Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Методические разработки на тему:

«Решение линейных и квадратных уравнений с параметрами»

учитель МОУ «Гимназия №1» города Печора Республики Коми

Рогова Э.Н.

Практика выпускных экзаменов в 9-ых и 11-ых классах по математике показывает, что задачи с параметрами представляют для учеников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане.

Желательно начать решать задачи с параметрами, начиная с линейных уравнений в 7 классе.

Все задачи можно разбить на три типа.

I тип уравнений

Решить уравнения:

а) 2х = 6    б) Зх = -18    в) -5х = 0    г) 7/8х = С    д) 0,4х = С-3

е) (к2 + 1)х = С               ж) (2k2 + 3)х = 2С +1

Что является общим для этих уравнений? Какой вывод можно сделать о решении таких уравнений?

Ответ: Кроме того, что уравнение имеет вид: ах = b, общим является то, что для каждого из них коэффициент а ≠ 0. Вывод: если для уравнения вида ах = b коэффициент а ≠ 0, то это уравнение имеет, и при том только одно, решение: х = b/а

II тип уравнений

а) 0х = -3    б) 0х = с2 + 1    в) mх = 1/4    г) (2k + 1)х = Зm2 + 4.

Что является общим для данных уравнений и для пар уравнений      а) - б), в) - г)? Какой вывод можно сделать о решении таких уравнений?

Ответ: Все уравнения имеют вид: ах = b. Для пары уравнений а) - б) общим является то, что одновременно коэффициенты а = 0, b ≠ 0. Вывод: если для уравнения вида ах = b одновременно коэффициенты а = 0 и b ≠ 0, то уравнение не имеет решений. Для пары уравнений в) - г) коэффициент b отличен от нуля. Коэффициент а обозначен буквой или этот коэффициент является выражением, в котором участвует число обозначенное буквой, поэтому надо рассматривать два случая. Например, для в) эти случаи следующие:

при m = 0 получим уравнение вида 0х =1/4, которое не имеет решения;

при m ≠ 0, уравнение mх = 1/4 имеет единственное решение х =

III тип уравнений

а) 0x = 0    б) mx = 0    в) (k+1)х = 0    г) mx = m    д) 0х = k   е) 0х = 7-k

Что является общим для всех данных уравнений, для уравнений вида в) - г) и для уравнений д) - е)? Какой вывод можно сделать в связи с решением таких уравнения а)?

Ответ: Для уравнения а) коэффициенты а и b одновременно равны нулю, следовательно это уравнение имеет бесконечно много решений и его решением является каждое действительное число. Для уравнений б) и г) надо рассмотреть два случая. Например, для б) эти случаи m ≠ 0 и

m = 0.

г) Если m ≠ 0, то х = 1 (одно решение). Если m = 0, то уравнение 0х = 0 имеет решением каждое действительное число.

в) (k + 1)х = 0        Если k = -1, то 0х = 0, х Є R

           Если k ≠ -1, то х = 0 одно решение.

г) mx = m                Если m = 0, то 0x = 0, х Є R

Если m ≠ 0, то mx = m, х = 1.

Для уравнений д) - е) тоже надо рассмотреть два случая.

д) 0х = k                Если k = 0, то 0х = 0, х Є R

Если k 0, то 0х = k, нет решений.

е)        0х = 7- k                Если k = 7, то 0х = 0, х Є R

Если k ≠ 7, то 0х = 7- k, нет решений.

__________________________________

Для закрепления линейных уравнений с параметрами можно рассмотреть следующие задания:

№1. Для каких значений параметра k имеет одно и только одно решение каждое из уравнений:

Решение этих уравнений сводится к решению уравнений I типа

№2. Для каких значений параметров k и m не имеет решений каждое из уравнений:

Решения данных уравнений сводится к решению уравнений II типа.

Для отработки III типа уравнений рассмотреть следующее задание.

№3. Для каких значений параметров m и p каждое уравнение имеет решением любое действительное число:

        И уже обобщая решения данных уравнений можно рассмотреть следующие задания.

№4 Решить каждое из уравнений:

№5. Для каких значений параметров k и m   имеет по крайней мере одно решение каждое из уравнений:

По данным мною образцам можно составить и другие уравнения.

Последующее знакомство с уравнениями, содержащими параметр, происходит при изучении темы "Квадратные уравнения". Хорошо усвоив, что такое полные и неполные квадратные уравнения, можно рассмотреть уравнения с параметром. Главное - постепенно усложнять задания, чтобы ребята поняли суть, не пренебрегать вроде бы простыми упражнениями.

