Стандартные и нестандартные приёмы решения показательных уравнений.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

«Стандартные и нестандартные приемы решения

показательных уравнений».

Урок оргдеятельностного типа.

Учебные цели:

• продолжить изучение методов решения показательных уравнений;
• рассмотреть решение уравнений вида Аа2f(x)+Baf(x)b f(x)+Сb 2f(x)=0 и вида Ааf(x)+=В;
• изучить возможность применения свойств функций к решению уравнений – ограниченность функций в методе мажорант и свойств монотонности;
• систематизировать и совершенствовать знания графического решения уравнений;
• воспитывать дисциплину умственного труда;
• развивать логическое мышление.

Метод проектов.

1. Класс разбивается за 2 недели до семинара на четыре группы:

Группа «А» работает над методом мажорант: изучает теорию под руководством учителя, подбирает уравнения, решаемые этим методом, готовит презентацию  (опорный конспект по теории; примеры; используемая литература).

Группа «Б» изучает применение монотонности функций к решению уравнений, подбирает уравнения, решаемые этим способом, готовит  свою презентацию.

Группа «В» отбирает уравнения, которые невозможно решить, основываясь на свойствах ограниченности и монотонности функций, и готовит сообщения о графическом решении таких уравнений, плакаты с решенными уравнениями.Презентацию.

Группа «С» подбирает уравнения вида Аа2f(x)+Baf(x)b f(x)+Сb 2f(x)=0 и вида Ааf(x)+=В, разбирается в методах их решения.

2. Все четыре группы на семинаре представляются как группы «специалистов».
3. Каждая группа специалистов выбирает:

• «теоретика», который на семинаре делает доклад о методе;
• двух «экспертов» - учеников, всех лучше разобравшихся в методе;
• остальные «специалисты» будут выполнять роль «экспериментаторов» - прорешивать у доски любые уравнения из предложенных.

4. На семинар приглашаются «крупные специалисты» - учителя математики – при возникновении спорных вопросов «специалисты» могут обратиться за помощью к «крупным специалистам».
5. Каждая группа получает полный список уравнений, в котором каждому уравнению присваивается номер в общем списке – при анализе способа решения все должны видеть его в общем списке.

План семинара.

1. Разминка.

Решение показательных уравнений стандартными методами. Выступление экспертов.

2. Доклад. «Метод мажорант». Выступление «теоретика» группы «А».
3. Эффективность метода мажорант при решении уравнений. Выступление «экспериментаторов» группы «А».
4. Доклад «Использование свойств монотонности функций». Выступление «теоретика» группы «Б».
5. Эффективность использования свойств монотонности функций:

• устная работа всех «специалистов»;
• выступление «экспериментаторов» группы «Б».

6. Разные способы решения одного уравнения.
7. Использование графического способа:

• выступление «теоретика» группы «В»;
• письменная работа всех специалистов;
• отчет «экспериментаторов» группы «В».

8. Доклад «теоретиков» группы «С».

• решение уравнений у доски «экспериментаторами» группы «С»;
• самостоятельно всеми группами решение уравнений, предложенных группой «С».

10. Подведение итогов семинара.

Рекомендации участникам семинара.

11. Домашнее задание.

Ход семинара.

1. Вступительное слово учителя.

«Я рада вам представить четыре группы «специалистов»:

- «специалисты» в методе мажорант – представление каждого;

- «специалисты» в использовании свойств монотонности функций…;

- «специалисты» графического способа решения уравнений…;

- «крупные специалисты» в использовании всех перечисленных методов.

• На семинаре каждая группа будет «обучать» всех остальных применению своего метода, показывая его эффективность.

Но начнем мы с небольшой разминки. У каждой группы специалистов список уравнений урока:

Показательные уравнения.

1) Разминка

а)

б)

в)

г)

д)

2)

Среди них есть уравнения, решаемые традиционными методами.

Приглашаются эксперты от каждой группы специалистов. Из большого числа задач выбрать задачи, решаемые стандартными методами. Эксперты все одновременно прорешивают каждый свое уравнение на доске.

Теоретики каждой группы рассказывают о их методах решения.

Когда работа экспертов у доски завершена, крупные специалисты комментируют их результаты. Участники семинара могут задавать вопросы – оценивается активность каждой группы.

2. С докладом о методе мажорант приглашается теоретик группы «А».

«Метод мажорант»

Не расширяя теоретических знаний, не выходя за рамки программы по математике, можно рассмотреть метод решения определенного вида уравнений, основанный на применении свойства ограниченности некоторых функций – метод мажорант.

Мажорант данной функции f(х) на множестве Р называется такое число М, что либо f(х)≤М для всех х є Р, либо f(х)≥М для всех  х є Р.

Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или равное 1 будет мажорантой для функции y=sinx и y=cosx на любом множестве.

