Методическая разработка урока по теме: "Комплексные числа"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Брасовский сельскохозяйственный техникум

Филиал ФГБОУ ВПО «Брянская государственная сельскохозяйственная академия»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

ПО ТЕМЕ:

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Подготовлена

Преподавателем

Самоховой Г.А.

Локоть 2012

Рассмотрено на заседании

общеобразовательных, общегуманитарных

и социально-экономических дисциплин

протокол № __________от ______________

Председатель: _____________ О.В.Коротченко

Автор: Самохова Г.А. – преподаватель

Рецензент: Хведченя С.В. – преподаватель

Данная методическая разработка направлена на формирование навыков исследовательской деятельности учащихся на уроках математики и может быть использована преподавателями математики в любых учебных группах.

Оглавление

1. Титульный лист
2. Рецензия
3. Вступление
4. План урока
5. Методика проведения урока
6. Заключение
7. Используемая литература

Рецензия

на методическую разработку урока-заседания ученого совета по теме: «Действия над комплексными числами», подготовленную преподавателем математики Самоховой Г.А.

Методическая разработка носит творческий характер и написана в соответствии с современными требованиями к нетрадиционным формам обучения.

Урок проводят сами учащиеся и этот факт превращает их из пассивных слушателей в научных исследователей, которыми в конце удается ответить на вопрос: «Как же извлечь корень четной степени из отрицательного числа?»

В методической разработке очень хорошо поставлены проблемные ситуации, а затем даны последовательные этапы разрешения этой проблемной ситуации:

в начале учащиеся творческим путем получают теоретическую формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа, а затем доступно и грамотно применяют ее к решению практических заданий.

В конце заседания ученого совета учащиеся подводят итоги и дают геометрическую  интерпретацию  задачи  извлечения  корня 4-ой степени из «-1».

В методической разработке Самоховой Г.А. методически грамотно отработаны все основные этапы проведения урока. Чувствуется, что преподаватель стремится привлечь к активной творческой работе весь коллектив учащихся с учетом их индивидуальных особенностей и это отрадно.

Считаю, что данная методическая разработка может быть использована другими преподавателями при проведении уроков нетрадиционными методами.

Рецензию подготовила преподаватель Хведченя С.В.

ПЛАН УРОКА

Тема урока: действия над комплексными числами.

Цель урока: 1) обучающая (дидактическая) - изучить действие извлечения корня из комплексного числа; закрепление знаний, умений и навыков учащихся при извлечении корня из комплексного числа;

                2) развивающая - развивать умение учащихся применять изученную формулу при решении упражнений; развивать память, логическое мышление и творческую активность учащихся; развивать интерес к исследовательской работе;

                3) воспитательная – воспитывать навыки самостоятельной работы при выборе способа решения задач; воспитание настойчивости и целеустремленности; воспитание математической грамотности.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Вид урока: самостоятельная работа студентов

1. Изучение нового

1. вступительное слово преподавателя

2. самостоятельная исследовательская работа под руководством преподавателя.

3. подведение итога исследовательской работы

4. рассказ об ученом, первым выполнившим это исследование

5. с целью закрепления результатов исследования выполнить тренировочное упражнение по решению уравнения х4 -1=0

ВСТУПЛЕНИЕ

Изучение учебного материала темы «Комплексные числа» расширяет знания учащимся о числе. Учащиеся знакомы лишь с действительными числами и операциями над ними. Комплексные числа позволяют выполнять операции, запрещенные во множестве действительных чисел. Пополняется интеллектуальный багаж учащегося, его знания расширяются и углубляются.

Урок на тему «Действия над комплексными числами» с целью изучения приема извлечения корня четной степени из отрицательного числа является предпоследним уроком по теме «Комплексные числа».

Учащиеся уже знают о тригонометрической форме комплексного числа, умеют возводить комплексное число, заданное в тригонометрической форме, в п степень.

Данный урок знакомит учащихся с законом математики о количестве уравнения и подтверждает его конкретными расчетами корней уравнения, рассматриваемых в области комплексных чисел.

Чтобы урок был эффективным, нужна творческая работа преподавателя и активная познавательная деятельность учащихся.

