Решение тригонометрических уравнений. 11 класс.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

МБОУ районная вечерняя (сменная) общеобразовательная школа

Абадзехский УКП

Открытый урок

в 10 классе

«Решение тригонометрических уравнений»  

Учитель математики                __________З. Г. Зейтунян

ст. Абадзехская

2012-2013

          Модульная педагогическая технология конструируется на основе ряда целей. Важнейшими из них являются:

- создание комфортного темпа работы каждого обучающегося;

-определение каждым обучающимся своих возможностей в обучении;

-гибкое построение содержания учебного материала;

-интеграция различных видов и форм обучения.

Самым главным отличием технологии является применение принципа планирования совместной деятельности учителя и обучающегося от начала до конечной учебной цели. Опыт использования такой технологии позволяет сделать вывод, что при обучении создаётся ситуация успеха для обучающихся, которая способствует преодолению страха перед их ответом  у доски.

Использование таких занятий помогает осуществлять индивидуальный подход к обучающимся, включать каждого в осознанную учебную деятельность, мотивировать её, успешно решать учебные и коррекционно-развивающие задачи. Эта технология предполагает,  необходимое условие формирования навыков самообучения и самоорганизации, что обеспечивает постепенный переход от пассивно-воспринимающей позиции к позиции сотрудничества ученик и учитель. Использование этой технологии способствует достижению основной цели обучения

- саморазвитию обучающихся, поэтому её можно применять как в классах повышенного уровня подготовки, так и в классах КРО.

« УЧИТЬСЯ МОЖНО  ТОЛЬКО  ВЕСЕЛО…  ЧТОБЫ ПЕРЕВАРИВАТЬ ЗНАНИЯ,  НАДО  ПОГЛОЩАТЬ  ИХ  С  АППЕТИТОМ»

АНАТОЛЬ  ФРАНС

ЦЕЛИ УРОКА:

1. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ – ОБЕСПЕЧИТЬ ПОВТОРЕНИЕ, ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЮ МАТЕРИАЛА ТЕМЫ; СОЗДАТЬ УСЛОВИЯ КОНТРОЛЯ УСВОЕНИЯ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ;
2. РАЗВИВАЮЩИЕ – СПОСОБСТВОВАТЬ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЙ ПРИМЕНЯТЬ ПРИЁМЫ: СРАВНЕНИЯ, ОБОБЩЕНИЯ, ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОГО, ПЕРЕНОСА ЗНАНИЙ В НОВУЮ СИТУАЦИЮ, РАЗВИТИЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУГОЗОРА, МЫШЛЕНИЯ И РЕЧИ, ВНИМАНИЯ И ПАМЯТИ;
3. ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ – СОДЕЙСТВОВАТЬ ВОСПИТАНИЮ ИНТЕРЕСА К МАТЕМАТИКЕ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯМ, АКТИВНОСТЬ, МОБИЛЬНОСТЬ, УМЕНИЯ ОБЩАТЬСЯ, ОБЩЕЙ КУЛЬТУРЫ.

ТИП УРОКА:

УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

ЧАСТИЧНО-ПОИСКОВЫЙ, ТЕСТОВАЯ ПРОВЕРКА УРОВНЯ ЗНАНИЙ, РЕШЕНИЕ ПОЗНАВАТЕЛЬНЫХ ОБОБЩАЮЩИХ ЗАДАЧ, СИСТЕМНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ, САМОПРОВЕРКА.

ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ТРУДА: ИНДИВИДУАЛЬНАЯ, ФРОНТАЛЬНАЯ.

ПЛАН УРОКА:

1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3. Классификация тригонометрических уравнений.
4. Решение уравнений с дополнительными заданиями.
5. Самостоятельная работа.
6. Домашнее задание.
7. Итог урока.

1. ОРГ. МОМЕНТ.

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Давайте будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, всё будем делать с удовольствием и большим желанием.

  Тема сегодняшнего урока «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приёмы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Устная работа.

1. Найти ошибки в ответах на предложенные вопросы.

