Обратно пропорциональные переменные
учебно-методический материал по алгебре (6 класс) по теме

Тема: Обратно пропорциональная зависимость.

Цель: 1. Образовательная: Ввести понятие обратно пропорциональных величин; учит определять вид зависимости данных величин; ознакомить обучающихся с алгоритмом решения задач на прямо пропорциональную и обратно пропорциональную зависимости.

2. Развивающая: развивать логическое мышление; грамотную математическую речь.

3. Воспитательная: воспитывать самостоятельность и умение оценивать свой труд.

1.  Устная работа:

1. Площадь прямоугольника 12 см2. Чему равна площадь прямоугольника, длина которого в 5 раз больше?

(12*5=60(см2))

Длина и ширина в 2 раза меньше?

(12:2:2=3(см2))

2. Разделите число 600 на части, пропорциональные числам
            4 и 2                                              (600: (4+2)=100↔400 и 200)
            4 и 1                                              (600: (4+1)=120↔480 и 120)

3. Пропорциональны ли числа: 1; 2; 3; 4 и 5; 10; 15; 20?

- Как вы определили их пропорциональность?
- Чему равен коэффициент пропорциональности?

4. Найдите неизвестный член пропорции:

2:3=10:х                                                                 (х=(3*10):2; х=15)

Х:9=7:12                                                                (х=(9*7):12; х=5 ¼)

5. За 2 кг яблок заплатили 60 руб. Сколько килограммов яблок можно купить на 270 руб?

2 кг  -- 60руб

х кг – 270 руб

2:х=60:270;    х=(2*270):60;   х=9 (кг).

6) Тройка лошадей бежала 30 км. Какое расстояние пробежала каждая лошадь?

                                                                                                         (30 км)

2. Изучение темы урока:
   

1. Рассмотрим пример:
   Пусть автомобиль проходит 120 км со скоростью Vкм/ч за t час.
   S=120км

- Какую зависимость между величинами V и t вы заметили?
                                                                         (Чем больше V, тем меньше t )

- Проверим, как изменяется время t в зависимости от изменения скорости V:
20→40 - больше в 2 раза
6→3  -    меньше в 2 раза      Вывод: Во сколько раз больше скорость V, во столько раз время t меньше.

2. Пример 2:
            Площадь прямоугольника 160см2. Она зависит от длины а и ширины b.
   
   S=160 см2
   
   

- Какую зависимость между величинами S, а, b вы заметили?
- Как при постоянной площади S ширина b зависит от длины а?

3. Приведите сами примеры с аналогичной зависимостью между величинами.

Такие величины называются обратно пропорциональными величинами.

Определение:

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении  (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

4. Определите вид зависимости между величинами:
   а) Чем производительнее рабочий трудится, тем меньше времени ему потребуется для определенной работы;
   б) При постоянной массе, чем больше объем некоторого тела, тем меньше его плотность.

в) Чем больше живешь, тем старше становишься.

5. Вспомним определение прямо пропорциональных величин и сравните его с определением обратно пропорциональных величин:
   - В чем отличие?

     - А есть ли сходство?

6. Обратно пропорциональные переменные тоже обладают своим основным свойством: если величина х обратно пропорциональна величине y, то произведения соответствующих значений х и y равны, то есть х1, х2 – значения величины х, и y1, y2 – соответствующие им значения величины y, то х2:х1=y1:y2↔х2y2=х1y1.

7. Будем решать задачи на применение определений прямой и обратной пропорциональностей. В их решении есть много общего, поэтому запишем общий алгоритм для их решения.

Алгоритм.

1. Краткая запись задачи.
2. Установление вида зависимости (прямая или обратная) и показ его с помощью стрелок (↑↑ -прямая, ↑↓ - обратная).
3. Применение основного свойства зависимости величин, входящих в данную задачу.

( прямая пропорциональность: х1:х2=y1:y2

Обратная пропорциональность: х1:х2=y2:y1)

4. Решение полученной пропорции.
5. Запись ответа на главный вопрос задачи.

3. Закрепление нового материала.
   

1. Некоторый заказ при одновременной работе 5 автоматов выполняется за 12 часов. За сколько часов будет выполнен тот же заказ при одновременной работе 8 автоматов.

1. Краткая запись:
5автоматов – 12ч.
8автоматов – х ч.
2. Определение вида зависимости: обратная пропорциональность (чем больше автоматов, тем меньше время)

3. Составление соответствующей данному виду зависимости пропорции и применение основного свойства данной зависимости:

5:8=х:12

4. Решение пропорции:

8х=60   х=7,5  

5. Ответ: за 7,5 часа.

2. Совхозное поле 3 трактора могут вспахать за 60 часов. За какое время вспашут это поле 12 таких тракторов? ( В классе составляется только краткая запись)
   
3. Масса 12см3 бронзы равна 103,2 кг. Какова масса бронзовой детали, объем которой 25 см3. ( В классе составляется только краткая запись)

IV. Подведение итога урока

а) Путь от А до В турист прошел за 4ч. За сколько времени турист прошел бы тот же путь, если бы шел в 2 раза быстрее?

б) Бассейн наполняется водой за 1час. За какое время может наполниться тот же бассейн, если скорость подачи воды уменьшится в 2 раза?

в) резервуар наполняется при помощи насоса за 1,6ч. За какое время может наполниться тот же  резервуар, двумя такими насосами?

5. Домашнее задание:
   
   1) Для перевозки песка предполагалось выделить 15 самосвалов, грузоподъемностью 4т каждый. Сколько самосвалов грузоподъемностью 5т следует выделить для выполнения этой же работы?
   
   2) Дорешать задачи с урока

3) №782 (письменно ответить на вопросы)

Индивидуальные задания для сильных учащихся:

1) Усовершенствовав резец, рабочий стал затрачивать на изготовление детали 8 мин вместо 10мин. Сколько деталей стал изготавливать рабочий за смену, если известно, что раньше за смену он изготавливал 48 деталей?

2) Длины сторон треугольника пропорциональны числам 4, 6 и 9. Найти длину каждой стороны треугольника, если средняя сторона больше меньшей на 5 см.