Спецкурс по математике для обучающихся 10-11 классов "Обобщённый метод интервалов".
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Министерство образования и науки Российской Федерации

Управление образования администрации города Ангарска

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №17»

Обобщённый метод интервалов

спецкурс по математике

для обучающихся 11-го класса  

адаптационная, учебная программа                

                                                                                           Автор разработки:                                        

                                                                                      Большедворская

                                                                                               Светлана Эдуардовна

                                                                                             учитель математики

                                                                                            МОУ «СОШ №17»

г. Ангарск.

Пояснительная записка

Спецкурс «Обобщённый метод интервалов» является предметно-ориентированным и предназначен для расширения теоретических знаний и практических навыков обучающихся.

Курс рассчитан на реализацию в 10-11 классах общеобразовательной школы в объёме 15 часов.

Решение неравенств – один из сложных разделов школьного курса математики. При подготовке учащихся к итоговой аттестации в форме и по материалам ЕГЭ необходимо вырабатывать навыки решения неравенств. Существует много методов решения неравенств. Однако актуализация не приведённых в систему знаний ведёт к механическому заучиванию и кратковременному запоминанию разных приемов решения. Ученики не всегда могут правильно определить,  каким именно способом наиболее рационально решать конкретное неравенство.

Предлагаемый спецкурс освещает намеченные, но не проработанные в общем школьном курсе математики, вопросы решения неравенств повышенного уровня сложности. В школьных учебниках рассматривается только метод интервалов, используемый чаще всего для решения простейших рациональных неравенств.

        Сравнительный анализ содержания школьных программ, позволяет выявить пробел, который может быть заполнен содержанием курса «Обобщённый метод интервалов». Кратковременное знакомство с методом интервалов встречается в курсе алгебры 8 класса (учебник алгебры для 8 класса средней школы Ш.А. Алимов и др.) – всего 2 часа, рекомендуемые для ознакомления с методом интервалов при наличии времени. Предлагаются 3 часа на изучение метода по учебнику алгебры  9 класса С.М. Никольского и 2 часа по учебнику алгебры 8 класса Н.Я. Виленкина. В 10 классе, как отдельная тема «Метод интервалов для решения рациональных неравенств» в объёме 2 часов,  рассматривается только по учебнику алгебры и начал анализа для 10 класса  С.М. Никольского. Таким образом, учащиеся знакомятся с темой в минимальном объёме, недостаточном для полного осмысления метода и, тем более, для изучения обобщённого метода интервалов, дающего инструмент для решения самых разных сложных неравенств.

Кроме того, по результатам единого государственного экзамена 2010 года в Иркутской области опубликованы методические рекомендации, в которых поясняется, что 75,4% выпускников школ вообще не приступали к решению неравенств С3, из тех, кто приступал, только каждый 16-й смог в основном решить неравенство. Обычно не смогли определить или использовать область допустимых значений неравенства, а подавляющее большинство не смогли нужным образом преобразовать исходное неравенство. И только 1,1% полностью справились с неравенством.

Можно сделать вывод о необходимости дополнительного, детального изучения темы «Обобщённый метод интервалов» в связи с актуальностью данного раздела для: успешного овладения навыками решения неравенств разного уровня сложности, для качественной подготовки к выполнению заданий с развёрнутым решением С1, С3, С5 второй части ЕГЭ, для продолжения образования в вузах, требующих знания математики.

Материал данного курса поможет показать преимущества обобщённого метода интервалов – это краткость, быстрота, надёжность, которые особенно ярко видны при решении неравенств повышенной сложности, содержащих разные функции. Показать, что при решении неравенств обобщённым методом интервалов появляется возможность значительно сократить время за счет того, что вместо нахождения знаков функции на каждом интервале можно расставлять их почти автоматически.

В литературе есть отдельные статьи, дающие методические рекомендации по работе с обобщённым методом интервалов в старших классах. Например, статья Лазаренко Т.В."Обобщенный метод интервалов", где приводятся примеры решения опять же рациональных и дробно-рациональных неравенств. Предлагаемый же курс систематизирует и обобщает более широкий спектр неравенств по самым разным темам, предусматривает поэтапное формирование и отработку навыков решения неравенств, начиная с простейших рациональных и заканчивая сложными комбинированными и неравенствами с параметрами, одновременно формируя навыки нахождения области допустимых значений, навыки преобразования неравенств.