Вопросы                                                                        Ответы:

1.Каково будет решение sin x=a, |a| 1?                         1.Нет решения

2.При каком  а уравнение sin x=a имеет решение?        2.|а|≤1

3.Какой формулой выражается это решение?                3.x=±arcsina + 2пk, kcZ

4.В каком промежутке находится arcsin a?                        4.[-1;1]

5.В каком промежутке находится значение а?                5. [-п/2;п/2]

6.Каким будет решение уравнения sin x=1?                6. x= -п/2+ 2пk, kcZ

7.Каким будет решение уравнения sin x=-1?                7. x= -п/2+ 2пk, kcZ

8.Каким будет решение уравнения sinx=0?                        8. x= пk, kcZ

9.Чему равно arсsin(-a)?                                                9. –arcsin a

10.В каком промежутке находится arcctg a?                10. [0;п]

11.Чему равно arcctg(-a)?                                                11. п-arcctg a

Верные ответы:

1. x = (-1)k arcsin a + пk, kcZ
2. |а|≤1
3. x = (-1)k arcsin a + пk, kcZ
4. [-п/2;п/2]
5. .[-1;1]
6. x= п/2+ 2пk, kcZ
7. x= -п/2+ 2пk, kcZ
8. x= пk, kcZ
9. –arcsin a

    10. (0;п)

    11. п-arcctg a

2. Письменно ответьте на вопросы, заменив   sinx   на    cosx,    ctgx   на     tgx.

Вопросы

1.Каково будет решение cos x=a, |a| 1?

2.При каком  а уравнение cos x=a имеет решение?

3.Какой формулой выражается это решение?

4.В каком промежутке находится arcos a?

5.В каком промежутке находится значение а?

6.Каким будет решение уравнения cos x=1?

7.Каким будет решение уравнения cos x=-1?

8.Каким будет решение уравнения cos x=0?

9.Чему равно arсcos(-a)?

10.В каком промежутке находится arctg a?

11.Чему равно arctg(-a)?

После ответов, поменяйтесь работами и сверьте с доской, после чего поставьте соответствующую оценку.

  Ответы  (соs x, tgx)

1. Х = ±arccos a + 2πn, n Z

2. |a|1

3. Х = ±arccos a + 2πn, n Z

4. . [ 0; π ]

5. 

6. Х = 2πn, n Z

7. Х = π + 2πn, n Z

8. Х = π/2 + πn, n Z

9. П – arccos  a

10.

11. – arctg a

3. Классификация тригонометрических уравнений.

Системно-обобщающая таблица.

№ 2,4,6,7,8,11                   №1,5,10                         №3,9,12

1.Решение алгебраических уравнений заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение,

выражают  через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.

2.Решение однородных уравнений (уравнения, в которых у всех слагаемых  сумма показателей одинакова) и приводимых к ним сводится к решению алгебраических относительно tgx путём деления обеих частей уравнения на cosx≠0 и  cos2 x≠0 соответственно.

3. Решение с помощью разложения на множители сводится к решению двух элементарных уравнений.

ЗАДАНИЕ:

Определить тип тригонометрического уравнения:

1. 3 sin2x – sinx cosx – 2 cos 2x=0                однородное
2. cos2x- 9 cosx+8=0                                квадратное
3. sin6x – cos3x=0                                        с помощью разложения на множители
4. 2cos2x + 3 sinx=0                                квадратное
5. 2sinx cosx = cos2 x – 2sin2x                однородное
6. tgx+3ctgx=4                                        алгебраическая
7. √3 cosx + sinx= 1                                однородное
8. 3sinx cosx – cos2x                                однородное
9. 1-3sinx cosx-5 cos2x=0                        однородное

10.2sin22x+5sin2x-3=0                                квадратное

11.sin5x+sinx=√2sin3x                 преобразование суммы в  произведение  с

                                    последующим вынесением

                                                                            общего  множителя за скобки

4. Решение уравнений.

Решение с указанием чёткого алгоритма решения уравнений данного типа.

1. Решить уравнение 1- 3 sinx cosx = 0

Алгоритм:

1. Приведение к однородному уравнению.

2. Деление левой и правой части на Cos2x при условии Cosx0.

3. Решение квадратного уравнения.

4. Подстановка.

5. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение:

sin2x + cos2x – 3 sinx cos x – 5 cos2x = 0

Разделим обе части уравнения на cos2x≠0, получаем квадратное уравнение tg2x+1 – 3 tgx – 5 = 0

                   tg2x – 3 tg x – 4 = 0 заменим:  tgx= t, получаем

                   t2 - 3t – 4=0, по т. Виета x=4 или x=-1,

решаем простейшие тригонометрические уравнения

tgx=4                   или             tgx = -1

x=arctg4+пk, kcZ                        x= arctg (-1) + пk, kcZ

                                                x= -п/4+пk, kcZ

Ответ:   arctg4+пk, kcZ;  -п/4+пk, kcZ        

2. Найти наибольший отрицательный корень уравнения 

2 sin22x + 5 sin2x – 3

Алгоритм:

1. Замена переменной.