Основная идея метода мажорант состоит в следующее – пусть мы имеем уравнение f(х) = g(х) и существует такое число М, что для любого х из области определения f(х) и g(х) имеем f(х)≤М и g(х)≥М. тогда уравнение f(х) = g(х) равносильно системе  

как искать такое число М? можно найти наибольшее или наименьшее значение функции с помощью производной.

Но чаще всего производная не требуется.

Часто используются неравенства:

 при а>0  и   при а<0.

Равенство достигается только при а=±1.

 при а≥0, b≥0 (среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднего арифметического. Равенство достигается при а=b).

Приведите примеры:

Решить уравнение

Решение:

1) , как сумма двух положительных взаимно обратных величин.

2)              при всех х є (-∞;0]∪[1;+∞), тогда

        ,

        1-,

.

3) Равенство в данном уравнении возможно лишь тогда, когда его левая и правая части одновременно принимают значение 2, т.е. выполняется система:

Ответ: х=0.

3. Вы выслушали доклад «Метод мажорант». Вам предлагается в общем списке уравнений найти уравнения, которые возможно решить методом оценки.

Группы специалистов работают 1 мин. Эксперты каждой группы представляют свое мнение, крупные специалисты соглашаются или не соглашаются.

Экспериментаторы группы «А» начинают прорешивать предложенные уравнения у доски.

Обратите внимание, насколько разнообразны уравнения-функции, входящие в левую и правую части уравнений содержат и показательные выражения и тригонометрические.

При возникновении вопросов по ходу решения теоретики и эксперты группы «А» должны помочь своим экспериментаторам на них ответить грамотно.

Крупные специалисты отмечают активность и подготовленность каждой группы.

Подводится итог. Действительно, красивые уравнения подобраны ребятами, они сами смогли разобраться в них, применяя метод мажорант и очень доступно, понятно показали нам его эффективность. Молодцы.

• Теперь попробуйте сами решить уравнения:

1.                                 {-1}

Решение проговаривается устно.

Решают в тетрадях, один из экспериментаторов группы «Б» записывает решение на доске. Решение сохраняется!

4. Приглашается докладчик по следующему вопросу: «Использование свойств монотонности функции».

Использование свойств функций при решении уравнений для нас не ново. Действительно, область определения функций используется при решении, например, иррациональных уравнений. Очевидно достаточно учесть область определения функции , чтобы указать решение уравнения

Отыскать посторонние корни уравнения часто помогает напоминание области значения функции. Например, получив при решении уравнения, вспомогательного для тригонометрического уравнения , корни 1 и -7, сразу исключаем из рассмотрения число -7, так как его нет в области значений функции . Метод мажорант использует такое свойство как ограниченность.  Я в своем докладе остановлюсь на применении свойств монотонности функций.

Мы знаем теорему (о корне).

1. Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(х) = а имеет единственный корень в промежутке I.
2. Если функция f на множестве I возрастает, а функция g на множестве I убывает, то уравнение f(x)=g(x) не может иметь на множестве I более одного корня.

Метод, основанный на этих утверждениях состоится в следующем:

1. Выделить функции.
2. Установить и обосновать характер монотонности каждой функции в ее области определения.
3. Подобрать корень уравнения.
4. Обосновать, ссылаясь на приведенные утверждения, что других корней нет.
5. Записать ответ.

Пример 1:  5х=6-х

1. Рассмотрим функцию f(х)=5х . Показательная, с основанием больше 1, поэтому возрастающая на R.
2. Функция g(x)=6-х линейная, убывающая на R, так как угловой коэффициент отрицательный.

Уравнение имеет не более одного корня.

При х=1 имеем    51 = 6-1,

                                5 = 5 – истинное равенство,

значит, х=1 – корень данного уравнения.

Пример 2:   9х + (х -13)*3х – 9х + 36 = 0

Введем вспомогательную переменную t=3х, t>0.

Уравнение примет вид приведенного квадратного относительно t

t2 + (х-13)*t - 9(x-4)=0, где

а = 1, b = х-13 и с = -9(х-4).

Попробуем решить по теореме, обратной теореме Виете.

Поскольку 9*(4-х)=с и 9+4-х = 13-х = -b,

Значит t1=9 и t2=4-х.

Перейдем к переменной х.

1. 3х=9,

х=2;

2. 3х=4-х.

Левая часть уравнения – возрастающая показательная функция (3>1); правая часть уравнения – убывающая линейная функция. Уравнение имеет не более одного корня. При х=1 равенство выполняется, других корней уравнения 3х=4-х не имеет.

Ответ: {2;1}.

• Примеры докладчиком были подобраны очень удачно – от простого к сложному.

Экспертам группы «Б» предлагается из списка устно решаемых показательных уравнений выбрать иллюстрирующий их метод и рассказать решение.

В обсуждении принимают участие все группы специалистов. Крупные специалисты оценивают работу каждой группы.

• Затем экспериментаторам группы «Б» предстоит показать решение на доске трех уравнений.

1. 3х+4х=5х                                                                {2}
2.                         {2}
3.         {2}

Ученика, решившего уравнение №2 спросить, почему сразу нельзя было применить монотонность функций.