Подготовка к такому уроку проведена заранее на дополнительном занятии. Учащиеся – исследователи, изучив план работы, получив от преподавателя пояснения по содержанию работы, готовятся к участию в исследовательской работе.

Сначала создается проблемная ситуация, а затем показываются образцы научного познания. Учащиеся – исследователи на конкретных примерах ведут поиск ответа на вопрос проблемы, а остальные учащиеся – следят за их логикой, усваивая этапы решения проблемы.

Метод обучения – это система целенаправленных действий преподавателя, организующая познавательно-практическую деятельность учащихся.

Правомерность метода по созданию проблемной ситуации и ее разрешению на уроке по теме «Действия над комплексными числами»  связана с тем, что истинность знаний необходимо не только утверждать, но необходимо показывать и путь к поиску знаний, к самостоятельному решению проблемы. Шаг за шагом ведя исследование, результаты которого приведут и к утверждению истины, и к формированию умений самостоятельно добывать знания, учащиеся вовлекаются в познавательно – практическую деятельность, организованную преподавателем.

Методика проведения урока

Урок проводят учащиеся.

Метод проведения урока – заседание ученого совета, который изучает работу исследователей.

Вся группа – это ученый совет. Каждый учащийся может уточнить для себя ход исследований и обязан понять материал исследований, а затем применить его е решению уравнения х4-1=0.

Ведет заседание ученого совета преподаватель, поэтому работа ученого совета начинается со вступительного слова преподавателя, который опредяет цель работы, рассказывает о ходе работы и о ее завершении.

Самостоятельная исследовательская работа

1 исследователь:

Математика утверждает, что уравнение имеет столько корней, каков наивысший показатель ее неизвестного.

Например, квадратное уравнение х2-5х+6=0 имеет наивысший показатель неизвестного 2 и оно имеет 2 корня.

Если Д = 25-24=1, то х1=(5+1)/2 = 3, х2= (5-1)/2 =2 или уравнение третьей степени.

х3-х=0 тоже имеет три корня

вот они!

х(х2-1)=0

х1=0            х2-1=0

(х-1)(х+1)=0

х2=1, х3=-1

все три корня налицо.

А вот уравнение х3-8=0 показывает лишь один корень.

х3=8

х==2

х1=2, где же х2, х3? – возникает проблема № 1.

Или х4-1=0

х4=1

х=

х1= 1, где же х2, х3, х4? – возникает проблема № 2.

2 исследователь:

Видимо, значения корней скрываются в операции извлечения корня из числа.

Попробуем на помощь позвать комплексные числа.

Если Z=a+li и Z=r(cosφ+isinφ), то , возведем обе части равенства в степень п, тогда получим, что  или .

Зная, что это равенство верное, можем записать, что  

r=ρn                         φ =nα                   или

                            φ + 2πκ=nα

ρ=

Итак, получаем, что

Эта формула говорит, что для извлечения корня п степени из комплексного числа нужно извлечь корень из его модуля , а аргумент φ представить в виде , где к=0,1,2,3….. Воспользуйтесь моими исследованиями.

3 исследователь:

Позвольте уточнить некоторые Ваши высказывания. Например, почему получилось, что при возведении правой части в степень n имеем выражение ρn(cos n α+i sin n α)

2 исследователь:

Есть закон Муавра, который говорит, что Zn=(ρ(cosα+isinα))n=ρn(cos n α+i sin n α)

1 исследователь:

А почему, уважаемый исследователь, φ превратилась в φ + 2πκ

2 исследователь:

Значение функций sin α  и cos α повторяются через 2π, т.е. sin α = sin (φ + 2πκ ) = sin (φ+ 2π*2) = sin (φ+2πк)

сos φ = cos (φ+ 2π)= соs (φ+ 2π*2)= соs (φ+ 2πк)

3 исследователь:

Попробую, коллега, применить Ваше теоретическое высказывание в практической работе.

Извлеку корень кбический из 8, т.е. найду корни кубического уравнения х3=8.

Итак, 8- это комплексное число, которое имеет вид 8 + о i, значит его можно записать в тригонометрической форме, т.е. в виде 8+оi = r(cosφ+isinφ).

Остается найти модуль r, аргумент φ этого комплексного числа. Комплексное число 8+     располагается на координатной плоскости следующим образом:                            

                                                                    y

                                                                     О                 8                х

                                                                             r

значит r = 8, φ=0о

8+оi = 8(cos0о +isin0о).