2. Решение квадратного уравнения.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Решение:

Пусть sin2x=t, |t|≤1, тогда уравнение примат вид : 2t2 + 5t – 3 =0,

D = b2 – 4ac = 52+ 4*2*3=49

t=(-5±7) : 4

t=1/2  или t= - 3

решаем простейшие тригонометрические уравнения:

sin2x=1/2                   или              sin2x=-3

2x= (-1)karcsin1/2+ пk, kcZ             данное уравнение решений не имеет,

2X= (-1)kп/6 + пk, kcZ                        т.к. оно не удовлетворяет условию  

x =(-1)kп/12 + п/2, kcZ                         |sin2x|≤1

Ответ: (-1)kп/12 + п/2, kcZ    

Наибольший отрицательный корень –п/3

3. Найти сумму корней уравнения         sin5x +sinx = √2sin3x

принадлежащих промежутку (0;П)

Решение:    

sin5x +sinx = √2sin3x

2 sin3x cos2x - √2sin3x = 0

√2sin3x (√2cos2x – 1) = 0

Sin3x = 0                        или    √2cos2x – 1 = 0

3x = пk, kcZ                              cos2x = 1/√2

X = п/3k, kcZ                              2x = ± arccos 1/√2 + 2пk, kcZ

                                           2x = ± п/4+2пk, kcZ

                                              x= ± п/8 + пk, kcZ

k= 0, x = 0 с (о; п)             k=0, x=п/8 с (о; п);    x= - п/8  с (о; п)              

k =1, x=п/3 с (о; п)            k=1, x=9/8п с (о; п);  x=7/8п   с (о; п)                      

k=2, x=2/3п с (о; п)    

k=3, x=п с (о; п)                      

Найдем сумму  п/3 + 2п/3 + п/8 + 7/8п =48/24 п=2п

Дополнительно: Решить уравнение cos4x – sin 4x = 0

Ответ: п/16 + п/4k, kcZ

5. Тест. Самостоятельная работа.

Уровень  А.

6. Домашняя работа.

Решите уравнение (№ 4.13-4.20)

4.13. 2sin2x – 3 sinx + 1=0

4.14. 2 cos2x – cosx – 1 = 0

4.15. cos2x + 6 sinx – 6 = 0

4.16. 2sin2x + 7 cosx +2 = 0

4.17. cos2x + 8 sinx= 3

4.18. cos2x = 1 + 4 cosx

4.19. сos2x + sinx = 0

4.20. cos2x +cosx = 0

4.35.Найдите все решения уравнения sinx=cosx, принадлежащее отрезку [-2п;0]

4.36. Найдите все решения уравнения √3sinx+cosx=0, принадлежащее отрезку [-п;3п].

4.37. Найдите все решения уравнения sinx+cosx=0, принадлежащее отрезку [-п;п].

        VII. Итог урока.

1. Чем мы занимались сегодня на уроке?
2. Что за уравнения мы решали?
3. Какие типы и методы решения мы знаем?

Устная работа по закреплению:

Какие из уравнений в столбиках 1-2 лишние и почему?

1.2sin2x + sinx – 1 = 0

   2sin2x -  sinx – 1 = 0

   6cos2x+ cosx – 1 = 0

  4cos2x - 8cosx – 1 = 0

  3sin2x -  5sinx – 2 = 0

  4sin2x -  5sinx – 2 = 0

  4sin2x  + 11sinx – 3 = 0

  3sin2x+ sinx cosx = 2cos2x                лишнее, т.к. оно однородное

  2sin2x + 6cosx – 6 = 0

2. 2sin2x+ sinx cosx + cos2x = 0

    9sinx cosx – 7cos2x = 2sin2x

    2sin2x - sinx cosx = cos2x

    sin2x +  cosx = 0                         лишнее, т.к. решается разложением на множители

    5sin2x+ sinx cosx = 1

    4sin2x - 3sinx cosx = -1

    sinx cosx + 2cos2x = 1

    cos2x - 5 sinx cosx – 1 = 0

   7cos2x- 2 sinx cosx  = 1

1. Оценка работы класса.