Урок алгебры и начала анализа в 10 классе. Решение логарифмических уравнений
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе.

Тема урока «Логарифмические уравнения»

(второй урок по теме).

Умение решать задачи - практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь…

Д.Пойа

Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь.

А. Фуше.

Цель урока.

1. Формирование умения решать различные логарифмические уравнения и их системы с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.

Задачи урока.

Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к решению логарифмических уравнений:

а) действия с членами и частями уравнения

б) замена обозначения

в) разложение на множители части уравнения

г) метод подстановки при решении

Повторение: а) понятие уравнения – следствия

б) определение логарифма и его свойства

в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.

Развивающая. Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся

Воспитательная.  Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Помочь учащимся осознать ценность коллективной деятельности.

Оборудование: ПК, тесты, карточки

Структура урока

I этап – Мотивационно – ориентировочный. Организационный момент (приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока).

II этап -Актуализация знаний. Устная работа.

III этап – основной. Работа над углублением  материала темы «Логарифмические уравния».

IV этап - Самостоятельная работа. Тестирование (компьютерный вариант).

Дополнительный материал.

V этап - Подведение итога урока. Домашнее задание.

Ход урока

 I этап. Организационный момент.

-Здравствуйте, ребята!

Ребята, сегодняшний урок пройдет немного в необычной обстановке. На уроке присутствуют гости, мои коллеги, учителя других школ республики. Давайте поприветствуем  и начнем урок.

-На предыдущем уроке мы с вами приступили к решению логарифмических уравнений. Рассмотрели решение ряда простейших логарифмических уравнений.

Тема нашего урока  очень актуальна, мы с ней будем идти параллельно до итоговой аттестации в 11-м классе. Поэтому сегодня мы научимся решать различные логарифмические уравнения и их системы

-Откройте тетради, запишите число . . . . . . . . .  и тему урока:” Решение логарифмических уравнений”.

II этап. Анализ затруднений при выполнении домашнего задания. (Слайды)

Устная работа.

1Выяснить, при каких значениях имеет смысл выражения:

0,75х;  log0.5x;      log7x2;   log|x|5.

Вычислить:

;

2. Дайте определение логарифма.

 Логарифмом положительного числа в  по основанию  называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить подлогарифмическое число в.

3. Какие свойства логарифмов были использованы вами при выполнение д/з. Сформулируйте основные свойства логарифмов

loga1 = 0,
logaa = 1,

loga( x. y ) = logax + logay; x > 0; y > 0,

loga; x>0; y>0.
logaxr = r logax; x > 0 ;

Основное логарифмическое тождество

alogax = x

Формулы перехода от одного основания логарифма к другому

logax = logbx / logba

В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция у=logax  , a>0  a≠1. Давайте составим рассказ по рис. 1 (рис. 2)

                        Рис. 1                                                           Рис. 2

Еще раз вспомним определение возрастающей и убывающей функции.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

У доски: (Проверка домашнего задания.)

№ 340(2) Решить уравнение:

log1/2(3x-1)=log1/2(6x+8) .

Решение

log1/2(3x-1)=log1/2(6x+8).

 О.Д.З.         

Используя теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями, получаем:

    3х-1=6х+6,

   -3х=7,

      - посторонний корень.

Ответ: нет корней.

№ 342(2) Решить систему уравнений:

Решение:

  О.Д.З.:    x>0,  y>0.

Из первого уравнения выразим y через х

Log3xy=log39.

xy=9;   y=; и подставим во II уравнение, получим следующую систему уравнений:

x2+x-2=0,

х1=1;  х2=-2 – посторонний корень.

Ответ: х=1.

III этап - Основной. Работа над углублением  материала темы «Логарифмические уравния».

№341 Решить уравнение

Log1/3x log1/3 (3x-2)= log1/3 (3x-2)

Решение.

Log1/3x log1/3 (3x-2)= log1/3 (3x-2)         О. Д. З.:  ;   ;   ;

Log1/3x log1/3 (3x-2) - log1/3 (3x-2)=0

 Log1/3 (3x-2) ( log1/3 х-1)=0

   Log1/3 (3x-2) =0       или       log1/3 х-1=0

      3х-2=1                                   log1/3x=1

       3x=3                                      x=  - посторонний корень

       х=1

Ответ: х=1.

№347. Решить уравнение

Решение.

       О.Д.З. x>0,  y>0.

Ответ: (8;).

№ 352(1) Решить уравнение

;

Решение.

Т.к. левая часть уравнения неотрицательна, то При х>1 уравнение равносильно уравнению  Пусть t=logx5

2t+3=t2,

t2-2t-3=0

t1=3,   t2=-1

Если t=3, то logx5=3, х3=5, х=

Если t=-1, то logx5=-1,  x=, но <1 =>  x= - не является корнем исходного уравнения.

Ответ: х=

         Решить уравние.

1) Найдите все значения параметра, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

-Какое это уравнение?  (Логарифмическое).

Решение.

.

-Какое уравнение мы получили после преобразований? (Показательное, решение которого сводится к квадратному).

Пусть , где

-Почему на переменную   наложено такое условие? ( Показательная функция принимает только положительные значения).

Тогда .

Условие, при котором квадратное уравнение имеет два различных корня:.

Найдем корни уравнения :   ;  .

Видно, что при    .

Выясним условие, при котором .

.

Следовательно, исходное уравнение будет иметь два решение если

Ответ. При .

IV этап - Самостоятельная работа. Тестирование (компьютерный вариант ЕГЭ №7  и №8).