Методологической основой спецкурса явились основные положения теории научного познания, теории деятельностного подхода  в обучении, принципы дидактики: научности, систематичности и последовательности, сознательности и активности, наглядности. Главной идеей при формировании содержания учебных материалов, для методики обучения является использование алгоритмического метода, как предмета изучения и как способа построения курса.

Цель курса – сформировать понимание необходимости знания обобщённого метода интервалов, показав широту его применения для решения разных неравенств, способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, необходимых человеку в современном обществе, для общей социальной ориентации.

Задачи:

- углубление, расширение  и систематизация  знаний учащихся о методе интервалов;

- овладение системой знаний о методе интервалов для целостного осмысления свойств неравенств и их особенностей;

- формирование умений применять алгоритм обобщённого метода  интервалов для решения любых неравенств;

- формирование познавательных, коммуникативных и информационных компетенций.

Предполагаются следующие формы организации обучения

1. индивидуальная работа (консультации, тесты);
2. групповая работа (решение задач творческого и исследовательского характера);
3. коллективная работа (беседы, практикумы);
4. взаимное обучение (взаимообмен заданиями, консультации, работа в парах);
5. самообучение (работа с учебной литературой, с листами самопроверки);
6. саморазвитие (работа с информационными и методическими материалами).

Одной из возможных форм ведения занятий данного спецкурса является разделение каждого учебного занятия на 2 части. Первая часть посвящена изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач и обсуждению решений особо трудных и интересных задач. Эта форма проведения занятий спецкурса может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

При этом основной формой обучения является поисково-исследовательская деятельность учащихся, теоретический материал может изучаться самостоятельно.

С целью более эффективного усвоения материала используются тематические тесты, для проверки теоретических знаний, подбор примеров и контрпримеров.

Данный спецкурс предполагает изложение теории вопроса, алгоритмов решений, ключевых и опорных задач, обучающих задач репродуктивного, частично-поискового и исследовательского характера. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятии. Разнообразный дидактический материал даёт возможность отбирать дополнительные задания  для обучающихся разной степени подготовки: от заданий базового, повышенного до заданий углублённого уровня.

Критерии, позволяющие оценить успешность освоения программы курса

Для оценивания  динамики усвоения обучающимися материала курса, для осознания учениками необходимости регулярно заниматься разработаны  следующие критерии оценки успешности прохождения данного курса:

1. Для оценки объективных возможностей обучающихся, проводится промежуточная диагностика, в форме проверочной работы. И в зависимости от уровня подготовленности школьников объём, заданий варьируется учителем, уровень сложности определяется учеником, что способствует его самооценке и ответственному выбору.
2. Усвоение теоретической части, алгоритмов решений ключевых задач контролируется тематическими тестами для проверки теоретических знаний. Система обучающих задач контролируется тестами для проверки практических умений и навыков.
3. Для организации самоконтроля используются карточки с заданиями с последующей работой обучающегося с листами самопроверки к каждой карточке. Учитывая свои амбиции, учащиеся сами выбирают уровень сложности карточки.
4. В каждой теме включены задания для самостоятельного решения, выполнение которых обязательно и предполагает овладение материалом. Если возникали затруднения в процессе изучения темы, то есть возможность вернуться и проработать ранее изложенные вопросы.
5. Обучающимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности предлагается:

1. самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений;
2. самостоятельное построение алгоритма метода, позволяющего решить задачу, содержащую отдельные нюансы решения;
3. самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной математической литературы.

Содержание программы

1. Обобщённый метод интервалов. (4ч)  Классический метод интервалов. Обобщённый метод интервалов. Точки чётной и нечётной кратности. Нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов. Целые рациональные неравенства. Дробные рациональные неравенства. Алгоритм решения целых рациональных  неравенств методом интервалов.  Алгоритм решения дробных  рациональных  неравенств методом интервалов. Решение рациональных  и дробных рациональных  неравенств обобщённым методом интервалов.

