Варьирование данных в окрестностях текстовой задачи
статья по алгебре по теме

Варьирование  данных в окрестности текстовой задачи

В наше  время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Именно поэтому развитие мышления является основной задачей школьного курса обучения, и перед учителем математики стоит задача – не просто давать знания, предусмотренные программой, а способствовать формированию высокого уровня логической культуры учащихся. При этом математика имеет огромные возможности для реализации этой цели.

Эту науку любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

Математика, являясь одной из самых сложных наук, имеет многообразие способов решения, тем самым это делает ее достаточно проблематичным предметом для изучения. Основной проблемой школьников при решении текстовых задач является односложность шаблонов: слабое ориентирование в составлении математической модели задачи, использование заученных формул, при поверхностном понимании задачи, т.е. отсутствие практического подхода к решению задач. Односложность шаблонов при решении задач вызывает замкнутость учеников.

Учитывая, что с текстовыми задачами, а в том числе с задачами на движение мы встречаемся на протяжении всего курса математики, необходимо понимать актуальность дополнительной работы над задачей после ее решения. Чем раньше ученик овладеет техникой решения подобного рода задач, тем большее количество вариантов решения, подходящих именно ему, он сможет для себя подобрать. Тем более, что задачи такого типа встречаются в обязательной части заданий ЕГЭ по математике.

По словам Дорофеева Г.В.:  «каждая задача, рассматриваемая сама по себе, обычно представляет некоторое изолированное утверждение или требование» и входит в некоторый букет окрестностей, связанных с той или иной её особенностью в зависимости от реализуемой дидактической цели»[2, c.34]. Тем самым такой подход уместен в решении задач на движении, точнее в дополнительной работе над задачей после ее решения: от одной конкретной поставленной задачи, мы можем перейти к широкому спектру изменения данных. Задача учителя помочь ученику, неспособному увидеть в задаче что-то кроме шаблонного примера и однотипного решения, лучше разобраться в задаче.

Дополнительная работа с задачей после решения включает в себя изменением одной или нескольких переменных в задаче, позволяет увидеть различные способы составления математической модели. Этот способ помогает лучше разобраться в поставленной задаче, развить больший интерес ученика, расширяет кругозор. Учитель использует данный подход для обучения ученика моделированию различных ситуаций, что облегчает восприятие и усвоение задач такого типа.

         Доктор психологических наук, Шеварев П.А., который изучал ассоциативные процессы, полагал, что некоторые утверждения построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем и т.д. ученики очень часто в формулировках, правилах запоминают основные, главные на их взгляд фразы и предложения, всё остальное они упускают. Этому способствует и выполнение большого числа однотипных упражнений, в которых осознание некоторой особенности не обязательно для получения верного результата, тогда, согласно выведенной закономерности, степень осознания этой повторяющейся особенности снижается, и формируется ошибочная ассоциация.

        Закономерность Шеварева заключается в соблюдении в процессе деятельности учащихся трех условий:

1. ученик выполняет задания одного типа;

1. в этих заданиях неизменно повторяется некоторая особенность;
2. если осознание этой особенности необязательно для получения верного результата,  то степень осознания этой повторяющейся особенности снижается, т. е. у ученика  образуется ошибочная обобщенная ассоциация.

Ошибочное восприятие возникает в результате, если:

1. Ученику предлагают задачи только одного типа;
2. решение каждой из них сводится к одной и той же операции;

1. эту операцию (ее результат) ученику не приходится выбирать среди других, возможных  в сходных ситуациях;

3. данные задач не являются для него непривычными;
4. он уверен в безошибочности своих действий,

Ученик при решении 2-й или 3-й задачи перестает вспоминать и применять изучаемые определения, теоремы, прекращает обосновывать решения задач.

        К примеру, пятиклассникам можно задать 5 задач на нахождение периметра прямоугольника, затем дать задание на нахождение площади квадрата (или прямоугольника), где искомой величиной будет площадь этой фигуры, учащиеся без труда справятся с этой задачей.  Далее опять продемонстрировать пять заданий на нахождение периметра, и, если в конце всех заданий озадачить ребят обратной задачей на нахождение площади квадрата (т.е. по известной площади квадрата необходимо будет найти сторону), то с этой задачей им будет справиться гораздо сложнее. А вот если эту задачу включить в тандем с предыдущей задачей на нахождение площади, это вызовет меньшие затруднения.

Еще одним  способом дополнительного задания можно использовать перенесение данных одной задачи на другую, но с соблюдением пропорциональных величин. К примеру, в такой формулировке. «Мама пошла в магазин купить сыну шоколада, одна плитка стоила 35 рублей. Мама купила  3 таких плитки. Сколько денег потратила мама?» Решая эту задачу, мы легко можем найти общую стоимость шоколада – 105 рублей. А теперь данные этой же задачи мы можем перенести на другое условие : «Велосипедист находился в пути 3 часа, а двигался он со скоростью 35 км/ч. Какой путь проделал велосипедист?» в ответе у нас получится тоже число, что и в предыдущей задаче, но посмотрите: зависимости у задач природоразные, а моделируются они одинаково.                 

