Обобщающий урок по теме "Производная"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

ТЕМА  УРОКА         Закрепление знаний по теме

« Производная,ее геометрический и физический смысл»

Тип урока  - урок закрепления и обобщения с элементами контроля      

                      знаний учащихся.

Цели урока   - закрепление знаний учащихся по теме «Производная,

                         ее геометрический и физический смысл».

                      - формирование умений по применению знаний и  

                        способов действий в измененных и новых учебных  

                        ситуациях.

                      - формирование умений школьников по организации и

                         корректированию собственных  ответов и ответов        

                         товарищей.

                    - развитие подсознательной активности учащихся.

І. Организационный  момент.

    Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку.

    Сегодня, ребята, у нас с Вами заключительный урок по теме

«Производная, ее геометрический и физический смысл». Мы с вами закрепим все знания и умения по этой теме, а в конце второго урока Вам предстоит выполнить задания в тестах.

    Для начала давайте вспомним определение производной функции  в некоторой точке х.

     Если функция f﴾x﴿ определена на некотором промежутке а х- точка этого промежутка и число h ≠ 0 такое ,что х + h также принадлежит данному промежутку, тогда предел разностного отношения  при h→0 (если этот предел существует) называется производной функции ƒ﴾x﴿ в точке х.

- Хорошо, а  теперь, скажите в чем  заключается физический смысл производной?

Физический смысл производной состоит в том, что производная прямолинейного движения выражает мгновенную скорость в момент времени t.

- А в чем состоит геометрический смысл производной ?

Геометрический смысл  производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

- Свои тетради с домашним заданием Вы сдадите на проверку в конце урока.

- Продолжаем наш урок, и я предлагаю Вам разгадать кроссворд , задание которого у Вас есть на столах, а ответы будем выписывать на плакат, тем самым мы вспомним некоторые математические термины.

К  Р  О  С  С  В  О  Р  Д

1.Французский математик  XYII века Пьер Ферма определял эту линию так: «Прямая, наиболее тесно примыкающая  к кривой в малой окрестности  заданной точки».

2.В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям, как «скорость движения в данный момент времени » и «касательная к кривой в заданной точке».

3.Приращение какой переменной обычно обозначают  Δх?

4.Если существует предел в точке  а  и этот предел равен значению функции в точке  а ,то в этой точке функцию называют …(Подсказка. График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва от бумаги.)

5.Угловой коэффициент касательной –это … угла наклона касательной.

6.Эта величина определяется как производная скорости по времени.

7.Если функцию у=f(х) можно представить в виде у=f(х)=g(h(х)), где у=g(t) и  t=h(х) – некие функции, то функцию  называют…

- Молодцы, кроссворд Вы разгадали  и в выделенных клетках видим  имя французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа. С именем этого ученого Вы уже знакомы и сегодня Александр подготовил

нам небольшую историческую справку  об этом ученом.

Давайте послушаем его выступление.

Ж О З ЕФ   Л У И    Л А Г Р А Н Ж

          Жозеф Луи Лагранж являлся почетным членом Петербургской академии наук. Лагранж родился в 1736 году в Турине в итало-французской семье обедневшего чиновника . Девятнадцати  лет от роду он стал профессором математики  Артиллерийской школы в Турине .Во время революции во Франции он участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессором сначала Нормальной школы (1795 г.) а затем Политехнической школы (1797 г.).  В этом же году Лаграндж  ввел термин «производная», ему же мы  обязаны и современным обозначением  производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввел Лаграндж.

- Спасибо,  Александр. И мы продолжаем наш урок.  Устный счет:   Сейчас мы проверим Ваше знание формул производных некоторых  функций.

На доске Вы видите разные функции, сейчас по порядку Вы будете называть их производные.

- Вот Вы вспомнили основные формулы производных , теперь переходим к выполнению письменных заданий.

- Сначала , ребята, выполняем задания из тестов по подготовке к ЕГЭ.

- У вас на столах условия заданий, которые мы будем выполнять на доске.

№ 1. (А 5)

Найти производную функции

У=

Решение.

У ' =

№2. ( В 5)

Функция   у = ƒ﴾x﴿ определена на промежутке ( -5;5). На рисунке изображен график производной этой функции. Найдите количество точек графика функции, в которых касательные наклонены под углом 120° к положительному направлению оси абсцисс.

Решение.

Найдем тангенс 120°

tg120° =tg(90° + 30°) = -  ctg 30° = -√3.

Теперь задача сводится к нахождению количества корней уравнения

ƒ'﴾x﴿ = - √3.

Проведем прямую у = - √3 и определим что это уравнение имеет 3 корня.

-Вы отлично справились с этим заданием и переходим к решению номеров из учебника.

№ 845 (1).

Найти производную функции у =

Решение.

у '﴾x﴿ =  = .

№ 846 (4).

Найти производную функции у = ln﴾sinx﴿.

Решение.

у '(х) = .

 № 847 (4).

Найти производную функции у = sin﴾lnx﴿

Решение.

.

№ 850 (2).

Найти производную функции

Решение.