Основная цель: систематизировать сведения о решении неравенств методом интервалов, выработать умения решать рациональные  и дробные рациональные неравенства обобщённым методом интервалов.

Учащиеся должны знать:

1. алгоритм классического метода интервалов;
2. свойство рациональной функции, на котором основан метод интервалов;
3. алгоритм обобщённого метода интервалов;
4. определение точек чётной и нечётной кратности;
5. определение нулей функции;
6. определение точек разрыва;
7. нетрадиционный алгоритм решения неравенств методом интервалов;
8. определение целого рационального неравенства;
9. определение дробного рационального неравенства.

Учащиеся должны уметь:

1. применять приёмы нахождения нулей функции, точек разрыва, точек чётной и нечётной кратности;
2. решать рациональные неравенства обобщённым методом интервалов;
3. решать рациональные  и дробные рациональные неравенства обобщённым методом интервалов;
4. раскладывать на множители;
5. осуществлять выбор одного правильного ответа из предложенных.

2. Неравенства, содержащие модули и иррациональные выражения. (3ч) Схема решения неравенств обобщённым методом интервалов. Некоторые нюансы в определении знака  и особенности упрощенной записи. Решение неравенств, содержащих модули и иррациональные выражения обобщенным методом интервалов. Проверочная работа.

Основная цель: Выработать умение решать неравенства, содержащие модули, иррациональные выражения обобщённым методом интервалов.

Учащиеся должны знать:

1. определение модуля;
2. определение арифметического корня натуральной степени;
3. схему решения неравенств, содержащих модули и иррациональные выражения обобщённым методом интервалов;
4. нюансы, в определении знака неравенства;
5. особенности упрощенной записи неравенства;
6. приёмы решения иррациональных уравнений и уравнений с модулем.

Учащиеся должны уметь:

1. находить область определения функции, содержащей иррациональные выражения;
2. формулировать алгоритм обобщённого метода интервалов, адаптируя его к типу того или иного неравенства;
3. применять приёмы нахождения нулей функции, точек разрыва, точек чётной и нечётной кратности;
4. применять приёмы перехода к упрощённой записи неравенства;
5. решать неравенства, содержащие иррациональные выражения обобщённым методом интервалов;
6. выполнять проверку при решении иррационального уравнения;
7. решать неравенства, содержащие модули обобщённым методом интервалов;
8. решать уравнения с модулем.

3. Показательные и логарифмические неравенства.(4ч ) Решение показательных неравенств.  Примеры неравенств, в процессе решения которых меняется знак. Показательно–степенные неравенства. Метод интервалов для решения показательно-степенных неравенств. Решение  логарифмических  неравенств.

Основная цель: Выработать умение решать показательные, показательно-степенные и логарифмические неравенства обобщённым методом интервалов.

Учащиеся должны знать:

1. определение и свойства показательной функции, показательно-степенной и логарифмической функции;
2. определение и свойства логарифма;
3. алгоритм решения показательных, показательно-степенных, логарифмических неравенств;
4. приёмы решения показательных и логарифмических уравнений.

Учащиеся должны уметь:

1. находить область определения функции, заданной аналитически;
2. формулировать алгоритм обобщённого метода интервалов, адаптируя его к заданному неравенству;
3. преобразовывать логарифмические неравенства, используя свойства логарифма;
4. применять приёмы проверки решения и приёмы перехода к упрощённой записи неравенства;
5. решать показательные неравенства обобщённым методом интервалов;
6. решать показательно-степенные неравенства обобщённым методом интервалов;
7. решать логарифмические неравенства обобщённым методом интервалов.

4.Смешанные неравенства и неравенства с параметрами. (4ч) Решение смешанных неравенств обобщённым методом интервалов. Решение сложных комбинированных неравенств. Решение неравенств с параметрами методом интервалов. Контрольная работа.

Основная цель: Выработать умение решать смешанные, сложные комбинированные неравенства и неравенства с параметрами обобщённым методом интервалов.

Учащиеся должны знать:

1. алгоритм обобщённого метода интервалов;
2. определение точек чётной и нечётной кратности;
3. определение нулей функции;
4. определение точек разрыва;
5. нюансы, в определении знака неравенства;
6. особенности упрощенной записи неравенства.

