Многоуровневая система задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Пояснительная записка

к работе «Построение многоуровневой системы задач по теме

«Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Многоуровневая система задач по курсу алгебры и начал математического анализа позволит  учащимся успешно освоить программу как на базовом, так и на углублённом уровнях,  эффективно подготовиться к итоговой государственной аттестации в форме единого государственного экзамена. В представленной работе из каждого раздела школьного курса математики выделен максимально полный перечень элементов содержания образования на применение понятий, определений, теорем, приёмов  решения задач определённого типа  и способов общеучебной деятельности. В соответствии этому перечню составлена многоуровневая система учебных математических задач с охватом общеобразовательного и углубленного уровней. Эта система  позволяет на основе задачного подхода разработать методику обучения математике,  которая дает возможность построить для каждого учащегося индивидуальную образовательную траекторию, направленную как на формирование специальных, так и универальных учебных действий,  и способствует   успешной подготовке к итоговому государственному экзамену, к вступительным экзаменам в вузы, тем самым, в рамках учебного курса решить проблему качественного обучения математике в средней школе.

       В представленной работе выделены внешний уровень дифференциации (базовый и углублённый) и внутренний уровень дифференциации  (знакомая задача, модифицированная задача, незнакомая задача). Многоуровневая система задач для  темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»  формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой.

Базовые задачи сгруппированы по следующим разделам:

• задачи на применение определений арифметической и геометрической прогрессий;
• задачи на применение характеристических свойств  арифметической и геометрической прогрессий;
• нахождение одних элементов через другие;
• задачи на комбинацию  арифметической и геометрической прогрессий;
• задачи на применение  арифметической и геометрической прогрессий к различным разделам школьного курса;
• нестандартные  задачи и из вариантов ЕГЭ.

Учебная деятельность при решении задач  блока I (знакомая задача), носит репродуктивный характер. Используемые при этом задачи отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик идентифицирует (анализирует, извлекает информацию, распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий (строит логическую цепь рассуждений), применяет усвоенные знания в практическом плане для некоторого известного класса задач.

При решении задач блока II (видоизмененная задача),  репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а реконструируются в несколько видоизмененных условиях. Происходит самостоятельное достраивание,  выявление существенной и несущественной информации, восполнение недостающей компоненты, выдвижение и проверка гипотез, доказательство.

При решении задач блока III (незнакомая задача)   учебная деятельность носит исследовательский,  творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий. Решение задач,  соответствующего блока,  требует от учащегося обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; привлечение приёмов и алгоритмов из других разделов,  системного видения курса.  Востребованными оказываются практически все познавательные универсальные учебные действия.  Решение этого типа задач не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов и в заданиях С4, С5, С6 вариантов ЕГЭ прошлых лет или 19, 20, 21 из вариантов ЕГЭ 2015 года.

Многоуровневая система задач

 по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

1. Задачи на применение определений арифметической и геометрической прогрессий:

     1) Дано: (а n ) , а1 = 5 d = 3 Найти: а6 ; а10.

      2) Дано: (b n ) ,b1= 5 q = 3 Найти: b3 ; b5.

      3) Дано: (а n ) , а4 = 11 d = 2 Найти: а1 ;

      4) Дано: (b n ) , b4= 40 q = 2 Найти: b1 .

       Ответы 1) а6 = а1 +5 d = 5+ 53 = 20

                           а10 = а1 +9 d = 5+ 93 = 32

                       2) b3 = b1q2 = 5 32 =59=45

                           b5 = b1q4 = 5 34 =581=405

                       3) а4= а1 +3 d а1 = а4 – 3 d = 11 – 32 = 5

                       4) b 4= b1 q3 b 1 = b 4 : q3 = 40 : 23 = 5

2. Задачи на применение характеристических свойств  арифметической и геометрической прогрессий:

       1) Дано:  (а n ) , а4=12,5; а6=17,5.     Найти: а5  

      Решение: Используя свойство арифметической прогрессии 

                       Имеем: а5

                      Ответ: 15

     2) Дано:  (b n ), b4=12,5; b6=17,5.  Найти: b5

         Решение: Используя свойство геометрической прогрессии 

                          Имеем: =

                         Ответ: 12 

 3.  Нахождение одних элементов через другие:

     1) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап), а число –11

         является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8?

           Ответ: является

     2) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами    

       они образовали арифметическую прогрессию.  

            Ответ:   6;8,2;10’4;12’6;14’8;17

     3) В геометрической прогрессии b12 = З15 и b14 = З17. Найдите b1.

