 - 5 х -1 + + + − − ( продолжение)
Решите систему неравенств 4) Общее решение: и -7 -3 - 5 х -1 -8 7 log 2 129 ( продолжение)
Решите неравенство Решение . ОДЗ :
Решите неравенство ( продолжение) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4
Решите неравенство Решение . ОДЗ :
Решите неравенство ( продолжение)
Решите неравенство Решение . ОДЗ : -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/10/28/picture-132914-1351426632.jpg)
Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы
Решение уравнений, содержащих знак модуля: методы, приемы, равносильные переходы 1. Уравнение вида If(x)I =a, a €RРешение: ·...
![](/sites/default/files/pictures/2018/06/22/picture-197971-1529671332.jpg)
Обобщение опыта по теме: "Построение графиков функций, решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля"
В данный материал входит рабочая программа, тематическое планирование элективного курса для 9-го класса, а также элективный курс с презентациями к каждой теме. Курс расчитан для одаренных по математик...
![](/sites/default/files/pictures/2015/04/15/picture-165716-1429122694.jpg)
Равносильная замена при решении логарифмических неравенств
Семинарское занятие в 11 классе. Очень полезный материал для подготовки к ЕГЭ задание С3. Без этих знаний решать очень сложно....
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/25/picture-198405-1366909262.jpg)
Примеры решения логарифмических неравенств с переменным основанием.(Подготовка к ЕГЭ)
Примеры решения логарифмических неравенств с переменным основанием целесообразно применять правил равносильности. Преимущество использования условий равносильности по сравнению...
![](/sites/default/files/pictures/2015/01/22/picture-570800-1421946354.jpg)
Урок одного неравенства по теме: "Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную под логарифмом и в основании логарифма" в профильном физико-математическом классе
Урок одного неравенства по теме: "Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную под логарифмом и в основании логарифма" в профильном физико-математическом классеАвторы: ·...
![](/sites/default/files/pictures/2015/06/21/picture-644528-1434876144.jpg)
Поурочный план урока алгебры в 11м классе по теме: "Логарифмические неравенства с переменным основанием"
Расматривается решение логарифмических неравенств с переменным основанием двумя способами...
Конспект урока по теме "Решение логарифмических уравнений с переменной в основании" 10 класс
Урок в 10 классе по теме "Решение логарифмических уравнений с переменной в основании"...