        В качестве примера можно рассмотреть задачу из учебника математики 5 класса под редакцией Н.Я. Виленкина № 279 [1]: На железнодорожной станции стояли 3 товарных состава. В первом составе было 30 вагонов, во втором – на 5 вагонов больше, чем в первом. Сколько всего было вагонов в этих трех составах, если в первом из них было на 10 вагонов меньше, чем в третьем? Сначала ученикам было предложено простое решение этой задачи, не требующее варьирования данных. Они справились с этим заданием, даже выделив два способа решения: одним выражением и по действиям. После того, как они получили ответ 105, им было предложено дополнительно поработать над задачей и применить метод варьирования данных. Результат был увеличен со 105 до 210, и был поставлен вопрос: какое одно данное мы могли бы изменить, чтобы получился наш новый ответ 210? Ученики, чтобы облегчить себе работу, просто увеличили количество вагонов в третьем составе с 40 до 145 и получили требуемый результат 210. Тем самым, мы изменили одно условие в задаче, которые было в вопросе – Сколько всего было вагонов в этих трех составах, если в первом из них было на  115 вагонов меньше, чем в третьем?

        Теперь ученики уже имели представление о методе варьирования данных, и задача была усложнена. В окрестности данной текстовой задачи можно было менять данные бесконечное множество раз, тем самым, моделируя любую ситуацию, но я предложил такой вариант: На сколько нужно изменить количество вагонов в первом составе, чтобы получить наш новый ответ – 210, при этом сохранив зависимость, установленную в задаче?

После череды необдуманных ответов учащиеся призадумались и ответили на мой поставленный вопрос верно: правильным результатом оказалось количество вагонов в 1 составе равное 65. Ученикам понравилась такая дополнительная работа над задачей, тем более, что до этого они  не сталкивались с ней, а сейчас могли сами управлять условием. Таким образом, не всегда понятные и простые (особенно для младших школьников) задачи с легкостью могут быть решены путем изменения данных на знакомые понятия: как в примере задачи с яблоками.

В ходе решения задач  возникает много сложностей при нахождении результата, однако психологами было установлено, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи.

Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять обратные рассуждения, при обычном решении задач. Другими словами, метод варьирования данных заставляет ученика применять логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывать новые связи между математическими объектами.

В современном развивающемся мире, где нет места устаревшим канонам образования, все большую роль играет информатизация учебного процесса. Ни для кого не секрет, что основной целью информатизации является  упрощение процесса образования. Тем самым, можно считать, что ярким примером информатизации учебного процесса является виртуализация.

Можно разнообразить уроки математики работой в MS Excel. Вернемся к задачам на движение и будем рассматривать одну из таких задач, как вариант работы в программе.

В качестве примера можно взять задачу № 642 из учебника под редакцией Н.Я. Виленкина 5 класса [1]: Собака увидела хозяина, когда была на расстоянии 450 м, и побежала к нему со скоростью 15 м/с. Какое расстояние между хозяином и собакой будет через 4с; через 10с; через t с? Эту задачу мы представим в виде таблице в Excel:

Запрограммируем ячейки, чтобы расчет пути производился автоматически по формуле S=V*T. Находим первое требуемое расстояние, получается 60 метров (15*4).  При нахождении требуемого расстояния выявляется закономерность - при постоянной скорости расстояние будет увеличиваться в том случае, когда увеличивается время.

Теперь применим метод варьирования данных. Рассмотрим сначала зависимость пути от скорости движения при постоянном времени - чем больше скорость, тем большее расстояние, которое можно преодолеть. То есть, школьники должны осознавать и понимать, что расстояние будет увеличиваться, если увеличить скорость движение, и наоборот, расстояние уменьшается, если скорость движения снижается (в случае постоянного времени). Из исходной задачи выведем еще одну закономерность, в которой за постоянную величину можно взять расстояние. Чем больше будет скорость движения, тем быстрее мы доберемся до нашей конечной цели.

Используя информационные технологии при решении задач, школьники получают возможность вникнуть в задачу, сконструировать собственную задачу самостоятельно (ведь с помощью модуляции или варьирования данных лучше происходит процесс усвоения информации), поработать с данными, тем самым погрузиться в задачу и увидеть ее с другой стороны, что дает возможность лучше разбираться в изученном материале.

        Применение таких возможностей в решении текстовых задач дает возможность уже младшим школьникам хорошо понимать задачи на движении, что в последствии облегчит задачу при подготовке к ЕГЭ по математике (блок В13 содержит задачи на движение).

Виртуализация есть, прежде всего, социокультурный феномен, основанием которого служат инновации, в частности информационно-коммуникативные, порожденные информационно-технологической революцией. Более того, как инновационное явление, виртуализация учебного процесса, функционирует посредством информационных технологий, поэтому постоянно происходит трансформация образовательной среды.

Библиография:

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. Математика: Учебник по математике для 5 классов для общеобразовательных учреждений/- 25 изд..- М.: Мнемозина.- 2009.
2. Дорофеев Г.В. О составлении циклов взаимосвязанных задач. //Математика в школе. 1983. - №3. - С. 34-39.