Урок по теме: «Неравенства в финансовой математике». (Социально – экономический профиль).
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему
Урок лекционного характера с решением иллюстрирующих примеров.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
Урок лекционного характера с решением иллюстрирующих примеров. | 99.36 КБ |
Предварительный просмотр:
Атапина Ирина Николаевна, учитель математики МОУ Романовская СОШ
Урок по теме: «Неравенства в финансовой математике». (Социально – экономический профиль).
(Урок лекционного характера с решением иллюстрирующих примеров).
Тема урока: «Неравенство финансовой математики».
Цели:
- Обучающие.
Итоговое повторение темы. Применение замечательных неравенств в теоретических и прикладных исследованиях. Умение применять неравенство Бернулли в математических моделях простейших финансовых процессов.
- Развивающие.
Формирование навыков исследования и анализа получаемой информации с целью обеспечения мотивации значимости изучаемой темы.
- Воспитательные.
Воспитание дисциплины, терпения, внимания при решении сложных задач темы, уважения к учителю, одноклассникам .
Ход урока:
1. Предварительная подготовка. Предлагается повторить учащимся неравенство Бернулли. Для любого х > -1 и любого натурального числа n
(1 + х)n ≥1 + nх.
Задача 1 . Доказать, что при х > 0 выполняется неравенство
<1+.
Так как при возведении в куб обеих частей неравенства получается равносильное неравенство то мы должны доказать при х > 0 неравенство
(1+ )3>1+х,
а это неравенство мгновенно вытекает из неравенства Бернулли.
2. Изучение нового.
а) Вводная часть.
В большинстве разделов современной математики неравенство играет фундаментальную роль. Не обойтись без них ни физики, ни астрономии, ни химии. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения и в приложениях постоянно используют неравенства. Вот только конкретные примеры, подтверждающие это, не слишком просты. Слишком бывает сильна охрана в виде частокола многочисленных терминов у значительного серьезных научных результатов, так что пробраться к сути утверждения или рассуждения бывает затруднительно и все таки имеются предметы и задачи прикладного характера, когда можно увидеть применение неравенств.
б) Разбор вспомогательных понятий (формулы простых и сложных процентов)
Задача 2. (Вспомогательная.) При краткосрочных вкладах до востребования вклад S (например, рублей) увеличивается по следующему правилу: он растет ежедневно на р процентов от первоначальной суммы S (независимо от срока хранения). Найдите величину вклада спустя n дней его хранения в банке.
Решение. Так как вклад ежедневно увеличивается на одну и ту
же величину d = S = 0,01pS, то через n дней его величина будет равна Sn = S + nS = S( 1 + ).
Задача3. (Вспомогательная.) Пусть увеличение так называемого срочного вклада S производится на р процентов через t месяцев хранения. Определите величину вклада Sn спустя nt (n - натуральное) месяцев хранения в банке, если договор продлевался (пролонгировался) после каждого из t, 2t, 3t, ... , (n - 1) t месяцев хранения.
Решение. Согласно условию S1 = S + = S( 1 + ), тогда
S2 =S1 (1+ )=S(l+ )2,…, Sn =S(1+ )n (вспомните геометрическую прогрессию).
в) Разобрать решение задач демонстрирующих применение неравенств с переменными в финансовой математике.
Задача 4. Сравните возрастание через год вклада, положенного по договору под р% прибыли в год, и вклада той же первоначальной величины, если через каждые части года (nN, n 2) по договору начисляются %.
Решение. Пусть первоначальная величина вкладов S (например, рублей), тогда первый вклад через год будет равен S( 1 + ), а второй S( 1 + )n. Чтобы сравнить выражения 1+ и (1 + )n, достаточно применить неравенство Бернулли 1 + n < (1 + )n где > 0, nN, n≥2 Полагая =, получаем: 1 + < (1 + )n, т. е. второй вариант договора выгоднее для вкладчика, чем первый.
