Разбор заданий математического кружка
учебно-методический материал по алгебре по теме

Математические кружки к главе 1.

Разбор заданий.

Материал трех кружков в этой главе – «Двоичная система», «Замечательные произведения», «Игра Ним» – предназначен, в основном, для занятий с учащимися, мотивированными на изучение математики, хотя мы считаем полезным познакомить всех учащихся с основными идеями кружков и некоторыми заданиями из них.

«Двоичная система счисления» – увлекательный материал, который имеет множество приложений и доступен большинству пятиклассников. Решение заданий этого кружка является хорошей тренировкой представления чисел в виде сумм степеней других чисел и, тем самым, служит закреплению навыков счета.

«Замечательные произведения» – название кружка говорит само за себя – это погружение в мир чисел с его многообразием удивительных свойств, это возможность для совершения открытий, возбуждение интереса к числам и в то же время – тренировка в счете, но не ради самой тренировки, а для осмысленной деятельности.

«Игра Ним» – начало знакомства учащихся с теорией игр. Это достаточно трудный математический материал. Кружок построен так, что выработка правильной стратегии игры формируется постепенно, сначала на частных примерах, с небольшого конкретного набора чисел до обобщений с применением достаточно серьезной математики. Каждый ученик, работая с заданиями кружка, имеет возможность достичь своего уровня в выработке стратегии игры.

Надеемся, что помещенный ниже разбор решения заданий кружков поможет учителям подготовиться к занятиям с учащимися по этому материалу с меньшими затратами времени.

Двоичная система

Степени двойки

2. 230 = 210  210  210 > 1000  1000  1000 = 1 000 000 000.

3. 220 > 1 000 000, 219 = 210  29 = 1024  512 = 524 288  219 < 1 000 000 < 220.

5. 1000 = 512 + 256 + 126 + 64 + 32 + 2 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 =
= 11111010002.

10 000 = 8 192 + 1 024 + 512 + 256 + 16 = 213 + 210 + 29 + 28 + 24 =
= 100111000100002.

100 000 = 65 536 + 32 768 + 1 024 + 512 + 128 + 32 =
= 216 + 215 + 210 + 29 + 27 + 25 = 11000011010100002.

1 000 000 = 524 288 + 262 144 + 131 072 + 65 536 + 1 638 + 512 + 64 =
= 219 + 218 + 217 + 216 + 214 + 29 + 26 = 11110100001001000002.

6. 11111111112 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1 = 512 + 256 +
+ 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1023.

Ответ: 1023.

7. 210 = 1024.

Взвешивания

На одну чашку весов будем класть груз, на другую – гири.

8. Набор гирь – это степени 2, 7 = 4 + 2 + 1 = 1112; 13 = 8 + 4 + 0 + 1 = 11012; 14 = 8 + 4 + 2 = 11102. В записи грузов в двоичной системе единицы говорят о том, что соответствующая гиря берется для взвешивания, а нули означают, что гиря не используется.

9. Так как гири представляют все степени двойки от 0 до 6, то с их помощью можно записать все число от 1 до 127.

Ответ: от 1 до 127.

10. С помощью трех гирь взвесить любой груз до 40 г нельзя, так как для каждой гири имеем три варианта, следовательно, мы можем с помощью трех гирь получить не более 33 = 27 значений. Если мы возьмем 4 гири: 1, 3, 9 и 27 (г), то с их помощью можно взвесить любой груз от 1 до 40 г: 1 = 1,
2 = 3 – 1, 3 = 3, 4 = 3 + 1, 5 = 9 – 3 – 1, 6 = 9 – 3, 7 = 9 + 1 – 3, 8 = 9 – 1, 9 = 9, 10 = 9 + 1, 11 = 9 + 3 – 1, 12 = 9 + 3, 13 = 9 + 3 + 1.

Итак, мы получили все значения от 1 до 13. Вычитая эти значения из 27, получим все значения от 14 до 26, прибавляя к 27 каждое из 13 значений, получим все значения от 28 до 40.

Ответ: 4 гири.

11. 17 = 27 – 9 – 1 = 10; 21 = 27 – 9 + 3 = 110; 60 = 81 – 27 + 9 – 3 =
= 110; 63 = 81 – 27 + 9 = 1100.

Замечательные произведения

2. При умножении числа, составленного из n шестерок, на число, составленное из n девяток, можно умножить число 6666…6 на 100…000, составленное из 1 с n нулями и вычесть из полученного произведения 6666…6. Тогда получится число, в котором (n – 1) старших разрядов займет цифра 6, следующий –5, следующие (n – 1) разрядов – цифра 3 и последний – 4.

Ответ: 666665333334; в общем виде 666…65333…34.

3. 1) 123456789 · 9 = 1111111101,

123456789 · 18 = 2222222202,

123456789 · 27 = 3333333303,

…

123456789 · 81 = 9999999909.