Учащиеся должны уметь:

1. находить область определения функции, заданной аналитически;
2. применять приёмы нахождения нулей функции, точек разрыва, точек чётной и нечётной кратности;
3. применять приёмы проверки решения и приёмы перехода к упрощённой записи неравенства;
4. устанавливать  внутрипредметные связи при решении комбинированных неравенств;
5. использовать опорные и ключевые задачи;
6. осуществлять выбор одного правильного ответа из предложенных.

Учебно-тематический план(15 ч)

Ожидаемые результаты обучения.

По окончании обучения учащиеся должны иметь представление об обобщённом методе интервалов, как об универсальном методе, позволяющем решать практически любые неравенства разного уровня сложности. Учащиеся должны владеть системой знаний о методе и уметь применять алгоритм обобщённого метода  интервалов для решения любых неравенств.

 Учащиеся должны иметь опыт работы, для формирования познавательных, информационных, коммуникативных компетенций:

1. получать информацию из разных источников для собственного развития;
2. составлять алгоритмы;
3. осуществлять рефлексию своей деятельности, выбирая уровень сложности задания;
4. вести диалог, беседу, взаимодействовать в группе для достижения результата.

Организация и проведение итоговой аттестации обучающихся.

Аттестация проводится с целью определения соответствия достигнутого обучающимися результата ожидаемым.

Итоговый контроль проводится в форме контрольной работы, предполагающей развёрнутое решение неравенств обобщенным методом интервалов по всем темам курса. Проверяется  в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению и решению экзаменационных заданий ЕГЭ второй части.

Учебно-методическое обеспечение

Основным дидактическим средством для предлагаемого спецкурса являются тексты рассматриваемых типов задач, которые могут быть выбраны из сборников различных вариантов ЕГЭ или составлены самим учителем. Курс обеспечен дидактическим материалом, разработками занятий, составленными на основе прилагаемого ниже списка литературы, необходимого учителю и учащимся для освоения курса.

Для проведения контроля в приложении приведены тексты тематических дифференцированных карточек с листами самоконтроля, тематические тесты для проверки теоретических знаний, текст проверочной работы для промежуточного контроля, тематические тесты для проверки практических умений и навыков, текст итоговой контрольной работы.

Список литературы для учителя и учащихся

1. Математика: 500 тестов и задач: для выпускников и абитуриентов / Титаренко А.М., Роганин А.Н. – М.: Эксмо, 2007. – 448 с. – (Выбор лучших репетиторов).
2. ЕГЭ 2011. Математика: сборник заданий / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – М.: Эксмо, 2010. – 224 с. (ЕГЭ. Сборник заданий)
3. ЕГЭ 2011. Математика. Типовые тестовые задания / И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П. И. Захаров, В.С. Панферов, С.Е. Посицельский, А.В Семёнов, А.Л. Семёнов, М.А. Семёнова, И.Н. Сергеев, В.А. Смирнов,  С. А. Шестаков, Д.Э. Шноль, И. В. Ященко; под ред.  А.Л. Семёнова,  И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 55,[1] с.( Серия «ЕГЭ 2011 Типовые тестовые задания»)
4. ЕГЭ-2011. Математика: типовые зкзаменационные варианты: 30 вариантов/ под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М. : Национальное образование, 2010. – 240 с. – (ЕГЭ-2011. ФИПИ - школе).
5. ЕГЭ. Математика. Тематическая рабочая тетрадь. 11 класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство «Экзамен», 2010. – 96 с.
6. Математика: пособие для подготовки к централизованному тестированию и экзамену/ И.К. Сиротина. – Минск: ТетраСистемс, 2010. – 400с.
7. Сергеев И.Н., Парфёнов В.С. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства / Под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко. – М.:  МЦНМО, 2011. – 72 с.
8. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Математика ЕГЭ 2011(типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной. www.alexlarin.narod.ru

Список литературы, используемой при составлении программы

1. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы:

Учебно-метод. пособие / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. – М.: Дрофа, 2001.