Задача 5. Докажите, что второй вариант годового договора из предыдущей задачи тем выгоднее вкладчику чем больше n
Решение. Сравним (при любом nN, n≥2) значения выражений Sn-1=S(1+)n-1 и Sn =S(l+ )n ,а для этого сравним значения выражений (1+)n-1 и (l+ )n. Запишем неравенство Коши для n положительных чисел (среди них есть неравные): а1 = 1 а2 = а3 = …=аn=1+, т. е.: < (аl + а2 + ... + аn).
Таким образом, < ( 1 + (n - 1)· ( 1 + )), т. е. <1+ , а значит, (1+)n-1< (l+ )n
Таким образом Sn-1< Sn и последовательность (Sn) возрастающая (р - фиксированное положительное число). Воспользуемся одним из замечательных пределов:=е и убедимся, что возрастающая последовательность (Sn) имеет предел: обозначим положительное число символом а и найдем =еа, а значит Sn< Sе при любом nN и S > 0.
Замечание. Полученное выше неравенство Sn= S(1+ )n < Sе
позволяет сделать интересный для вкладчиков вывод: чем чаще в течение года банк начисляет проценты, тем больше становится (к концу года) сумма вклада, однако неравенство Sn< Sе показывает, что подобное увеличение не безгранично, так, например, если р = 100% то более чем в е раз исходная сумма вклада к концу года не увеличится но е2,718, а значит, все-таки увеличение может произойти даже например, на 170%, а не на какие-то всего лишь 100%. Это, конечно, будет только в том случае, если банк согласится одновременно и выплачивать 100% годовых, и разрешать вкладчику сколь угодно часто переоформлять вклад.
- Решение задач на повторение.
Найти наименьшее значение функции:
f(x)=x+, x); с – произвольное фиксированное положительное число.
- Итог урока.
- Задание на дом.
Найти наибольшее значение функции:
а) f(x)=(1-х)5(1+х)(1+2х)2,х;
б) f(x)=3х+4,(-1;1).
Используемая литература:
- Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способ получения и примеры применения. 10 – 11 классы. Элективные курсы. Методические рекомендации. М.: Дрофа, 2006. – 159 с.
- Петров В.А., Элементы финансовой математики на уроке. – М., 2002. - № 8. – 38 - 42.
- Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2ч. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Звавич Л.И., Корешкова Т.Н. и др; Под ред. Мордковича А.Г. - М.: Мнемозина, 2007 – 336 с.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Рабочая программа по математике 8 класс,социально-экономический профиль
Рабочая программа алгебры 8 класс составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования.Данная рабочая программа по математике ориентирована на уча...
Урок по теме:"Геометрическая прогрессия в экономике."10 класс, социально-экономический профиль
ТЕМА: Геометрическая прогрессия в экономике. 10 класс, социально-экономический профиль...
Курсовая работа по теме: «Содержательный компонент учебных курсов Социально – экономического профиля (на примере профильного курса «Математика»).
проект по психологии...
Урок по обществознанию для 11 класса социально-экономического профиля. Тема урока «Институт семьи и брака» Учитель истории и обществознания: Рябкова О.В.
АннотацияУрок разработан в рамках применения системно-деятельностного подхода. Согласно одной из классификаций уроков деятельностной направленности данный урок по целеполаганию можно определить как ур...
Методическая разработка урока-тренинга по теме "Основы МКТ" (1 курс, социально-экономический профиль, дисциплина "Естествознание")
Урок-тренинг на современном этапе – это специально организованная учебная среда, базирующаяся на ключевых технологиях тренинговой работы и опирающаяся на активные методы обучения...
Рабочая программа по учебному курсу «География: экономическая и социальная география мира. Общая характеристика мира» для 10 класса (социально-экономический профиль)
Данная рабочая программа по географии рассчитана на изучение предмета в 10 классе на профильном уровне (социально-экономический профиль)...
Рабочая программа по учебному курсу «География: экономическая и социальная география мира. Региональная характеристика мира» для 11 класса (социально-экономический профиль)
Данная рабочая программа по географии рассчитана на изучение предмета в 11 классе на профильном уровне (социально-экономический профиль)...