Ответ: изменяя характер монотонности функции, стоящей в левой части уравнения делением на положительную величину легко обосновываем единственность корня.

• Разнообразны были уравнения и у второй группы специалистов, при решении которых требуются знания ранее изученного материала.
• Попробуйте проверить свое понимание применения метода в уравнении

х*2х=х(3-х)+2(2х-1)                                                        {2;0}

Группы специалистов сначала работают в тетрадях, обсуждая решение. Затем экспериментаторы от групп «А» и «В» показывают у доски их решения.

Крупные специалисты не забывают оценить работу каждой группы.

6.  Обратимся к уравнению

До этого оно было решено экспериментатором группы «А»:

1.

2.   Ответ: х=2.

Давайте повнимательнее присмотримся к уравнению. Кто заметил в нем какую-то особенность?

Переобозначим х2-4х=t, тогда уравнение примет вид: -t=2t+6

Кто сможет довести решение до конца?

Уравнение дорешивают, используя убывание функции левой части и возрастание правой.         Получают                 t=-4.

х2 - 4х = -4, х2 - 4х+4 = 0, (х - 2)2 = 0, х = 2.

Способы решения сравнивают.

• Предлагается еще устно решить несколько уравнений.

Группы поочередно рассказывают решения выбранных уравнений.

1. 76-х=х+2                        {5}
2.         {2}
3. 3х-1+5х-1=34                {3}
4. 2х=4х                        

Последнее уравнение решить не получается. Получилось: х=4. а может уравнение имеет еще один корень? Как в этом убедиться?

Какой метод позволяет нам установить имеет ли уравнение корни и сколько их?

• Приглашается теоретик группы «В», который напомнит вам хорошо известный графический метод решения уравнений.

Графический метод решения уравнений.

Пусть дано уравнение f(x)=g(x). Графическим решением уравнения является абсцисса точки пересечения построенных графиков. Поэтому решение этим методом начинается с построения в одной системе координат графиков функций y=f(x), y=g(x).

Умение строить графики функций и простейшие подмножества плоскостей помогает при решении нестандартных задач. Эти графики могут подсказать, что у уравнения нет решений или подсказать сколько корней имеет уравнение.

Построим графики функций у=2х и у=4х. теоретик работает у клетчатой доски, все подробно рассказывая, а все специалисты в тетрадях…

Делается вывод, что уравнения имеет два корня: х1-4 и 02<1.

• Графически мы решаем уравнение каждый год и для всех этот метод хорошо отработан, поэтому предлагается каждой группе специалистов решить несколько подобранных уравнений на скорость, грамотно оформив решение.

Группой «В» все эти уравнения прорешаны заранее, графики подготовлены на плакатах и проверка проводится очень быстро.

Крупные специалисты оценивают работу каждой группы.

1. 2х-1=х+1
2. 2IxI=х+1
3. 4х+1=6-х
4. 3-х=-3/х

8. Выступают специалисты группы «С». Решение показательного уравнения вида

Aa2f(x)+Baf(x)bf(x)+Cb2f(x)=0

начинается с деления левой и правой части уравнения на b2f(x)≠0

 и сводится заменой , t>0 к квадратному.

Пример:                 

Пусть   t>0.

3t2-5t=2=0,  t=2/3, t=1.

х=1/2, х=0  Ответ: 0;1/2.

Решение уравнения Ааf(x)+Ca-f(x)=B тоже легко сводится к решению квадратного.

Показывает решение уравнения   22+х - 22-х =15.

• Решение уравнений у доски экспериментаторами группы «С».

1. 5х-53-х=20;
2. 2*4х-5*6х+3*9х=0

• Решение уравнений в группах

1. 4*22х-6х=18*32х
2. 5х-24=25/5х

10. Подводятся итоги семинара.

Специалисты обобщают какие нестандартные приемы решения уравнений они научились применять.

Крупные специалисты оценивают работу каждой группы теоретиков, экспертов, экспериментаторов.

Подчеркивается, что все-таки сначала необходимо пробовать традиционные подходы в решении. И только если не получается – присмотреться к уравнению, применяя каждый из изученных сегодня примеров.

Кто хочет продолжить свою работу в изучении этих методов вам помогут книги:

1. Ткачук В.В. «Математика – абитуриенту». Том 1 и 2. МЦНМО, ТЕИС, 2012.
2. Шабунин М. «Математика», Москва. Лаборатория Базовых Знаний, 2002
3. Мерзляк А.Г., Полонских В.Б., Якир М.С. «Алгебраический тренажер» «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2013
4. Назаренко А.М., Назаренко Л.Д. «Тысяча и один пример», Сумы «Слобожанщина»,2010.

• Домашнее задание

Решить уравнения:

1)  

2)

3)

4)

5)

6)

7) Найдите произведения корней уравнения. .

8) В ответе записать сумму корней. .

9) Найдите наименьший корень уравнения.

10) Найдите произведение корней.