Воспользуемся формулой:

Пусть к=0

Но такой корень нам знаком!

Мы знаем, что =2!

Недоразумение, которое требует своего объяснения!

4 исследователь:

Наберемся терпения и продолжим исследования.

Если к=1, то что получим?

Итак, х2=-1+1,7

Найдем и третий корень!

Если к=2, то можем записать, что

Итак, и х3 знаем х3=-1-1,7 i

Значит,  имеет три значения:

х1=2, х2=-1+1,7 i, х3 =-1-1,7 i

полученное подтверждение разрешает проблему.

5 исследователь:

Проверю формулу

, применив ее для решения уравнения

х4+1=0

х4=-1

х=

извлеку корень четвертой степени из минус и разыщу все 4 значения его.

-1 – это комплексное число виды Z=-1+oi на координатной плоскости оно расположено так:

                          у

                                                                            Значит r=1

                                              φ                                φ=1800

               -1                                      х

Можем записать тригонометрическую формулу числа -1,

-1= 1(cos180o+I sin 180o ), тогда

Пусть к=0

Пусть к=1

Пусть к=2

6 исследователь:

Очень хочу продолжить Вашу работу

Итак, к=2, тогда получим, что

пусть к=3

подведем итог:

Уравнение х4+1=0 имеет 4 корня

Х1=0,71+0,71

Х2=-0,71+0,71

Х3=-0,71-0,71

Х4=0,71-0,71

7 исследователь: А если расположим эти 4 комплексных числа на координатной плоскости

Масштаб 1ед-4кл

                                          у  -   1

               х2                                                                      х1

              -1                                                     1        х

                  х3                                                                х4

                                              -  -1                  

Итак, расположив все значения корня 4 степень из -1, видим, что х1 х2 х3 х4- являются вершинами квадрата, а если построим окружность радиусом ОХ1, то квадрат оказывается вписанным в неё, а точки х1 х2 х3 х4 лежат еще и на окружности радиусом R, где R = ох1, ох2 ,ох3 ,ох4

Найдите все корни уравнения  х4-1=0

Консультацию можете получить в нашем совете исследователей.

Преподаватель: Выполните, пожалуйста, это исследование.

Решение

х4=1; х=

Представим число Ζ =1 в тригонометрической форме Ζ=r(cos φ+i sin φ)

а=1; в=0;             r==

т.к. вектор, соответствующий комплексному числу Ζ =1 лежит на положительной полуоси ох, то φ=0.

Следовательно, 1=1(cos 0+i sin 0)

Применим формулу:  ик=, где к=0, 1,2…п-1

ик=; к=0,1,2,3

ик=; к=0,1,2,3

ио=

и1=

и2=

и3=

Ответ: и0=1; и1=i; и2=-1; и3=-i.

После решения уравнения х4-1=0 рассказать об ученом, решившем это уравнение с помощью комплексных чисел.

Задание на дом:

1. Изучить п.15 п.4 стр.107-111 И.И.Валуцэ; Г.Д.Димчул
2. Выполнить упражнения: № 3.31 (1;4) стр.111 № 3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение учебного материала в форме самостоятельного решения проблемной ситуации дает возможность развивать познавательный интерес и творческую активность учащихся, формировать положительные эмоции к занятиям математикой. Проведению урока предшествовали большая подготовительная работа, в результате которой учащиеся из пассивных слушателей превращаются в научных исследователей, которым в конце удается найти ответ на поставленный вопрос путем поэтапного решения проблемной ситуации.

При подготовке и проведении урока были использованы методики применения исследовательской деятельности учащихся. Важно, чтобы в активной творческой работе участвовал весь коллектив учащихся с учетом их индивидуальных способностей. Самостоятельное решение проблемы позволяет повышать интерес к изучению математики, т.к. учащиеся видят практическое применение полученной теоретической формулы в решении задач.

Формирование умений самостоятельного добывания знаний направлено на вовлечение учащихся к исследовательской деятельности.

Список используемой литературы:

1.И.И.Валуцэ; Г.Д. Димчул Математика для техникума

2. Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров; М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова; М.И. Шабулин. Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. Москва 2010.