             Ответ:  b1=34 или b1= –34

     4)Задача из папируса Ринда:     Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй    получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

         Решение.   Количество хлеба, полученного участниками раздела, составляют            возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда:

• а 1–Доля первого – x,
• а2–Доля второго – x+y,
• а3–Доля третьего – x+2y,
• а4–Доля четвертого – x+3y,
• а5–Доля пятого – x+4у.

На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

После упрощений первое уравнение получает вид x+2y=20, а второе 11x=2y.

Решив эту систему, имеем: 

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:

             Ответ:   

  5) Вычислите шестой член геометрической прогрессии, у которой разность между третьим и первым членами равна 9, а отношение пятого ко второму равна 8.

             Ответ:  96

  6) Сумма n  первых членов  геометрической прогрессии равна -341, ее первый член равен -1, а знаменатель равен 4. Найти n.

             Ответ:  5

  4. Задачи на комбинацию  арифметической и геометрической прогрессий:

1) Сумма трех членов, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Найти эти числа, если известно, что после прибавления к ним соответственно 1,4 и 19 получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию.

             Ответ:  2; 5; 8 или 26; 5; -16.

   2) Найдите три числа, составляющих геометрическую прогрессию, которые в сумме дают 26. При этом, если к указанным числам прибавить соответственно 1; 6; 3, то получим три числа, образующих арифметическую прогрессию.

            Ответ:  2; 6; 18 или 18; 6; 2.

  5. Задачи на применение  арифметической и геометрической прогрессий к различным разделам школьного курса:

1) Клиент положил в банк 30000 рублей с ежеквартальным начислением 3% сроком на полтора года. Какая сумма по вкладам будет им получена в конце года?

     Ответ:  35 821,57 рублей

  2) В прямоугольник со сторонами 16см и 18см вписывается ромб, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника. В полученный ромб аналогичным образом вписывается прямоугольник, а в него снова ромб и так далее. Докажите, что площади полученных фигур образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.

       Ответ:  0,5

  6. Нестандартные  задачи и из вариантов ЕГЭ.

1)В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

           Ответ:  29

     2) Написана “стайка девяти чисел” 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19,  представляющих собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33.

              Ответ:  

3. Найдите значение р, при котором числа р-5, √7р, р+4 являются последовательными тремя членами геометрической прогрессии.

           Ответ:   10

4. Найдите третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой первый член равен 2, а сумма равна 3.

           Ответ:   2/9

5. Найдите сумму всех четных чисел К, каждое из которых делится без остатка на 15 и удовлетворяет условию -300≤К≤ 430.

          Ответ:   1 500

6. Числа x, y, z (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y,         y+z,  z+x – арифметическую. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

         Ответ:   1  или -2

Литература.

1. Кострикина Н.П.. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. -  М.: Просвещение, 2009
2. Корешкова Т.А., Шевелева Н.В., Мирошин В.В.. Математика. 9 класс. Тренировочные задания. – М: Москва, 2009
3. Кочагина М.Н., Кочагин В.В.. Математика 9 класс. Сборник заданий. –  М: Москва, 2009

4.  Кузнецова Л. В. и др. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой      аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2009.

5. Лысенко Ф.Ф.. Алгебра 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации – 2009 –Ростов-на-Дону: Легион, 2008
6. Лаппо Л.Д., Попов М.А.. Математика 9 класс. Сборник заданий. – М: Экзамен, 2009.
7. Мирошин В.В.. Алгебра 9 класс. Типовые тестовые задания. – М: Экзамен, 2009.
8. Мордкович А.Г., Семенов П.В.. Алгебра – 9.  Учебник. М.: Мнемозина, 2013-2014г.
9. Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н., Семенов П.В.. Алгебра – 9. Часть 2. Задачник. М.: Мнемозина, 2013-2014г.
10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред. Мордковича А.Г. - М: «Мнемозина», 2013-2014г
11. Мордкович. А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.]; под ред.А.Г. Мордковича - М.: Мнемозина, 2013-2014г
12. Пичурин Л.Ф.. За страницами учебника алгебры. М.,1990г.
13. Ященко И.В. Математика- М: «Экзамен», 2015
14. Математика: ежемесячный научно-методический журнал издательства «Первое сентября»
15. Интернет-ресурсы: электронные образовательные ресурсы из единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/), каталога Федерального центра информационно-образовательных ресурсов (http://fcior.edu.ru/): информационные, электронные упражнения, мультимедиа ресурсы, электронные тесты (для подготовки к ЕГЭ)

http://www.informika.ru/ 

http://www.ed.gov.ru/ 

http://www.edu.ru/   

http://www.kokch.kts.ru/cdo/ 

http://uztest.ru/ 

http://www.sumirea.ru/narticle702.html 

http://www.int-edu.ru/