№ 5.9. Напишите общий вид квадратного уравнения в котором:

Это очень важное упражнение, так как остальные задачи опираются на него.

№ 5.10 При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен нулю?

№5.11  При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку?

№5.12 При каких значениях m оба корня уравнения равны по нулю?

           ах2 = 0        х1 = х2 = 0

а) Зх2+ (m - 1)х + 1 - m2 = 0       3х2 =0  и   

Значит, m=1

Ответ: m=1

б) x2 – (3m2 + 4m)x + 9m2 - 16 = 0     х2 =0  и     3m + 4 =0,  m = - 4/3

  Ответ: m = -4/3

в) 2x2 + (3m2 - |m|)x – m3 – 3m = 0             2х2 =0   и  

    2x2 + (3m2 - |m|)x – (m3 + 3m) = 0

                                Рассмотрим следующие две системы:

Решение m = 0

     Нет решения

Ответ: m = 0

г) x2 + (16-x + m3 +8 = 0             х2 =0   и  

Значит m = - 2

Ответ: m = -2                                        

Чтобы решить следующие уравнения, ребята хорошо должны усвоить, как зависит количество корней от дискриминанта и формулу корней.

I. Рассмотрим параметр в приведённом квадратном уравнении.

№5.32

а) х2+ 5ах + 4а2 = 0        D = 25а2 - 16а2 = 9а2     D ≥ 0

        x = ,      x1 = - a

                                         x2 = - 4a        

Ответ: х1 = -а, х2 = -4а

Аналогично решаются уравнения б) - г).

№5.33

б) х2 - (2а - 4)х- 8а = 0        k = - (a - 2)    

    х2 - 2 (а - 2)х - 8а = 0        D/4 = (a  - 2)2 - l(-8a) = a2 - 4a + 4 + 8a =

               = а2 + 4а + 4 = (а + 2)2

             x = , x1  = 2a, x2 = - 4

Ответ: х1 = 2а, х2 = - 4

г) х2 – 4bx + 3b2 – 4b - 4 = 0        k = -2b, c = 3b2 - 4b - 4    D/4 = (-2)2 - (3b2 - 4b - 4) =

  = (b + 2)2,   D≥0

, x1 = 3b + 2, x2 = b - 2

Ответ: х1 = 3b + 2, x2 = b - 2

II. Полное квадратное уравнение с параметром, когда старший коэффициент отличен от единицы. Это более сложные уравнения, так как надо рассматривать два случая: а = 0 и а ≠ 0

№5.34

б) (а + 1)х2 - 2х + 1- а = 0        Решение:

1) Пусть а + 1 = 0, т.е. а = -1, тогда уравнение примет вид:  -2х + 1 - (-1) = 0         -2х = -2              х = 1

Получаем один корень х = 1.

2. Пусть а ≠ -1, тогда будет уравнение вида:

(а + 1)х2 - 2х + 1 - а = 0

Замечаем, что сумма коэффициентов равна 0:

a + 1 – 2 + 1 – a = 0.  Значит, x = 1, x =

Ответ: 1) Если а = -1, то х = 1.

2) Если а ≠ 0, то х=1, х =

№ 5.36 

Дано соотношение:

б) а2 + 2b2 - 3аb -7а + 10b +12 = 0

Выразите b через а.

Решение

В этом задании b - переменная, а - число. Получаем уравнение, сводящееся к квадратному: 2b2 + b(10 - 3а) + (а2 - 7а + 12 ) = 0

Найдём дискриминант:

D = (10 - 3а)2 - 4-2(а2 - 7а +12) = 100 - 60а + 9а2 - 8а2 + 56а- 96 = а2 - 4а + 4= (а-2)2

1. D = 0 при а = 2, 2b2 + 4b + 2 = 2(b2 + 2b + 1) = 2(b + 1)2 = 0, b = -1
2. D > 0, тогда b =

Рассмотрим I случай

b = ;                a > 2, b =  = a – 3

                                a < 2, b =  =- 2

Аналогично рассматриваем II случай, когда

b =;         Получаем те же корни b =2а - 3, b = а/2 - 2

        Ответ: 1) Если а = 2, то b = -1

                                      2) Если а ≠ 2, то b1 =2а - 3, b2 = а/2 - 2

Использованная литература:

1. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учеб.пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики – М.: Просвещение,1994. – 271 с.
2. Петров К. Сборник задач по алгебре. Кн. для учителя. Пер. С болг. – М.: Просвещение, 1984.-208 с.