№ 7

1. Вычислите:

2. Упростите выражение

3. Найдите значение выражения  

4. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения

5. Какому промежутку принадлежит корень уравнения  log2(5x)-log23=log213

№ 8

1. Решите неравенство  

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

3. Какому промежутку принадлежит корень уравнения log2X+log23=log221

4. Вычислите:

5. Найдите значение выражения

Дополнительный материал.

Решить уравнения:

1. Log3(x3-x)-log3x=log33;

Решение.

Log3(x3-x)-log3x=log33

О.Д.З.        х>1.

Итак, х=0 и х=-2 – посторонние корни.

Ответ: х=2.

2. Log2(3x+1) log3x=2 log2(3x+1)

Решение:

Log2(3x+1) log3x=2 log2(3x+1),

О.Д.З.

Log2(3x+1)log3x-2log2(3x+1)=0;

Log2(3x+1)(log3x  -2)=0;

Log2(3x+1)=0   или    log3x=2

3x+1=1;                        x=32;

3x=0                               x2=9  

x1=0- посторонний корень.

Ответ: х=9.

V этап - Подведение итога урока. Домашнее задание.

№ 346 (2),   № 349 (2), №353 Выбрать понравившегося  великого математика из кроссворда и написать о нем реферат.

Пожелание ученикам

«Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет

Пусть добрым будет ум у вас,

 А сердце умным будет.»

                        С. Я. Маршак

Спасибо всем за урок.!

 Анализ урока

Уважаемые коллеги Вашему вниманию был представлен урок на тему решение «Решение логарифмических уравнений» (второй урок по теме)  из раздела «Логарифмы».

Считаю, что урок способствовал достижению основной поставленной цели:    - Формирование умения решать различные логарифмические уравнения и их системы с использованием свойств логарифмов и общих методов решения уравнений.

А также урок способствовал реализации поставленных мной задач, которые сформулированы с учетом задач предыдущих и последующих уроков:

Образовательная. Создать условия для отработки общих подходов к решению логарифмических уравнений:

а) действия членами и частями уравнения

б) замена обозначения

в) разложение на множители части уравнения

г) метод подстановки при решении

Повторение: а) понятие уравнения – следствия

б) определение логарифма и его свойства

в) теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями.

Развивающая. Способствовать развитию математического языка, наглядно – образного мышления, коммуникативных умений учащихся

• формирование коммуникативных навыков  в учебном диалоге
• развитие логического мышления учащихся;
• развитие познавательного интереса, речи и внимание школьников;

Воспитательная.  Воспитание интереса к предмету посредством использования на уроке ПК; активности, умения общаться, общей культуре.

Помочь учащимся осознать ценность коллективной деятельности.

- активизация познавательных способностей учащихся

Цель и задачи урока определили тип урока комбинированный. и его структуру:

I этап – Мотивационно – ориентировочный. Организационный момент (приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока).

II этап -Актуализация знаний. Устная работа.

III этап – основной. Работа над углублением  материала темы «Логарифмические уравния».

IV этап - Самостоятельная работа. Тестирование (компьютерный вариант).

Дополнительный материал.

V этап - Подведение итога урока. Домашнее задание.

На уроке был применены наглядные средства: презентация, содержащая основные понятия, задания и др. моменты урока, дополнительные материалы  и заданиями.

Применялись следующие  методы:

а) методы организации и осуществления учебной деятельности

• словесные - беседа (ответы на вопросы), рассказ (объяснение учителя);
• наглядные (презентация с необходимыми схемами, опорными определениями)
• практические (задачи).

б) методы стимулирования и мотивации учения –

метод стимулирования и мотивации интереса к учению: занимательные задания :                              . Для чего было выбрано это задание? Оно оживило учебный процесс на уроке, позволило повысить интерес ребят к изучаемой теме,

в) метод контроля и самоконтроля (выполнение теста на компьютере, здесь же самоконтроль – учащиеся видят результат)

Использование тестов является рациональным дополнением к методам проверки знаний, умений и навыков учащихся.

Тестирование - одно из средств индивидуализации в учебном процессе, т.к. учитывает психологические особенности учащихся, мешающие их успешной деятельности. Тестовый контроль знаний позволяет проверить значительный объем изученного материала.

Систематическое использование тестов формирует у учащихся дисциплинированность и стремление к самостоятельности в усвоении программного материала.

В своей работе я руководствуюсь трехмерной  моделью  систематики форм организации обучения Андреева В.И.:

внутренние формы организации обучения (занятие по углублению и совершенствованию ЗУНов,  (комбинированная форма организации обучения.)

общие формы организации обучения (взаимодействия в системе «учитель-ученик», «ученик-ученик») – фронтальная,  групповая, парная.

В процессе обучения реализованы следующие дидактические принципы: доступности, систематичности и последовательности, связи с жизнью, активности, наглядности.

Я  считаю, что на уроке были реализованы цели и задачи, поставленные мною. А именно: совершенствованы знания учащихся об общих подходах к решению уравнений , выработаны умения решать различные логарифмические уравнения.

Домашнее задание я дала учитывая объем пройденного материала на уроке и для развития творческих способностей учащихся: написать реферат. Данное задание позволяет не только повысить интерес к предмету, но и пополнить методическую копилку учителю.

Наиболее удачные моменты:

 - реализован принцип учета индивидуальных особенностей уч-ся;

• дети справились заданиями;
• ребята справились с тестом.

Наряду с отмеченными с удачными моментами, необходимо указать и на недостатки:

• недостаточное внимание уделялось мной исправлению речевых ошибок во время ответов учащихся и требованию полных ответов, что обусловлено дефицитом времени;

В целом  я довольна уроком. Думаю, что и учеников заинтересовал сегодняшний урок, и они ушли с урока не только с полученными ЗУНами, но и с хорошим настроением, желанием использовать полученные ЗУНы на практике. А это самое главное для любого учителя!