Решение тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре

Конспект урока по алгебре в 10 классе

Автор: Буянтуева Валентина Табитуевна,

 учитель математики МБОУ «Курумканская СОШ № 2»

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Цели урока:

• образовательные – закрепить и систематизировать виды и методы  решения тригонометрических уравнений;
• развивающие – уметь применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного; развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;
• воспитательные – формирование коммуникативных способностей у учащихся.

Тип урока: урок закрепления и систематизации знаний и умений учащихся.

Методы обучения: частично – поисковый, эвристическая беседа, работа по опорным схемам, решение познавательных обобщающих задач, самопроверка.

Формы организации урока: фронтальная, групповая,  индивидуальная формы

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран, «кубик – экзаменатор»

Структура урока:

I   Организационный момент (1 мин)

II  Математический диктант (7 мин)

III  Историческая справка (4 мин)

IV  Систематизация теоретического материала (определение видов, типов тригонометрических уравнений и методов их решения)  (7 мин)

V  Обсуждение идей решения уравнений  (10 мин)

VI  Дифференцированная самостоятельная работа  (10 мин)

VII  Домашнее задание  (2 мин)

VIII  Итог урока  (4 мин)

Ход урока.

I   Организационный момент. Объявление темы, цели урока.

II  Математический диктант. (через копирку)

Цель: контроль знаний, приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

 I вариант

1. Чему равен  arcsin(-a)?  
2. Чему равен arcctg(-a)?
3. Каково будет решение уравнения  sin x = a  при IaI большем 1?
4. Какой формулой выражается решение уравнения sin x =  а при IaI≤ 1 ?
5. Какой формулой выражается решение уравнения   ctg х = а?
6. Каким будет решение уравнения cos x =1?
7. Каким будет решение уравнения cos x =-1?
8. Каким будет решение уравнения cos x =0?

II вариант

1. Чему равен arccos(-a) ? 
2. Чему равен arctg(-a) ?
3. Каково будет решение уравнения  cos x = a  при IaI большем 1?
4. Какой формулой выражается решение уравнения cos x = a при  IaI≤ 1?
5. Какой формулой выражается решение уравнения tgх= а?
6. Каким будет решение уравнения  sin x =1 ?
7. Каким будет решение уравнения sin x = -1?
8. Каким будет решение уравнения sin x =0?

После окончания математического диктанта собираются листочки – оригиналы (верхние), копии (нижние листы) остаются у детей. Учитель открывает правильные ответы на экране, идет самопроверка, самооценка.

Итоги математического диктанта. Выводы. (Учитель спрашивает у кого все верно, у кого 1 ошибка и т.д.)

III  Историческая справка

Выступают 2 учащихся, которые  подготовили сообщения о развитии тригонометрических уравнений.

Цель: развитие математического кругозора, воспитание интереса к математике.

IV  Систематизация теоретического материала (определение видов, типов тригонометрических уравнений и методов их решения)

Цель: Обобщение, систематизация знаний по видам, типам тригонометрических уравнений и методам их решений.

Фронтальная работа. На доске написаны уравнения:

1. sin 3x = 1
2. cos2 x – 9 cos x + 8 = 0
3. 2 cos2 x + 3 sin x = 0
4.  sin 2x =-  
5. tg x + 3ctg x = 4
6. ctg(  + ) =  
7. sin x--   cos x = 0
8. 2 cos 3x + 4 sin x = 7
9.  (ctg x – 1)(2sin  + 1) = 0
10. 6 sin 2х + 4 sin x cos x = 1
11. sin 2x – sin x = 0

      12) cos x + sin x = 2

 Учитель:                                                                                                        Ответы учащихся (примерные)

- Назовите те уравнения, которые простейшие.                                    (1, 4, 6)

- Как они решаются?                                                                                      (по известным формулам)

- Назовите одноименные уравнения и сводящиеся к ним.                (2, 3, 5, 7, 10)

- Какие уравнения из них однородные и сводящиеся к ним?             (7, 10)

- Каков общий вид однородных уравнений?                    (аcos x + вsin x = 0;   аcos2 x + вsin 2x = 0 ит.д.)