2) 666 · 667 = 444222,

66666 · 66667 = 4444422222.

В общем случае, если умножить число, образованное n шестерками на число на 1 большее, то получим 2n – разрядное число, в котором старшие n разрядов будут заняты цифрой 4, остальные – цифрой 2: 666….66 · 666…67 = = 444…44222…22.

4. на 143  2 = 286 и на 143  6 = 858.

5. 8547 · 13 = 111111, поэтому при умножении любого однозначного числа на 8547, а затем на 13 получится шестизначное число, у которого каждый разряд занимает цифра, соответствующая выбранному однозначному числу.

6. 1) Десятичная запись результата содержит все цифры, кроме 0.

2) 30384.

7. 1) Произведение есть 10-разрядное число, в десятичной записи которого нет одинаковых цифр.

Игра Ним

4. 1) Мы берем какое-то число камешков из какой-то кучки. Это означает, что в соответствующей строке мы меняем некоторые цифры, и там, где цифра изменилась, четная сумма превратилась в нечетную.

2) Рассмотрим суммы, полученные в 3. В первом случае заберем две единицы в третьей строке, т. е. заберем третью кучку камней; во втором случае сделаем то же самое; третья сумма уже состоит из нулей.

В общем случае, если в сумме не все нули, то можно поступить следующим образом.

Выбираем старший (самый левый) столбец, у которого сумма цифр нечетная, и строку, в которой в этом столбце стоит 1.

Убираем ее, тем самым вычитаем число 100…0, переходим в этой строке к следующему столбцу, у которого сумма цифр нечетная. Если в этой строке стоит 1, убираем ее (вычитаем число 100…0), если стоит 0, то ставим 1 (прибавляем 100…0) и т. д.

Например, имеем тройку чисел (14; 12; 5), ей соответствует сумма

Первая 1 во втором столбце слева. Выбираем строку, например, вторую. Во втором столбце слева в ней стоит 1, убираем ее (вычитаем 100). В третьем  столбце справа тоже стоит 1 , а в выбранной нами строке – 0, следовательно, прибавляем 10; в последнем столбце тоже стоит 1, а в выбранной строке – 0, поэтому прибавляем 1. Итак, мы вычли 100 и прибавили 11, т. е. вычли 1, поэтому вторая строка изменится и станет равной 1011.

5. Для того чтобы выиграть, нужно стремиться к тому, чтобы перед ходом противника оставалось две кучки по одному камешку. Тогда противник проиграет. Предположим, что в какой-то момент в каждой кучке столько камешков, что при переходе в двоичную систему соответствующая сумма будет состоять из одних нулей, после следующего хода эта сумма уже будет содержать 1, а затем следующим ходом можно сделать сумму опять состоящей из нулей. Заметим, что если сумма состоит из нулей, то должно быть не менее двух кучек. Итак, каждый ход меняет сумму, состоящую из нулей, на сумму, содержащую 1, а ее, в свою очередь, можно поменять на сумму, состоящую из нулей. Каждый игрок имеет выигрышную позицию, когда перед его ходом сумма содержит 1.

1) (11; 12; 10)

Выигрышная позиция у первого игрока.

Вычитаем 5 камешков из первой кучки. Получаем

Независимо от хода второго игрока сумма буде содержать 1 и т. д.

2) (27; 17; 10)

Выигрышная позиция у второго игрока.

3) (11; 8; 2)

Выигрышная позиция у первого игрока.

4) (11; 9; 6)

Выигрышная позиция у первого игрока.

6. 2) Каждая из позиций при правильных ходах является однозначно либо выигрышной, либо проигрышной, поэтому каждый игрок стремится создать для себя выигрышную позицию и не допустить проигрышную позицию.

Например, набор (1; 2) может перейти либо в (0; 1), либо в (1; 1), либо в (1; 0). Во всех случаях следующий ход приводит к выигрышу второго игрока..

Набор (2; 3) переходит при правильной игре в (2; 1), и второй игрок проигрывает.

Набор (3; 5) может перейти в (1; 3) – второй игрок выигрывает ходом (0; 1):

в (2; 4) – второй игрок выигрывает ходом (0; 3);

в (3; 4) – второй игрок выигрывает ходом (0; 2);

в (3; 3) – второй игрок выигрывает ходом (3; 3);

в (3; 2) – второй игрок выигрывает ходом (2; 0);

в (3; 1) – второй игрок выигрывает ходом (1; 0).

Таким образом, все возможные ходы (в том числе и не рассмотренные здесь из-за своей очевидности) приводят к выигрышу второго игрока.

Заметим, что две последовательные пары имеют вид: (a; b), (b; a + b), т. е. образованы числами Фибоначчи. Поэтому если предыдущая пара (a; b) была для игрока проигрышной, то пара (b; a + b) будет выигрышной, так как ходом (0; b) становится проигрышной для второго игрока.

Таким образом, пара (5; 8) является выигрышной для первого игрока.