1. Математика. 10-11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс/ авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград: Учитель, 2009. – 204 с.
2. Надёжкина Е.И. Метод интервалов. Иркутск , 2000.
3. Лазаренко Т. В."Обобщенный метод интервалов". Методические рекомендации. festival.1september.ru
4. Гладченко З. М. Методические основы формирования навыков решения неравенств обобщенным методом интервалов при подготовке учащихся к ЕГЭ. http://metodisty.ru
5. www.alexlarin.narod.ru – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики.
6. Результаты единого государственного экзамена в Иркутской области. Математика: Методические рекомендации. Выпуск 2. Авторы: Марков С.Н., к.ф-м.н, Бокмельдер Е.П., к.ф-м.н., Осипенко Л.А., к.ф-м.н
7. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала анализа 10-11 классы. Составитель: Т.А. Бурмистрова. Издательство «Просвещение», 2009
8. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы. Составитель: Т.А. Бурмистрова. Издательство «Просвещение», 2008

Приложения

Приложение 1.

Тест для проверки теоретических знаний по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

Укажите все необходимые действия(1,2)

1. Чтобы решить целое рациональное неравенство вида  необходимо:

1) найти нули функции ;

2) найти точки разрыва функции ;

3) нанести нули функции  на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;

4) нанести точки разрыва функции  на координатную прямую и определить знаки функции на полученных промежутках;

5) записать промежутки, на которых функция не положительна;

6) записать промежутки, на которых функция отрицательна;

7) записать промежутки, на которых функция положительна.

2. Чтобы решить дробное рациональное неравенство вида  необходимо:

1) найти нули функции ;

2) найти нули функции ;

3) отметить на координатной прямой нули функции  «заштрихованными» кружочками, а нули функции  - «пустыми»;

4) отметить на координатной прямой нули функции  «пустыми» кружочками, а нули функции  - «заштрихованными»;

5) отметить на координатной прямой нули функции  и нули функции  «заштрихованными» кружочками;

6) записать промежутки, на которых функция  положительна;

7) записать промежутки, на которых функция не отрицательна.

3 Установите соответствие:

Неравенство

1)  х(х-1)(х+2)>0;

3)  ;

2) 0

4)

рисунок

решение (ответ)

Ответы

Приложение 2.

Самостоятельная работа по карточкам с последующей проверкой по листам самопроверки по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

Карточка 1. 

№1 Найти целые решения неравенства

№2 Решить неравенство

Карточка 2. 

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Карточка 3. 

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Карточка 4.

№1 Решить неравенство

№2 Решить неравенство

Лист самопроверки к карточке 1.

№1 Найти целые решения неравенства

Решение:

Рассмотрим функцию:

Найдём нули:  

Точки разрыва:  

Так как функция не положительна, то решением данного неравенства является промежуток: .

Запишем целые решения неравенства: - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Преобразуем неравенство следующим образом: . Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Корни первого уравнения 2 и 3. Второе уравнение корней не имеет. Значит, числитель раскладывается на множители следующим образом: , а знаменатель на линейные множители не раскладывается. Запишем неравенство в таком виде: . Отмечаем на числовой прямой точки   и  и выбираем нужные промежутки.

Ответ: (2;3).

Лист самопроверки к карточке 2.

№1 Решить неравенство

Решение. Пункты 1), 2), 3) уже выполнены. Отмечаем на числовой прямой точки.  При  выражение отрицательно, положительны все сомножители, кроме одного:  При переходе через точки  знак выражения меняется (линейные сомножители в нечетной степени), а при переходе через точкузнак не меняется (особая точка).

Включаем в ответ все промежутки, на которых левая часть неравенства отрицательна.

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,.  Корни первого уравнения -1 и -6, второе уравнение имеет один корень -2. Но правильнее в данном случае говорить, что оно имеет два одинаковых корня, поэтому, данный квадратный трехчлен разлагается на два одинаковых сомножителя. В этом случае, что уравнение имеет корень чётной кратности. Получаем:  - . Отмечаем на числовой прямой  точки: -6, -2, -1.

Расставим знаки, учитывая, что при  выражение отрицательно, а при переходе через точку -2 знак не меняется. Остается выбрать нужные промежутки.

Ответ: (-6;-2)(-2;-1).

Лист самопроверки к карточке 3.