- Как их решаем?                                                                              (делим  обе части на  cos x ;  cos2 x и т.д.)

- Почему имеем право делить на них?            (cos x и sin x одновременно равняться нулю не могут)

- Назовите те уравнения, которые можно решить методом замены переменной.          (2, 3, 5, 10)

- Какие из этих уравнений можно решить методом разложения на множители?            (9, 11)

- Как решить уравнение № 8 ?                                                     (методом оценки левой и правой частей)

- Каким методом решить уравнение № 12 ?           (методом введения вспомогательного аргумента)

Работа в парах. Задания на карточках:  Для данных уравнений выберите соответствующий прием решения и нужную формулу, укажите их стрелкой:

Уравнения                                      Приемы, методы решения                               Формулы

2sin2 х + cos x – 1 = 0                     разложение на множители                        2cos2α = 1 +  cos 2α

3sin 2x – sin 2x = 0                         понижение степени уравнения                       sin2 α + cos2α= 1

4 cos2 x + cos 2x = 5                        преобразование суммы                                 sin 2α = 2 sinα cosα

                                                                 в произведение

sin 7x + sinx = cos 3x                   замена переменной            

Проверка через проектор на экране.

- Сделайте выводы.

Выводы: При решении тригонометрических уравнений нет единого метода, следуя которому удалось бы решить такие уравнения. Но общая цель состоит в преобразовании входящих в уравнение выражений таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к простейшему или распалось на несколько простейших. Ведущий принцип – не терять корни!

- На изображенных на схемах множествах точек выберите те, координаты каждого из которых удовлетворяют заданному условию:

1)  сos8х  + sin8х = 1                            

2) cos8х + sin7х = 1

3) cos7х+ sin7х = - 1

                         схема а)                                схема б)                                 схема в)

- Вопрос: Найдите соответствующую схему для уравнения     cos8х+ sin9х = 1

- Сколько таких уравнений можно составить?

Ответ: Схема а). Таких уравнений можно составить бесконечно много.

V  Обсуждение и раскрытие идей решения уравнений  (Групповая работа)

 На доске записаны 6 уравнений, каждая из 6 групп выбирает 1 уравнение, обсуждает,  решает в группе.

1. cos2 x - 2 cosx = 0
2. 2 sin x cos x = 1
3. сos( x) + 3 sin x = 0
4. (2 cos x – 1) (tg x - ) = 0
5. sin x -  cosx = 0
6. sin2 х - 5 cosx – 5 = 0

После истечения времени представители групп выходят к доске, показывают и объясняют ход решения.  Остальные группы задают вопросы и записывают решения в тетрадь.

VI  Дифференцированная самостоятельная работа

 (на выбор учащихся предлагается 3 варианта: А –на «3», В – на «4», С – на «5»)

              Вариант А                                              Вариант В                                  Вариант С

1. сosx =                                         1) sin2 х - 3 cosx = 0                      1)  8 sin2 х + cosx + 1 = 0
2. 2 sin x – 1)(tg x - ) = 0            2) tg2 x – 3 tg x + 2 = 0                2) 4 sin 2х + 3 sin x cos x - cos2 x = 0

 Проверка самостоятельной работы осуществляется в форме самопроверки по готовым решениям на экране через проектор, оценку ставят сами ученики.

VII  Домашнее задание (на выбор учащихся) Вариант А - №23 (в,г);  Вариант В - №24 (а,г); Вариант С - №25 (в,г), 26 (а).  

VIII  Итог урока. Рефлексия. Оценки за урок, желательно всем. Вот уже несколько уроков вы решаете тригонометрические уравнения. Что это за уравнения? Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете? Методы их решения?

Игра «Кубик – экзаменатор»  по решению простейших тригонометрических уравнений.

Каждый игрок бросает кубик один раз, решает устно простейшее тригонометрическое уравнение, которое написано на грани кубика. Развертка кубика.