=

.

№ 864 (1).

Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке)

у = 8 – х     и    у = 4 √ х + 4.

Решение.

Областью определения функции у = 4 √х + 4 является промежуток х ≥ -4

Найдем  абсциссы точек пересечения данных функций, для этого прировняем правые части.

8 – х = 4 √х + 4 , иррациональное уравнение левую и правую части возведем в квадрат

64 – 16х  + х² = 16х + 64

х² - 32х = 0

х = 0     и     х = 32

Проверка показала, что 32 не является решение уравнения.

Найдем производные данных функций и значение производных в точке 0 ,а затем угол наклона каждой касательной.

у=8 – х                                       у= 4√ х + 4

 у'(х) = - 1                                   у'﴾x﴿= 2/√x+4

 у'﴾0﴿= - 1                                     у'﴾0﴿=1

  tgά= - 1                                       tgά=1

  ά=­45°                                          ά=45°

Значит графики функций пересекаются под углом 90°.

№ 893 ( с параметром)

Выяснить, при каких значениях  р  касательная, проведенная к графику функции у = x³­px в его  точке с абсциссой  х = 1 , проходит через точку  М (2 ; 3).

Решение.

Составим уравнение касательной в точке  х =1, найдем производную

функции и значение функции в данной точке и значение производной в данной точке.

у = x³­px    у﴾1) = 1 - р

у'﴾x﴿=3x²­p    у'﴾1﴿=3­p

Уравнение касательной имеет вид

У = ( 1 – р ) + ( 3 – р )( х – 1 )

Так как касательная проходит чере точку М ( 2 ; 3 ) значит ее координаты  удовлетворяют уравнению касательной, подставим и найдем значение р

3 = ( 1 – р ) + ( 3 – р )( 2 – 1 )

 1 – р  + 3 – р = 3

 - 2 р = - 1

       р = 0.5

- Молодцы, с заданиями Вы справились и мы подошли к нашему заключительному этапу урока – это тестирование.

-  Перед Вами тесты, состоящие из пяти  заданий, и листы для записи решения. Подпишите фамилию и вариант. Тесты  у нас разноуровневые . Вам, ребята , нужно решить задания и выбрать правильный ответ.

В А Р И А Н Т Ы     Т Е С Т О В

В А Р И А Н Т   1.

1.Чему равна производная функции у=sinx + 1?

а) cosx  + 1          б)  - cosx              в) cosx

2.Найти производную функции  f(x)= х² sin(х).

а) 2xcosx+x²sinx   б) 2xsinx+x²cosx  в) -2xsinx+x²cosx

3.Найти производную функции f(x)=6 √х .

 а) 5/√х                б) 5√x                    в) 30 √х

4. Тело движется прямолинейно по закону х(t) =√t. Определить его ускорение  в момент времени  t = 1с.

а) -0.25 м/с²          б) 0.5 м/с²            в) 1 м/с²

5.Составить уравнение касательной к графику функции f(x)= 2 - x² в точке  х  = -3.

 а) у = 2х + 5          б) у = 6х + 11      в) у = -3х – 6

В А Р И А Н Т   2.

1.Найти производную фунции у = х /4

 а) х³                     б) 4 х³                   в) х³∕16

2. Тело движется по закону S(t) = 8t+ 2t².Найти его скорость в момент времени   t= 2с.

 а) 12 м/с              б) 16 м/с                в) 8 м/с

3. Найти производную функции g(х) =(3 – 5х)

 а) 25(3 – 5х)         б) 5(3 – 5х)           в) -25(3 -5х)

4. Найти производную функции у= e +lnx+ 2x³  

  а) е + lnx + 6х²     б) е + 1/х +6х²     в) е + lnx +2х²

5.Составить уравнение касательной к графику функции у=7х³ +4х² +6 в точке х =1

а) 16х -12               б)29х +15       в)29х – 12

В А Р И Н Т  3.

1.Найти производную функции  g(х)=tg(2x +π/3)

 а) 2(2х + π/3)/соs² х     б)2/соs² х       в)2/соs² (2х + π /3)

2.Найти производную функции  у=4 √x³

 а) 3√x²             б) 3 ∕ √x                в)  12 √x²

3.Точка движется прямолинейно по закону х(t)= 3t³ +2t  Найти ее ускорение в момент времени  t =1с .

 а) 11м/с²             б)  18 м/с²           в) 5м/с²

4.Найти значение производной функции ƒ(х) =sin х – 1/3sin 3x  в точке х= π∕2

а) 0                       б) 2                      в) -1

5.Составить уравнение касательной к графику функции

ƒ﴾x﴿ = (х² + 3) / х в точке  х = 1

 а) 4х – 6              б) 6 -2х                в) 2х+6

  Ответы теста  нужно будет выписать еще на отдельный лист для самопроверки.

 Заключительный этап :

Самопроверка, выставление оценок.

- Ребята, сдайте тетради на проверку .

Анализ работы  проведем на следующем уроке, а теперь запишите задание на дом стр.254 задание «Проверь себя» выполнить на листочках.