№1 Решить неравенство

Решение. Числитель и знаменатель нужно разложить на множители, для этого их приравняем к нулю: ,. Первое уравнение имеет два одинаковых корня,  -1, корни второго уравнения -2 и 3.Разкладываем числитель и знаменатель на множители: ,

.

Получаем неравенство: . Отмечаем на числовой прямой "выколотые" точки -2 и 3 и особую точку -1.

Расставим знаки, учитывая, что при выражение положительно, а при переходе через точку -1 знак не меняется. Не забудем включить в ответ особую точку -1. Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Переносим все члены неравенства в левую часть и приводим к общему знаменателю. После приведения подобных членов получаем следующее дробно-рациональное выражение:

Раскладывая числитель на множители, получим: .

Теперь отмечаем на числовой прямой точки: -2, , , ,  нули знаменателя, "выколотые" точки, нули числителя, так как неравенство нестрогое.

При>5 выражение положительно. Так как все сомножители первой степени, то знак меняется во всех точках.

Осталось выбрать нужные промежутки.

 Ответ:

Лист самопроверки к карточке 4.

№1 Решить неравенство

Запишем неравенство в виде ,

Рассмотрим функцию:

Найдём нули функции, решив уравнение  

Ответ:

№2 Решить неравенство

Решение. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю, разложив предварительно квадратные трехчлены на сомножители:  и после преобразований получим  . Отметим нули числителя и знаменателя на числовой прямой: точки 0 и 4 – «заштрихованные», точки -1,-3, и 2 - "выколотые". Расставим знаки, учитывая, что на самом правом промежутке левая часть положительна, и знак меняется во всех отмеченных точках, кроме -1.

Ответ: UU

Приложение 3.

Разноуровневая домашняя работа по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

(вариант А).

Решите следующие неравенства:

1. (6)(х+4)   Ответ:    

2. ()()   Ответ: (-4;-1) 

3. ()()(х – 1)   Ответ:      

4. () ()    Ответ: (4; 6,5)

5.    Ответ:    

(вариант В).

Решите следующие неравенства:

1.      Ответ:  [-] 

2.       Ответ: {2}.

3.   Ответ: .

4.    Ответ:    

5.      

Ответ: (-     

6.    Ответ:

7.       Ответ:

8.    Ответ:

Приложение 4.

Контрольный тест по теме «Решение рациональных и дробно-рациональных неравенств».

Ответы

Приложение 5.

Тест для проверки теоретических знаний по теме «Неравенства, содержащие модули, иррациональные выражения»

1.Чтобы найти решение неравенства  необходимо:

1) найти нули функций

2) найти нули функций

3) нанести нули функций на координатную прямую и записать все полученные промежутки;

4) нанести нули функций на ОДЗ неравенства и записать все полученные промежутки;

5) на каждом промежутке раскрыть модули и решить полученные неравенства;

6) записать решение исходного неравенства, находя пересечение множеств решений неравенств на всех промежутках;

7) записать решение исходного неравенства, объединив решения неравенств на всех промежутках.

2. Чтобы решить неравенство  методом интервалов, необходимо:

1) записать неравенство в виде

2) найти нули функций

3) найти нули функции

4) найти область определения функций

5) найти область определения функции

6) нанести нули функции на её область определения;

7) установить знаки функции на полученных промежутках;

8) записать все промежутки, на которых рассматриваемая функция положительна;

9) записать все промежутки, на которых рассматриваемая функция не отрицательна.

Ответы:  1. 1;  4;  5;  7      2. 1;  3;  5;  6;  7;  9.

Приложение 6.

Проверочная работа по теме: Рациональные неравенства, неравенства, содержащие корни и модули.

1 вариант

1. Ответ:
2.  Ответ:
3.  Ответ: ).
4.    Ответ:
5.  Ответ:
6.  Ответ:

7.

2 вариант

1.  Ответ: 
2.  Ответ: 
3.  Ответ: 
4.  
5.  Ответ: 
6.  Ответ: 

Приложение 7.

Контрольный тест по теме «Решение смешанных неравенств»

Ответы

Приложение 8.

Итоговая домашняя контрольная работа

1. . Ответ:   

1.      Ответ:   

1. (х+1)     Ответ:      

1.       Ответ:    

1.      Ответ:   
2. 

1.       Ответ:  (3,5; 4)